[include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == '''1학년의 꿈(Freshman's Dream)'''은 [[곱셈 공식]]을 쓸 때 가장 자주 하는 실수를 이론적으로 정리한 것이다. >[math((x+y)^n = x^n+y^n)]를 만족하는 임의의 실수 [math(n, x, y)]는 자명한 조건인 [math(n =1 \vee x+y =0 \wedge n \equiv 1 \bmod 2 \vee xy =0)][* 중자는 [math(x)]와 [math(y)]가 서로 [[반수]]인 경우, 후자는 [math(x,y)] 중 하나라도 0인 경우. 중자의 경우는 [math(n)]이 [[홀수]]일 경우 성립한다.]를 만족하는 수 이외에는 없다. == 설명 == 1과 가까운 두 수인 0, 2로 예를 들면 * [math((x+y)^0 \neq x^0+y^0 \Leftrightarrow 1 \neq 2)] * [math((x+y)^2 \neq x^2+y^2 \Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 \neq x^2+y^2)] 이외에도 [[초등학교 수학]]에서 [[분모]]가 다른 [[분수(수학)|분수]]의 덧셈을 배울 때([[통분]])나, [[중학교 수학]]에서 [[제곱근]]을 배울 때 다음 관계를 [[시행착오#s-2]]로써 알게 되는 경우가 많은데 결국 같은 맥락이다. * [math(\dfrac{1}{x+y} \neq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \Leftrightarrow (x+y)^{-1} \neq x^{-1} + y^{-1})] * [math(\sqrt{x+y} \neq \sqrt{x}+\sqrt{y} \Leftrightarrow (x+y)^{1/2} \neq x^{1/2} + y^{1/2})] 이것을 모든 [[실수(수학)|실수]][* [[음수(수학)|음수]]의 경우 어차피 양수로 한 식을 [[역수]]로 취한 거라 양수의 예만 증명하면 자동적으로 증명된다. 예외적으로 위에 나온 [math(n=-1)] 같은 경우는 따로 증명해야 하지만.]로 확장해서 자명한 해인 [math(n =1)] 혹은 [math(x+y=0,\,xy=0)]이 성립하는 수 이외에는 없음이 증명되어 있다. 그럼 [[복소수]]는 어떨까? '''[[드 무아브르 공식]]의 존재로 안 된다.''' 복소수 지수는 [math(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta)]로 정의되는데, [math(\left(e^{i\theta}\right)^n = \cos n \theta + i \sin n\theta \neq [\cos \theta]^n + i [\sin \theta]^n)]이므로 복소수에서조차 일반적으로 등식이 성립되지 않는다. === 성립되는 예외적 조건 === 충격적이게도 자명하지 않은 조건에서 이게 성립하는 경우가 있다. [[소수(수론)|[math(p \in \mathbb{P})]]]인 [math(p)]가 표수[* [[체(대수학)|체]] [math(F)]에 대하여, [math(F)]의 곱셈의 [[항등원]] [math(1_{F})]을 유한번 더했을 경우, [[시계 산술|덧셈의 항등원 [math(0_{F})]이 나온다면]], 더해진 [math(1_{F})]의 최소 개수를 [math(F)]의 표수(characteristic)라고 한다. [math(1_{F})]을 아무리 더해도 [math(0_{F})]이 나오지 않으면, [math(F)]의 표수를 0으로 정의한다. [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면 [math(p)]는 소수임이 알려져 있다. 참고로 [[자연수]], [[정수]], [[유리수]], [[실수(수학)|실수]], [[복소수]] 같은 '일반적'인 [[수 체계]]는 무한집합이므로 이들의 표수는 0이다.]인 [[체(대수학)|체]]에서 <math>p</math>제곱을 하는 경우에 성립한다. [[이항정리]]에 의하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{r=0}^{p}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r} )] }}} 이 성립하는데, 이 때, [math(\displaystyle\binom{p}{r})]는 항상 [[자연수]]이다. 그런데, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\binom{p}{r}=\frac{p!}{r!(p-r)!} )] }}} 이고, 위의 우변에서 [math(0<r<p)]이면, 분모는 소수 [math(p)]보다 작은 수들의 곱이므로 인수로 [math(p)]를 가질 수 없다. 그래서, [math(\displaystyle\binom{p}{r})]은 [math(p)]의 배수가 되어서, 어떤 자연수 [math(m)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\binom{p}{r}=pm=(1_{F}+\cdots+1_{F})m=0_{F}\cdot m=0_{F} )] }}} 이 성립한다. 정리하면, 체 [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+\displaystyle\sum_{r=1}^{p-1}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\\&=a^{p}+\left(\sum_{r=1}^{p-1}0_{F}\cdot a^{r}b^{p-r}\right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} \end{aligned} )] }}} 가 성립한다. == 여담 == 자매품으로 해석학 및 미적분학 계열의 [[2학년의 꿈]]이 있다. 참고로 2학년의 꿈은 옳다. 아쉽게도 3학년의 꿈은 없다. [[분류:대수학]]