[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+2 Faulhaber's Formula}}} 자연수 [math(k)]에 대한 거듭제곱 [math(k^c)]의 합 || [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = 1^c + 2^c + 3^c + \cdots\cdots + \left(n-1 \right)^c + n^c)] || 에 대한 공식으로 [[야콥 베르누이]]가 발견[* 후술하겠지만 '''증명하지는 않았다'''.]했기에 종종 '''베르누이의 공식''' 또는 단순히 '''거듭제곱 합의 공식'''이라 불린다. == 상세 == 일반식은 다음과 같이 주어진다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \\ &= \frac 1{c+1} B_0 n^{c+1} - B_1 n^c + \frac c2 B_2 n^{c-1} - \frac{c \left(c-1 \right)}6 B_3 n^{c-2} + \cdots\cdots + \frac{\left( -1 \right)^{c-1} c}2 B_{c-1} n^2 + \left( -1 \right)^c B_c n \\ &= \frac 1{c+1} n^{c+1} + \frac 12 n^c + \frac c{12} n^{c-1} + \cdots\cdots + \frac{\left( -1 \right)^{c-1} c}2 B_{c-1} n^2 + \left( -1 \right)^c B_c n \end{aligned})] || 여기서 [math(B_k)]는 [[베르누이 수열]]로 자세한 것은 해당 문서 참조. [math(k=1)]일 때 [math(B_1 ^+ = \dfrac 12)]이 되는 베르누이 수열 [math(B_k ^+)]를 사용할 경우 [math(B_k ^+ = \left( -1 \right)^k B_k)]이므로 식 형태는 좀 더 깔끔해진다.[* 사실 베르누이 수열을 발견한 [[야콥 베르누이]] 본인도 후자의 수열을 [math(B_k)]라 정의했다. 오늘날에는 생성함수를 통해 더 엄밀하게 정의할 수 있기 때문에 [math(B_1 = -\dfrac 12)]이 되는 베르누이 수열을 [math(B_k)]라고 정의한다.] 식 자체는 복잡해보이지만 [math(B_k = b^k)]로 치환하면 위의 식은 [[이항정리]]를 풀어서 쓴 형태와 유사하다는 걸 알 수 있다. ||[math(\displaystyle \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} = \sum_{k=0}^c \frac 1{c+1} \binom{c+1}k \left( -b \right)^k n^{c+1-k} = \frac{\left( n-b \right)^{c+1} - \left( -b \right)^{c+1}}{c+1})]|| 파울하버는 베르누이가 공식을 발견하기 전에 [math(c)]가 홀수일 경우에 대한 규칙성을 발견하고 [math(c=17)]까지의 식을 제시한 인물로 공식 자체를 증명한 사람은 아니지만, 이와 관련이 있는 '파울하버 다항식'을 먼저 발견한 업적이 있어서인지 파울하버의 이름이 붙은 쪽이 더 유명하다.[* 그래서 파울하버 다항식에 등장하는 각 항의 계수는 베르누이 수열을 이용해서 표현할 수 있으나 당시 파울하버 본인은 이러한 연관성을 발견하지 못했다.] === 간략화 === [[베르누이 수열]] 문서에도 나와있듯이 [math(k \ne 1)]인 홀수이면 [math(B_k = 0)]이라는 성질이 있고 [math(k=1)]일 때의 항은 수식 구조상 반드시 [math(\dfrac 12 n^c)]가 나오기 때문에 [math(c)]가 홀수일 경우와 짝수일 경우에 따라 다음과 같이 간략화할 수 있다. 자연수 [math(m)]에 대해 [math(c = 2m-1)]이면 [math(B_{c+2} = 0)]이고 항은 [math(k=c-1=2m-2)]까지 존재하므로 ||[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2m-1} = \frac 12 n^{2m-1} + \sum_{k=0}^{m-1} \frac 1{2m} \binom{2m}{2k} B_{2k} n^{2 \left(m-k\right)})] || [math(c = 2m-2)]이면 [math(B_c \ne 0)]이므로 ||[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2m-2} = \frac{1-\delta_{1, \ m}}2 n^{2m-2} + \sum_{k=0}^m \frac 1{2m-1} \binom{2m-1}{2k} B_{2k} n^{2 \left( m-k \right)-1})] || [math(\delta_{1, \ m})]은 [[크로네커 델타]]이다. [math(m=1)], 즉 [math(c=0)]인 경우 따로 분리시켰던 [math(k=1)]일 때의 항을 제거하기 위해 덧붙인 함수이다. == 역사 == 당초 베르누이 자신의 표기법은 다음과 같았는데, 재미있는 것은 그가 죽고 난 뒤 출판된 《추측술》(Ars Conjectandi, 1713)이란 저서에 공식만 덩그러니 놓여있었을 뿐 [[여백이 부족하다|증명이 같이 실려있지 않았다(……)]]는 점이다. 엄밀한 증명은 후대에 [[카를 구스타프 야코프 야코비|야코비]]에 의해 이루어졌다. ||[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1} + \frac 12 n^c + \sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k})] || 여기서 [math(c^{\underline{k-1}})]은 [[팩토리얼#하강 계승|하강 계승]]으로 [math(c^{\underline{k-1}} = \dfrac{c!}{(c-k+1)!})]이며, 이 관계를 이용하면 [math(c^{\underline{-1}} = \dfrac 1{c+1})], [math(c^{\underline 0} = 1)]이므로 거듭제곱 합의 공식은 더 간략하게 ||[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k})] || 로 나타낼 수 있다. 오늘날 생성 함수를 이용해서 정의된 베르누이 수열을 기준으로 따지면 이 식의 베르누이 수열은 [math(B_k^-)]가 아닌 [math(B_k^+)]에 해당하므로 ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \sum_{k=0}^c \frac{B_k^+}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k} = \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k} = \sum_{k=0}^c \left( -1 \right)^k B_k \frac{c!}{k! \left( c-k+1 \right) !