1. 개요
2. 상세
수열 [math({a_n})]에 대하여
이면 [math(b_n)]은 계차이고, [math({b_n})]은 [math({a_n})]의 계차수열이다. 여기에서 다음이 성립한다.
따라서 계차수열의 일반항을 안다면 원래 수열의 일반항 역시 알 수 있다. 계차수열의 일반항을 모른다면 제2계 계차수열 [math({c_n})]의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다. 이 경우 다음이 성립한다.
제3계, 제4계 계차수열에 대해서도 같은 방식을 얼마든지 적용할 수 있다. 따라서 제[math(m)]계 계차수열의 일반항을 모른다면 제[math((m+1))]계 계차수열의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다.
[math(b_n=a_{n+1}-a_n)]
이면 [math(b_n)]은 계차이고, [math({b_n})]은 [math({a_n})]의 계차수열이다. 여기에서 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned}cancel{a_2}-a_1&=b_1\cancel{a_3}-cancel{a_2}&=b_2\& ;;vdots\cancel{a_{n-1}}-cancel{a_{n-2}}&=b_{n-2}\+qquad a_n-cancel{a_{n-1}}&=b_{n-1}\ hline a_n-a_1&=displaystylesum_{k=1}^{n-1}b_k\ \ therefore a_n&=displaystylesum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1;(ngeq 2)end{aligned})]
따라서 계차수열의 일반항을 안다면 원래 수열의 일반항 역시 알 수 있다. 계차수열의 일반항을 모른다면 제2계 계차수열 [math({c_n})]의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다. 이 경우 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned}b_n&=displaystylesum_{k=1}^{n-1}c_k+b_1;(kgeq 2)\therefore a_n&=displaystylesum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1\&=sum_{k=1}^{n-1}left(sum_{j=1}^{k-1}c_j+b_1right)+a_1;(k,,ngeq 2)end{aligned})]
제3계, 제4계 계차수열에 대해서도 같은 방식을 얼마든지 적용할 수 있다. 따라서 제[math(m)]계 계차수열의 일반항을 모른다면 제[math((m+1))]계 계차수열의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다.
3. 성질
수열 [math({a_n})]의 일반항이 [math(r)]차 다항식
이면 [math({a_n})]의 계차수열 [math({b_n})]의 일반항은
[math(a_n=c_rn^r+c_{r-1}n^{r-1}+cdots+c_1n+c_0;(rneq 0))]
이면 [math({a_n})]의 계차수열 [math({b_n})]의 일반항은
[math(begin{aligned}b_n&=a_{n+1}-a_n\&={c_r(n+1)^r+c_{r-1}(n+1)^{r-1}+cdots+c_1(n+1)+c_0} \ &qquad qquad -(c_rn^r+c_{r-1}n^{r-1}+cdots+c_1n+c_0)\&=(cancel{c_rn^r}+c_rrn^{r-1}+cdots)-(cancel{c_rn^r}+cdots)end{aligned})]
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이와 같이 최고차항이 상쇄되므로 [math((r-1))]차 이하의 다항식이 된다. (정확하게는 원래 다항식의 차분이 된다) 마찬가지로 계차수열을 구하는 과정을 반복하면 결국에는 일반항이 일차식인 등차수열이 나오며, 그 다음에는 모든 항이 그 등차수열의 공차인, 다시 말해 수열의 일반항이 상수인 수열이 나온다. 한번 항의 값이 일정한 수열이 나왔으므로 이후에는 계속해서 모든 항이 0인 수열만 나오는데, 다음 예를 통해 직관적으로 확인해 보자.
수열
| 항
| 일반항
| 비고
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원래 수열
| [math(3,,17,,55,,129,,251,,433,,cdots)]
| [math(2n^3+1)]
| 삼차식
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계차수열
| [math(14,,38,,74,,122,,182,,cdots)]
| [math(6n^2+6n+2)]
| 이차식
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제2계 계차수열
| [math(24,,36,,48,,60,,cdots)]
| [math(12n+12)]
| 일차식(등차수열)
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제3계 계차수열
| [math(12,,12,,12,,cdots)]
| [math(12)]
| 상수식(일반항이 공차)
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제4계 계차수열
| [math(0,,0,,cdots)]
| [math(0)]
| 상수식(일반항이 0)
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제5계 계차수열
| [math(0,,0,,cdots)]
| [math(0)]
| 상수식(일반항이 0)
|
[math(vdots)]
| [math(vdots)]
| [math(vdots)]
| [math(vdots)]
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4. 계차수열로 원래 수열의 합 구하기
어떤 수열 [math({a_n})]과 그의 계차수열 [math({b_n})]에 대하여, 앞서 밝혔듯이
[math(a_n=a_1+displaystylesum_{k=1}^{n-1}b_k;(ngeq 2))]
이므로 다음이 성립한다.
