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정적분의 정의에 따라

라 하면

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파일:역함수 예제 1.jpg
함수 [math(f(x))]가 점 [math((0,0))]과 [math((3,7))]을 지나고 역함수가 존재하므로 [math(f(x))]는 증가함수이다. 따라서 그래프의 개형은 위 그림과 같다.

[math(displaystyle{color{purple}int_0^7 g(x);{rm d}x})]와 빨간색 영역의 넓이는 같으며, [math(displaystyle{color{turquoise}int_0^3 f(x);{rm d}x})]는 초록색 영역이므로, 구하려는 값인 초록색 영역과 보라색 영역의 넓이의 합은 초록색 영역과 빨간색 영역의 넓이의 합과 같다. 이는 곧 직사각형의 넓이와 같으므로 [math(3 cdot 7=21)]

사실 [math(f(x)=dfrac{7}{3}x)]로 놓아버리면 그래프가 직선이 되어 굳이 정적분을 도입하지 않아도 삼각형의 넓이의 합으로도 풀 수 있다. 그러나 만약 풀이까지 써야 한다면 [math(f(x))]의 그래프가 무조건 직선이라는 보장이 없으므로 그런 풀이로는 제대로 된 점수를 받을 수 없다.

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[math(f'(x)=3(x-1)^2)]이므로 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.

파일:역함수 예제 3.jpg


한편, 위의 계산은 공식으로 더욱 간단히 해결할 수 있다. 이 공식에 대해서는 다항함수/추론 및 공식 참고.

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파일:역함수 예제 2.jpg

정적분의 정의를 상기하면서 식의 어떤 자리에 어떤 수나 문자가 있는지 따져 보면 된다.

여기에서, [math(x_k)]가 [math(x)]로 변하고 [math(Delta x)]가 [math({rm d}x)]가 된다는 점을 상기해야 한다. [math(Delta x)]란 본디 [math(displaystylefrac{b-a}{n})]의 꼴이므로 문제의 식에서는 [math(displaystylefrac{5}{n})]라고 할 수 있다. 그러면 [math(x_k=a+displaystylefrac{b-a}{n}k=1+frac{5k}{n})]가 된다. 따라서 문제의 식에 있는 [math(left(displaystyle 1+frac{5k}{n}right)^2)]을 그대로 [math(displaystyle x^2)]으로 바꿔서 쓰면 된다.

이제 위끝과 아래끝을 결정할 차례이다. 앞서 말했듯이 [math(x_0=a)], [math(x_n=b)]이므로 [math(a=1+dfrac{5⋅0}{n}=1)], [math(b=1+dfrac{5⋅n}{n}=6)]이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

[math(displaystyleint_1^6 x^2,{rm d}x)]

[math(displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n fleft(dfrac{n+4k}{n}right)dfrac{1}{n})]
[math(=displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n fleft(1+dfrac{4k}{n}right)dfrac{1}{n})]

문제 1에서는 [math(left(1+dfrac{5k}{n}right)^2dfrac{5}{n})] 식으로, [math(dfrac{5}{n})]가 두 번 보였기 때문에 그대로 [math(Delta x=dfrac{5}{n})]로 놓으면 [math(x_k)]까지 순조롭게 정해졌었다. 그러나 문제 2는 [math(fleft(1+dfrac{4k}{n}right)dfrac{1}{n})] 식으로, [math(dfrac{4}{n})]도 보이고 [math(dfrac{1}{n})]도 보인다. 이 경우 둘의 수를 통일해야 문제 1과 같이 정적분의 꼴로 바꿀 수가 있을 것이다. 그러면 [math(dfrac{4}{n})]로 통일할까, [math(dfrac{1}{n})]로 통일할까? 당연히 [math(dfrac{4}{n})]로 통일해야 한다. 그러는 편이 비교도 안 되게 쉽기 때문이다.

[math(displaystylefrac{1}{4}lim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n fleft(1+dfrac{4k}{n}right)dfrac{4}{n})]

와 같이 [math(dfrac{1}{4})]이라는 상수를 앞으로 넘겨주기만 하면 끝이다. 계속 계산하면

문제 1과 같이, [math(Delta x=dfrac{4}{n})]로 놓을 수 있고, [math(x_k=1+dfrac{4k}{n})]가 된다. [math(a=x_0=1)], [math(b=x_n=4)]이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

[math(displaystylefrac{1}{4}int_1^5 f(x) ,{rm d}x)]

[math(displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n left(dfrac{2k^3}{n^4}right))]
[math(=displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n left(dfrac{k}{n}right)^3⋅dfrac{2}{n})]

문제 2와 마찬가지로 수를 통일해 주어야 한다. [math(dfrac{1}{n})]과 [math(dfrac{2}{n})]가 보이는데, 상수 [math(2)]를 앞으로 넘겨서 [math(dfrac{1}{n})]로 통일하자.