} n^{c+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \end{aligned})] || == 유도 == ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \left( e^x \right)^k &= \frac {e^x \left(e^{nx}-1 \right)}{e^x-1} = \frac{e^{nx}-1}{1 - e^{-x}} = \frac{e^{nx}-1}x \frac x{1 - e^{-x}} = \frac 1x \left\{ \sum_{c=0}^\infty \frac{\left( nx \right)^c}{c!} - 1 \right\} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} = \sum_{c=1}^\infty \frac{n^c x^{c-1}}{c!} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \frac{n^{c+1} x^c}{(c+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} = \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \frac{B_k^+ x^k}{k!} \frac{n^{c-k+1} x^{c-k}}{(c-k+1)!} = \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \frac{(c+1)!}{k! \left( c-k+1 \right)!} \frac{B_k^+ n^{c+1-k} x^c}{(c+1)!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \binom{c+1}k \frac{B_k^+ n^{c+1-k}}{c+1} \frac{x^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty \left\{\sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \right\} \frac{x^c}{c!} \end{aligned})] || 한편 ||[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( e^x \right)^k = \sum_{k=1}^n e^{kx} = \sum_{k=1}^n \sum_{c=0}^\infty \frac{\left( kx \right)^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=1}^n k^c \frac{x^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty \left(\sum_{k=1}^n k^c \right) \frac{x^c}{c!})] || 위 두 식이 같아야하므로 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k})]가 얻어진다. == 예시 == ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n k &= \frac 12 \left( B_0 n^2 - 2 B_1 n \right) = \frac 12 \left( n^2 + n \right) = \frac{ n \left( n+1 \right)}2 \\ \sum_{k=1}^n k^2 &= \frac 13 \left( B_0 n^3 - 3 B_1 n^2 + 3 B_2n \right) = \frac 13 \left( n^3 + \frac 32 n^2 + \frac 12 n \right) = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}6 = \frac{n \left(n +1 \right) \left(2n + 1 \right)}6 \\ \sum_{k=1}^n k^3 &= \frac 14 \left( B_0 n^4 - 4 B_1 n^3 + 6 B_2 n^2 \right) = \frac 14 \left( n^4 + 2n^3 + n^2 \right) = \left\{ \frac{n \left(n+1 \right)}2 \right\}^2 \\ \sum_{k=1}^n k^4 &= \frac 15 \left( B_0 n^5 - 5 B_1 n^4 + 10 B_2 n^3 + 5 B_4 n \right) = \frac 15 \left(n^5 + \frac 52 n^4 + \frac 53 n^3 - \frac 16n \right) = \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} = \frac{n \left(n+1 \right) \left(2n+1 \right) \left(3n^2+3n-1 \right)}{30} \end{aligned})] || == 대한민국 교육과정 == 대한민국 고등학교 교육과정에서 수열의 합을 다룰 때 [math(c\ge4)] 범위는 안 다룬다. [math(c = 1,\,2,\,3)]일 때 공식을 유도하는 원리조차 다르며[* 보통은 항등식 [math(\displaystyle (k+1)^c - k^c = \sum_{i=0}^{c-1} \binom cik^i = ck^{c-1} + \sum_{i=0}^{c-2}\binom cik^i)]을 [math(k=1)]부터 [math(k=n)]까지 모조리 더해서 [math(\displaystyle (n+1)^c -1 = c\sum_{k=1}^n k^{c-1} + \sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=0}^{c-2} \binom cik^i\right))]로 만들고, 이항하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{c-1} = \dfrac1c\left\{(n+1)^c -1 -\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=0}^{c-2} \binom cik^i\right)\right\})]이 되므로 우변의 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=0}^{c-2} \binom cik^i\right))]에 대해 이미 알고있는 합의 공식들을 모두 대입해서 유도하는 방식을 쓴다.~~[[노가다(수학)|그야말로 개노가다]]~~ [math(k^{c-1} = k^2)] 또는 [math(k^3)] 즉 [math(c = 3,\,4)]라면 이 방법으로 충분히 구할 수 있으나 [math(c\ge5)]가 되면 그야말로 [[노가다(수학)|개노가다의 산물]]이 된다. 한편, 본 문서에서 소개한 과정을 이해하려면 최소한 테일러 급수는 알고 있어야 하는데 이미 여기서부터 고등학교 범위를 한참 벗어났다.] 애초에 이 공식을 외운다 하더라도 [[베르누이 수열]]을 같이 외워두지 않으면 아무런 쓸모가 없으므로 자연수 거듭제곱의 합에 대해 이런 공식이 있다는 것 정도로만 알아두면 좋을 것이다. [include(틀:문서 가져옴, title=베르누이 수열, version=21)] [[분류:해석학(수학)]]