[math(begin{matrix}&a_1&!!!=!!!&a_1\&a_2&!!!=!!!&a_1&!!+!!&!!!!!!!b_1!!!!!!!\&a_3&!!!=!!!&a_1&!!+!!&!!!!!!!!!b_1!!!!!!!!!&!!+!!&!!b_2!!\;&vdots&&!!vdots&&vdots&&vdots\&a_{n-1}&!!!=!!!&a_1&!!+!!&!!!!!!!!!b_1!!!!!!!!!&!!+!!&!!b_2!!&!!+!!&cdots&!!+!!&b_{n-2}\!!+&a_n&!!!=!!!&a_1&!!+!!&!!!!!!!!!b_1!!!!!!!!!&!!+!!&!!b_2!!&!!+!!&cdots&!!+!!&b_{n-2}&!!+!!&b_{n-1}\hline&displaystylesum_{k=1}^na_k&!!!=!!!&na_1&!!+!!&!!(n-1)b_1!!&!!+!!&!!(n-2)b_2!!&!!+!!&cdots&!!+!!&2b_{n-2}&!!+!!&b_{n-1}end{matrix})]
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결과를 합의 기호를 이용하여 나타내면 아래와 같다.
[math(displaystylesum_{k=1}^na_k=na_1+sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k;(ngeq 2))]
혹은 다음과 같이 해석할 수도 있다.
[math(displaystylesum_{k=1}^na_k=na_1+sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k;(ngeq 2))]
혹은 다음과 같이 해석할 수도 있다.
[math(begin{matrix}&{color{dodgerblue}a_1}&!!!!=&!!!!!{color{dodgerblue}a_1}!!!!&&!!!{color{red}b_1}!!&!!!!!!!{color{red}+}!!&!!!!{color{red}b_2}&!!!!!!!!{color{red}+}!!&{color{red}cdots}&!!{color{red}+}!!&!!!!{color{red}b_{n-2}}&!!!{color{red}+}!!&!{color{red}b_{n-1}}\&{color{dodgerblue}a_2}&!!!!=&!!!!!{color{dodgerblue}a_1}!!!!&!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!{color{dodgerblue}b_1}!!&&!!!!{color{red}b_2}&!!!!!!!!{color{red}+}!!&{color{red}cdots}&!!{color{red}+}!!&!!!!{color{red}b_{n-2}}&!!!{color{red}+}!!&!{color{red}b_{n-1}}\&{color{dodgerblue}a_3}&!!!!=&!!!!!{color{dodgerblue}a_1}!!!!&!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!{color{dodgerblue}b_1}!!&!!!!!!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!!{color{dodgerblue}b_2}&&{color{red}cdots}&!!{color{red}+}!!&!!!!{color{red}b_{n-2}}&!!!{color{red}+}!!&!{color{red}b_{n-1}}\;&{color{dodgerblue}vdots}&&!{color{dodgerblue}vdots}&&!!!{color{dodgerblue}vdots}&&!!!!!!{color{dodgerblue}vdots}&&vdots&&!!{color{red}vdots}&&{color{red}vdots}\&{color{dodgerblue}a_{n-1}}&!!!!=&!!!!!{color{dodgerblue}a_1}!!!!&!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!{color{dodgerblue}b_1}!!&!!!!!!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!!{color{dodgerblue}b_2}&!!!!!!!!{color{dodgerblue}+}!!&{color{dodgerblue}cdots}&!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!!{color{dodgerblue}b_{n-2}}&&!{color{red}b_{n-1}}\!!+!!;&{color{dodgerblue}a_n}&!!!!=&!!!!!{color{dodgerblue}a_1}!!!!&!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!{color{dodgerblue}b_1}!!&!!!!!!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!!{color{dodgerblue}b_2}&!!!!!!!!{color{dodgerblue}+}!!&{color{dodgerblue}cdots}&!!{color{dodgerblue}+}!!&!!!!{color{dodgerblue}b_{n-2}}&!!!{color{dodgerblue}+}!!&!{color{dodgerblue}b_{n-1}}\hline&{color{dodgerblue}displaystylesum_{k=1}^na_k}&!!!!=&!!!!!na_n!!!!&!!-!!&!!!{color{red}{b_1}&!!!!!{color{red}+}&!!!!{color{red}2b_2}&!!!!!!{color{red}+}&{color{red}cdots}&{color{red}+}&!{color{red}(n-2)b_2}&!{color{red}+}&!{color{red}(n-1)b_1}}end{matrix})]
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위 식의 결과를 합의 기호로 나타내면 아래와 같다.
[math({color{dodgerblue}displaystylesum_{k=1}^na_k}=na_n-{color{red}displaystylesum_{k=1}^{n-1}kb_k};(ngeq 2))]
어떤 방식으로 공식을 유도하든 값은 같다.
[math({color{dodgerblue}displaystylesum_{k=1}^na_k}=na_n-{color{red}displaystylesum_{k=1}^{n-1}kb_k};(ngeq 2))]
어떤 방식으로 공식을 유도하든 값은 같다.
[math(begin{aligned}na_1+displaystylesum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k&=na_1+nsum_{k=1}^{n-1}b_k-sum_{k=1}^{n-1}kb_k\&=na_1+n(a_n-a_1)-sum_{k=1}^{n-1}kb_k \&=na_n-displaystylesum_{k=1}^{n-1}kb_kend{aligned})]
5. 교육과정
- 대한민국: 계차수열은 본디 2007 개정 교육과정의 수학Ⅰ에서 고2~고3 때 인문·자연 공통으로 학습하던 내용이었으나, 2009 개정 교육과정에서 삭제된 이래로 교육과정에 등장하지 않고 있다.