문서:조화수열

분류

1. 개요2. [[일반항]]3. 조화중항4. [[함수]]로 해석하기5. [[조화수(수학)|조화수열의 합]]6. [[극한]]7. [[조화급수]]

7.1. [[제타 함수]], [[폴리로그함수]]

1. 개요

harmonic sequence(progression) · 調和數列

[math({1,,1/3,,1/5,,1/7,,cdots})]처럼 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 조화수열이라고 한다. 다시 말해서, 수열 [math({1/a_n})]이 등차수열이면, 수열 [math({a_n})]은 조화수열이다.

현악기의 현의 길이가 조화수열인 [math({1,,1/2,,1/3,,1/4,,cdots})]의 형태일 때 화음이 가장 듣기 좋다고 하여 붙은 이름이다.

아래의 성질에서 볼 수 있듯이 수열 4종 세트(등차수열, 등비수열, 조화수열, 계차수열) 중에서 해석학의 성격이 가장 강한 수열이다.

2. 일반항

등차수열 [math({1/{a_n}})]의 초항이 [math(a)], 공차가 [math(d)]이면

[math(dfrac1{a_n}=a+(n-1)d)]

이렇게 되는 이유는 수열의 귀납적 정의 참고. [math({1/{a_n}})]이 등차수열이므로 [math({a_n})]은 조화수열이며 일반항은 다음과 같다.

[math(a_n=dfrac1{a+(n-1)d})]

만약 조화수열의 초항을 [math(a)]로 둔다면 역수를 취한 등차수열의 초항은 [math(1/a)]이므로 일반항은 다음과 같다.

[math(begin{aligned}dfrac1{a_n}&=dfrac1a+(n-1)d\&=dfrac{1+a(n-1)d}a\ \ therefore a_n&=dfrac a{1+a(n-1)d}end{aligned})]

3. 조화중항

[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 조화수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 조화중항 또는 조화평균이라고 하며, 세 항은 다음 관계를 만족시킨다.

[math(b=dfrac{2ac}{a+c})]

이를 증명하여 보자. [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 조화수열의 연속한 세 항이므로, [math(1/a)], [math(1/b)], [math(1/c)]은 등차수열을 이룬다.

[math(dfrac1b=cfrac{(1/a)+(1/c)}2=cfrac{{(a+c)}/{ac}}2=dfrac{a+c}{2ac} ;to; b=dfrac{2ac}{a+c})]

4. 함수로 해석하기

조화수열의 일반항은

[math(a_n=dfrac a{1+a(n-1)d})]

꼴이므로 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수로 해석할 수 있다. [math(ad neq 0)]인 경우에 한하여 식을 적당히 조작하면

[math(begin{aligned}a_n&=dfrac a{1+a(n-1)d}\ &=cfrac{{a}/{ad}}{(n-1)+(1/{ad})}\ &=cfrac{1/d}{n-{1-(1/{ad})}}end{aligned})]

이므로 [math(n)]축을 횡축, [math(a_n)]축을 종축으로 하여 그린 그래프는 다음과 같은 점근선을 갖는다.

[math(n=1-dfrac1{ad})]
[math(a_n=0)]: 횡축([math(n)]축)과 일치

또한 [math(d>0)]이면 우상단과 좌하단에, [math(d<0)]이면 좌상단과 우하단에 그래프가 그려진다.

[math(d=0)]인 경우 0으로 나눌 수 없으므로 분모와 분자를 [math(ad)]로 나누는 위 조작은 성립하지 않는다. 이 경우 처음 식에 [math(d=0)]을 대입하면 그대로 [math(a_n=a)]의 상수함수가 되므로 그래프가 [math(x)]축에 평행한 직선이 된다.

5. 조화수열의 합

등차수열이나 등비수열과 달리 조화수열의 합을 구하는 간단한 공식은 없고 보통 아래의 정적분을 이용한다. 항의 개수가 적을 경우 부분분수분해를 해서 통분하는 것이 더 빠르다.

[math(displaystyle H_x=int_0^1frac{1-t^x}{1-t},mathrm{d}t )]

자세한 내용은 조화수(수학) 문서를 참고하라.

6. 극한

조화수열의 일반항은 등차수열의 일반항의 역수이므로 조화수열

[math(a_n=dfrac a{1+a(n-1)d})]

의 극한은 [math(a)]의 부호와 관계없이 다음과 같다.

[math(displaystylelim_{ntoinfty}a_n=begin{cases}begin{aligned}&0; &(dneq 0)\&a; &(d=0)end{aligned}end{cases})]

7. 조화급수

7.1. 제타 함수, 폴리로그함수

조화급수로 유도되는 특수함수들이다. 자세한 내용은 문서 참조.