1. 개요
다항식을 전개할 때 자주 나오는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 [math( left(a+bright)left(a-bright) )] 는 [math( left(a+bright)left(a-bright) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 )] 와 같이 분배법칙을 써서 전개한 다음 교환법칙, 결합법칙 등을 써서 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 [math( left(a+bright)left(a-bright) = a^2 - b^2 )]은 자주 나오는 꼴[1]이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다. 곱셈 공식은 일종의 항등식임은 물론이다.
반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 64×56과 602 - 42 의 계산식이 그 예.
형돈이와 대준이가 이를 주제로 <중2 수학은 이걸로 끝났다>라는 노래를 내놓았다. 뮤직비디오에 연습 문제가 나온다. 수준 때문에 이차식이 되는 것만 나온다. 근데 교육과정이 바뀌어서 '중3 수학은 이걸로 끝났다'로 제목을 바꿔야 할지도?
페이커도 곱셈공식의 중요성을 알고 있다. #
또한, 곱셈공식은 기하학적으로 접근했을 때 정말 간단하고 오랫동안 외울 수 있다. 왜냐면, 2차 완전제곱은 기본적으로 정사각형과 직사각형의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 구체적으로, 이차 완전제곱인 [math( left(a+bright)^2 = a^2+2ab+b^2 )] 은 아래 움짤처럼 나타낼 수 있다.
파일:완전제곱식_기하학.gif
이 움짤에 대한 설명
세제곱은 아래 움짤처럼 부피의 합으로 로 볼 수 있을 것이다.
파일:세제곱.gif 이 움짤에 대한 설명
반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 64×56과 602 - 42 의 계산식이 그 예.
형돈이와 대준이가 이를 주제로 <중2 수학은 이걸로 끝났다>라는 노래를 내놓았다. 뮤직비디오에 연습 문제가 나온다. 수준 때문에 이차식이 되는 것만 나온다. 근데 교육과정이 바뀌어서 '중3 수학은 이걸로 끝났다'로 제목을 바꿔야 할지도?
페이커도 곱셈공식의 중요성을 알고 있다. #
또한, 곱셈공식은 기하학적으로 접근했을 때 정말 간단하고 오랫동안 외울 수 있다. 왜냐면, 2차 완전제곱은 기본적으로 정사각형과 직사각형의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 구체적으로, 이차 완전제곱인 [math( left(a+bright)^2 = a^2+2ab+b^2 )] 은 아래 움짤처럼 나타낼 수 있다.
파일:완전제곱식_기하학.gif
이 움짤에 대한 설명
세제곱은 아래 움짤처럼 부피의 합으로 로 볼 수 있을 것이다.
파일:세제곱.gif 이 움짤에 대한 설명
2. 공식
다음은 대표적인 곱셈 공식이다.
[math( left(a+bright)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )]
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[math( left(a-bright)^2 = a^2 - 2ab + b^2 )]
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[math( left(a+bright)left(a-bright) = a^2 - b^2 )]
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[math( left(x+aright)left(x+bright) = x^2 + left(a+bright)x + ab )]
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[math( left(ax+bright)left(cx+dright) = acx^2 + left(ad+bcright)x + bd )]
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[math( x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2xy )]
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[math( (x-y)^2 = (x+y)^2-4xy )]
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[math( (x+y)^2 = (x-y)^2+4xy )]
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[math( displaystyle x^2+frac{1}{x^2} = (x+frac{1}{x})^2-2 )]
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[math( displaystyle x^2+frac{1}{x^2} = (x -frac{1}{x})^2+2 )]
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여기까지가 중학교 과정이다. 2015 개정 교육과정 기준으로 중학교 3학년 1학기 과정에 나온다.[2] 2009 개정 교육과정에서는 2학년 1학기 과정에서 이 공식들을 배웠으나, 이번에 인수분해와 함께 연계시키기 위해서 3학년으로 올린 듯.[3]
이 아래부터는 고등 수학 (상)에서 배우게 된다.
[math( left(x+aright)left(x+bright)left(x+cright) = x^3 + left(a+b+cright)x^2 + left(ab+bc+caright)x + abc )]
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[math( left(a+b+cright)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2bc + 2ca )]
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[math( left(a+bright)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, left(a-bright)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 )]
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[math( left(a+bright)left(a^2 - ab + b^2right) = a^3 + b^3, left(a-bright)left(a^2 + ab + b^2right) = a^3 - b^3 )]
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[math(frac{1}{2}left(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2right)=a^3+b^3+c^3-3abc)] [9]이라는 조건과 함께 나와서 [math(a=b=c)]를 알아내는데 쓰인다.]
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[math( left(a^2 + ab + b^2right)left(a^2 - ab + b^2right) = a^4 + a^2b^2 + b^4 )]
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의외의 사실이지만 초등학교 수학에서 [math(-1)]제곱에 대한 곱셈 공식을 가장 먼저 배운다. 눈썰미가 좋은 사람이라면 이것의 정체가 통분임을 알았을 것이다.
[math((a pm b)^{-1} = pm (a pm b)(ab)^{-1} = pm dfrac{a pm b}{ab})]
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2.1. 인수분해 공식
곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾼 것이다.
예시는 다음과 같다.
[math(a^2 + 2ab + b^2 = left(a+bright)^2)]
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[math( a^2 - 2ab + b^2 = left(a-bright)^2)]
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[math(a^2 - b^2 = left(a+bright)left(a-bright))]
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[math(x^2 + left(a+bright)x + ab = left(x+aright)left(x+bright))]
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[math( acx^2 + left(ad+bcright)x + bd = left(ax+bright)left(cx+dright) )]
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고등학교 과정의 인수분해 공식 또한 비슷하게 할 수 있다.
3. 집합과 확률에서 곱셈 공식
[math( P(A|B) = frac{P(B cap A)}{P(B)} )]
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[math( P(A cap B) = P(A|B)P(B) = P(B cap A) = P(B|A)P(A) )]
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A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B)
[math( P(B) )]
[math( = P(B cap A) )] [math( = P(B cap A_1) + P(B∩A_2))] [math( = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2))] |
[math( P(A_1|B) )]
[math(displaystyle = frac{P(B cap A_1)}{P(B)})] [math(displaystyle = frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)})] [math(displaystyle = frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)})] |
4. 관련 문서
[1] 특히 복소수의 절댓값, 복소 벡터의 내적을 구할 때 필수적이다.[2] 2018학년도 중학교 신입생부터 적용[3] 그 대신 피타고라스 정리가 2학년으로 내려왔다. 다만 무리수를 배우지 않았다는 점을 들어 자연수 범위에서의 피타고라스 수만을 다룬다. 이렇게 한 이유는 중2 나이대에 피타고라스 정리를 배우는 다른 나라들과 달리 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배워 국제적으로 학력을 비교 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다.[4] [math(-3abc)[5] 이게 중요한 것이, [math(a+b+c=0)[6] [math(-3abc)[7] 이게 중요한 것이, [math(a+b+c=0)[8] 위의 식에서 변형한 모습이다. 이 형태의 곱셈공식은 주로 [math(a^3+b^3+c^3-3abc=0)[9] 위의 식에서 변형한 모습이다. 이 형태의 곱셈공식은 주로 [math(a^3+b^3+c^3-3abc=0)[10] 어차피 고등수학 참고서에서 중학교때 공식을 한번 더 언급해준다.