4차원 정다포체

분류

기하학

1. 개요2. 종류

2.1. 볼록 정다포체2.2. 오목 정다포체2.3. 입체와 면과 모서리와 꼭지점의 개수

3. 여담4. 연관항목

1. 개요[편집]

파일:external/upload.wikimedia.org/5-cell.gif	파일:external/5a47996fd0e4f8e9aef4318700b3910b89aea3a95e831aaae244b7a2f4c240ee.gif	파일:external/upload.wikimedia.org/16-cell.gif
↑ 정오포체	↑ 정팔포체	↑ 정십육포체
파일:external/upload.wikimedia.org/24-cell.gif	파일:external/upload.wikimedia.org/120-cell.gif	파일:external/upload.wikimedia.org/600-cell.gif
↑ 정이십사포체	↑ 정백이십포체	↑ 정육백포체[1]
W축으로 회전하는 4차원 정다포체들을 3차원에 투영시킨 모습

四次元正多胞體/4-Dimensional Regular Polychoron (또는 regular polychoron, regular 4-polytope)

기하학에 등장하는 4차원 도형의 일종.

4차원 다포체 중에서 모든 면이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 선분에서 만나는 입체의 개수가 같은 다포체를 말한다.

2. 종류[편집]

여섯 개의 볼록 정다포체와 열 개의 오목 정다포체가 존재한다..

2.1. 볼록 정다포체[편집]

({p,q,r}은 슐레플리 부호.)

정오포체 : 5개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,3}
정팔포체 = 테서랙트 : 8개의 정육면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {4,3,3}
정십육포체 : 16개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,4}
정이십사포체 : 24개의 정팔면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,4,3}
정백이십포체 : 120개의 정십이면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {5,3,3}
정육백포체 : 600개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 5개. : {3,3,5}

2.2. 오목 정다포체[편집]

큰 거대 별모양 백이십포체 (Great Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 3}
큰 별모양 백이십포체 (Great Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 5}
거대 별모양 백이십포체 (Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 5/2} [A]
작은 별모양 백이십포체 (Small Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 3}
큰 이십면체 백이십포체 (Great Icosahedral 120-cell) : {3, 5/2, 5}
거대 육백포체 (Grand 600-cell) : {3, 3, 5/2}
정이십면체 백이십포체 (Icosahedral 120-cell) : {3, 5, 5/2}
큰 거대 백이십포체 (Great Grand 120-cell) : {5, 5/2, 3}
큰 백이십포체 (Great 120-cell) : {5, 5/2, 5} [A]
거대 백이십포체 (Grand 120-cell) : {5, 3, 5/2}

2.3. 입체와 면과 모서리와 꼭지점의 개수[편집]

볼록 정다포체의 입체의 개수를

C

, 면의 개수를

F

, 모서리의 개수를

E

, 꼭지점의 개수를

V

라고 할 때,

V-E+F-C

[4]

=

[math(0)]이다.

정다포체	입체의 개수	면의 개수	모서리의 개수	꼭지점의 개수
정오포체	5	10	10	5
정팔포체	8	24	32	16
정십육포체	16	32	24	8
정이십사포체	24	96	96	24
정백이십포체	120	720	1200	600
정육백포체	600	1200	720	120

플라톤이 5개의 볼록 정다면체에 그리스의 4원소들을 대응시켰듯[5], 정식명칭은 아니지만 4차원 정다포체에 대해서도 4원소설의 원소들과 대응되는 이름으로 부르는 사람들이 있다. 단, 4차원 볼록 정다포체는 총 6개로 4원소+(5번째 원소인 에테르)[6]를 만족시키기 어려우므로 정이십사포체에 대하여 동양의 음양오행설에서의 나무를 따와 Xylochoron(xylo- : 나무)이라고 부른다.

원소	대응되는 플라톤의 정다면체	대응되는 정다포체 (별명)
불	정사면체	정오포체 (pyrochoron)
땅	정육면체	정팔포체 (geochoron)
공기	정팔면체	정십육포체 (aerochoron)
나무(4원소설의 원소가 아님)		정이십사포체 (xylochoron)
에테르(또는 공간, 또는 우주)	정십이면체	정백이십포체 (cosmochoron)
물	정이십면체	정육백포체 (hydrochoron)

단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 4차원 유클리도 공간까지만 존재한다. 즉, 5차원부터는 볼록한 정다포체가 오직 3개까지만 존재한다.[7]

3차원 정다면체 중에서는 오직 정육면체만이 공간을 빈틈없이 채울 수 있지만 4차원 정다포체 중에서는 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체가 공간을 빈틈없이 채울 수 있다.

4. 연관항목[편집]

[1] 숫자는 더 큰데 오히려 정백이십포체보다 작아 보이는 이유는 정백이십포체는 정십이면체로 이루어져 있지만 정육백포체는 정사면체로 이루어져 있기 때문이다.[A] ^2.1 ^2.2 이것은 자기쌍대인 4차원의 오목한 정다포체이다. 그것도 2가지나 된다.[4] 오일러 지표(Euler characteristic)라고 한다.[5] 불은 정사면체, 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정이십면체, 그리고 에테르(또는 공간, 또는 우주)를 정십이면체에 대응시켰다.[6] 또는 공간, 또는 우주[7] 각각 n차원 정(n+1)포체(= 단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2ⁿ포체(=정축체)이다.