1. 정의
조화수(harmonic numbers) [math(boldsymbol{H_n})]은 자연수 [math(n)]에 대하여 다음과 같이 조화수열의 합으로 정의되는 수이다.
[math(displaystyle H_n=1+frac12+frac13+cdots+frac1n=sum_{k=1}^nfrac1k )]
특히, [math(ntoinfty)]일 때에 해당하는 다음 급수는 '조화급수'라고 하며, 이는 양의 무한대로 발산함이 알려져 있다.
[math(displaystyle sum_{k=1}^inftyfrac1k=1+frac12+frac13+cdots=infty )]
나아가 비교판정법에 의하여 임의의 조화수열의 무한급수
는 항상 발산한다.
이 조화급수를 다음과 같이 표현할 수도 있다.
[math(displaystyle lim_{n to infty} H_n = zeta(1) = lim_{n to infty} ln n + gamma )][1]은 무한대로 발산한다. 오일러-마스케로니 상수의 정의에 의의를 두는 식인 셈.]
여기서 [math(zeta(1))]은 제타 함수이다.
조화수를 아래와 같이 무한급수로도 표현할 수 있다. 급수를 전개해보면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
[math(displaystyle H_n = sum_{k=1}^{infty} !left( frac1k - frac1{k+n} right) )]
[math(x)]가 자연수일 때는 분수를 약분한 후 정적분하면 위의 급수식 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
[math(displaystyle H_x=int_0^1frac{1-t^x}{1-t},mathrm{d}t )]
[math(displaystyle H_n=1+frac12+frac13+cdots+frac1n=sum_{k=1}^nfrac1k )]
특히, [math(ntoinfty)]일 때에 해당하는 다음 급수는 '조화급수'라고 하며, 이는 양의 무한대로 발산함이 알려져 있다.
[math(displaystyle sum_{k=1}^inftyfrac1k=1+frac12+frac13+cdots=infty )]
나아가 비교판정법에 의하여 임의의 조화수열의 무한급수
[math(displaystylesum_{k=1}^{infty}a_k=sum_{k=1}^{infty}dfrac a{1+a(k-1)d})]
는 항상 발산한다.
이 조화급수를 다음과 같이 표현할 수도 있다.
[math(displaystyle lim_{n to infty} H_n = zeta(1) = lim_{n to infty} ln n + gamma )][1]은 무한대로 발산한다. 오일러-마스케로니 상수의 정의에 의의를 두는 식인 셈.]
여기서 [math(zeta(1))]은 제타 함수이다.
조화수를 아래와 같이 무한급수로도 표현할 수 있다. 급수를 전개해보면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
[math(displaystyle H_n = sum_{k=1}^{infty} !left( frac1k - frac1{k+n} right) )]
[math(x)]가 자연수일 때는 분수를 약분한 후 정적분하면 위의 급수식 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
[math(displaystyle H_x=int_0^1frac{1-t^x}{1-t},mathrm{d}t )]
2. 성질
2.1. 점화 관계
조화수는 다음과 같은 점화식 관계를 만족한다. [math(x)]가 자연수 [math(n)]일 때에는 아래의 점화 관계를 직관적으로 이해할 수 있다.
[math(displaystyle H_{x+1}=H_x+frac1{x+1} )]
[math(displaystyle H_{x+1}=H_x+frac1{x+1} )]
2.2. 반사 공식
조화수에는 다음과 같이 반사 공식이 존재한다.
[math(displaystyle H_{1-x}-H_x=picot(pi x)-frac1x+frac1{1-x} )]
[math(displaystyle H_{1-x}-H_x=picot(pi x)-frac1x+frac1{1-x} )]
3. 적분
정적분식 정의를 사용하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned}
int_0^1 H_x ,mathrm{d}x &= iint_{(0,,1)^2} frac{1-t^x}{1-t} ,mathrm{d}t ,mathrm{d}x = gamma \
int_0^n H_x ,mathrm{d}x &= ngamma + ln(n!)
end{aligned})][2]이다. 자세한 내용은 중적분 참조.][3]
여기서 [math(gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이고 [math(n)]은 자연수이다.
[math(displaystyle begin{aligned}
int_0^1 H_x ,mathrm{d}x &= iint_{(0,,1)^2} frac{1-t^x}{1-t} ,mathrm{d}t ,mathrm{d}x = gamma \
int_0^n H_x ,mathrm{d}x &= ngamma + ln(n!)
end{aligned})][2]이다. 자세한 내용은 중적분 참조.][3]
여기서 [math(gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이고 [math(n)]은 자연수이다.
4. 일반화
조화수를 일반화한 버전으로, '일반화된 조화수'(Generalized harmonic numbers)를 생각할 수 있다. 다음과 같이 정의된다.
[math(displaystyle H_n^{(m)}=sum_{k=1}^nfrac1{k^m} )]
[math(n)]을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.
[math(displaystyle lim_{n to infty} H_n^{(m)} = zeta(m) )]
[math(displaystyle H_n^{(m)}=sum_{k=1}^nfrac1{k^m} )]
[math(n)]을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.
[math(displaystyle lim_{n to infty} H_n^{(m)} = zeta(m) )]
5. 생성함수
조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다. 증명은 생성함수 문서의 해당 부분에서 볼 수 있다.
[math(displaystyle sum_{n=1}^{infty}H_nx^n=-frac{ln{(1-x)}}{1-x} )]
조화수의 지수 생성함수는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{n=1}^{infty}H_nfrac{x^n}{n!}&=-e^xsum_{k=1}^{infty}frac1kfrac{(-x)^k}{k!} \&=e^x[mathrm{Ei}(x)+gamma+ln x] end{aligned} )]
여기서 [math(mathrm{Ei}(x))]는 지수 적분 함수이다.
일반화된 조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
[math(displaystyle sum_{n=1}^{infty}H_n^{(m)}x^n=frac{mathrm{Li}_m(x)}{1-x} )]
여기서 [math(mathrm{Li}_m(x))]는 폴리로그함수이다.
[math(displaystyle sum_{n=1}^{infty}H_nx^n=-frac{ln{(1-x)}}{1-x} )]
조화수의 지수 생성함수는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{n=1}^{infty}H_nfrac{x^n}{n!}&=-e^xsum_{k=1}^{infty}frac1kfrac{(-x)^k}{k!} \&=e^x[mathrm{Ei}(x)+gamma+ln x] end{aligned} )]
여기서 [math(mathrm{Ei}(x))]는 지수 적분 함수이다.
일반화된 조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
[math(displaystyle sum_{n=1}^{infty}H_n^{(m)}x^n=frac{mathrm{Li}_m(x)}{1-x} )]
여기서 [math(mathrm{Li}_m(x))]는 폴리로그함수이다.
6. 알려진 값
실수 범위에서 몇 가지 알려진 조화수의 값은 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned}
H_{1/2}&=2-2ln{2} \
&approx0.6137056389 \
H_{1/3}&=3-frac{pi}{2sqrt3}-frac32ln3 \
&approx0.4451818849 \
H_{1/4}&=4-frac{pi}2-3ln2 \
&approx0.3497621315 \
H_{1/5}&=5-frac{pi}{10}sqrt{25+10sqrt5}+frac12ln2-frac54ln5 \
&qquad qquad+frac{-1+sqrt5}4ln{(-1+sqrt5)}-frac{1+sqrt5}4ln{(1+sqrt5)} \
&approx0.2881757683 \
H_{1/6}&=6-frac{sqrt3}2pi-2ln2-frac32ln3 \
&approx0.2450881595
end{aligned})]
[math(H_{1/5})]의 값을 구하는 과정에서는 여기의 'Example 15'에서 소개하는 공식과 여기에 나와있는 값들을 사용하였다. [math(H_{1/5})]을 제외한 나머지 값들은 정적분식 정의를 사용해서 구할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned}
H_{1/2}&=2-2ln{2} \
&approx0.6137056389 \
H_{1/3}&=3-frac{pi}{2sqrt3}-frac32ln3 \
&approx0.4451818849 \
H_{1/4}&=4-frac{pi}2-3ln2 \
&approx0.3497621315 \
H_{1/5}&=5-frac{pi}{10}sqrt{25+10sqrt5}+frac12ln2-frac54ln5 \
&qquad qquad+frac{-1+sqrt5}4ln{(-1+sqrt5)}-frac{1+sqrt5}4ln{(1+sqrt5)} \
&approx0.2881757683 \
H_{1/6}&=6-frac{sqrt3}2pi-2ln2-frac32ln3 \
&approx0.2450881595
end{aligned})]
[math(H_{1/5})]의 값을 구하는 과정에서는 여기의 'Example 15'에서 소개하는 공식과 여기에 나와있는 값들을 사용하였다. [math(H_{1/5})]을 제외한 나머지 값들은 정적분식 정의를 사용해서 구할 수 있다.