[math(=2displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n left(dfrac{k}{n}right)^3⋅dfrac{1}{n})]

[math(a)]의 값을 찾을 수 있겠는가? [math(dfrac{k}{n})] 바로 앞에는 [math(boldsymbol {0+})]가 생략되어 있는 것으로 보면 [math(a=0)]임을 알 수 있다. [math(b-a=1)]이므로 [math(b=1)]이고 [math(Delta x=dfrac{1}{n})]이다. 그러면 자연스럽게 [math(x_k=dfrac{k}{n})]가 된다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

[math(2displaystyleint_0^1 x^3 ,{rm d}x)]

이를 계산하면

[math(2left[dfrac{1}{4}x^4right]_0^1)]

[math(=2(dfrac{1}{4}-0))]

[math(=dfrac{1}{2})]

사실 이 문제를 푸는 편법이 있는데, 대학수학능력시험/수학 영역/여담 참고.

당황할 것 없이, [math(sum)]로 식을 다시 나타내면 된다.

[math(displaystylelim_{ntoinfty}frac{displaystylesum_{k=1}^n (n+k)^3}{displaystylesum_{k=1}^n k^3}=frac{displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n (n+k)^3}{displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n k^3})]

사실 이 상태로는 정적분으로 나타낼 수가 없다. 앞서 문제를 풀어 보았듯이, [math(dfrac{b-a}{n}k)]와 [math(dfrac{b-a}{n})]의 꼴이 나와야 [math(Delta x)]나 [math(x_k)]를 정하기 쉬우므로 그에 맞게 식을 변형해 보자. 분모와 분자를 [math(n^4)]으로 나누는 것이다.

[math(=displaystylefrac{displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n {cfrac{(n+k)^3}{n^4}} }{displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n {cfrac{k^3}{n^4}} }=dfrac{displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n left(1+cfrac{k}{n}right)^3⋅cfrac{1}{n}}{displaystylelim_{ntoinfty}sum_{k=1}^n left(cfrac{k}{n}right)^3⋅cfrac{1}{n}})]

[math(=dfrac{displaystyleint_1^2 x^3 ,{rm d}x}{displaystyleint_0^1 x^3 ,{rm d}x}=dfrac{displaystyleleft[cfrac{1}{4}x^4right]_1^2}{displaystyleleft[cfrac{1}{4}x^4right]_0^1})]

[math(=dfrac{4-cfrac{1}{4}}{cfrac{1}{4}-0})]

[math(=15)]

1번은 함수 [math(y=tf(t))][5]로 써야 할 이유는 없다! [math(y=tf(t))]이든 [math(a=tf(t))]이든 쓰는 사람 마음이며 수학적으로 전혀 틀린 게 아니다. 그러나 관습적 표기를 따라서 종속 변수를 [math(y)]로 쓰기로 한다.]를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 2번은 함수 [math(y=af(a))]라는 함수를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 3번 역시 마찬가지로 함수 [math(y=xf(x))]를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 그러나 3번이 1번 및 2번과 다른 점은, 문자 [math(x)]가 상수라는 것이다! 잘 이해가 안 되면 다음 그래프를 보자.

파일:귀여운정적분정의함수.jpg

여기에서 첫째 그래프와 둘째 그래프를 보면, 모든 것이 똑같고 가로축의 변수를 표기한 문자만이 다르다. 가로축의 변수를 무슨 문자로 쓸 것인지는 완전히 임의적인 것이기에, [math(a)]로 쓰든 [math(t)]로 쓰든 '꽦'으로 쓰든(...) 하등 문제는 없고, 실질적인 계산에서도 문자만 달라질 뿐, 그 달라진 문자가 계산에 전혀 영향을 주지 않는다. 그러나 셋째 그래프는 이야기가 다르다. 그래프의 함수식이, 가로축의 변수 [math(t)]에 관한 식이 아니고 아예 새로운 문자 [math(x)]에 관한 식이기에 이는 상수함수이다. [math(x=1)]이면 [math(y=f(1))]을 1부터 1까지 정적분한 값을 구하고, [math(x=100)]이면 [math(y=100f(100))]을 1부터 100까지 정적분한 값을 구하는 것이다. 상수함수는 [math(x)]축과 평행하므로, 정적분으로 구하고자 하는 도형은 항상 직사각형이 된다. 따라서 [math(y=displaystyleint_1^x xf(x),{rm d}t)]는 [math(y=x(x-1)f(x))]나 다름없다.

이 역시 그래프를 보며 생각해 보자.

파일:귀여운정적분정의함수.jpg

세 그래프 모두, [math(x)]의 값에 따라 빨간색 부분의 넓이([math(y)]값)이 달라지므로, 곧 정적분의 값도 달라짐을 알 수 있을 것이다. 따라서 1번, 2번, 3번 함수 모두 [math(boldsymbol x)]에 관한 함수이다. [math(t)]니 [math(a)]니 다른 문자들이 같이 등장해도 [math(t)]에 관한 함수, [math(a)]에 관한 함수로 착각하면 절대 안 된다.

아직도 헷갈린다면 미적분의 기본정리의 내용을 생각해 보자. 앞서 말했듯이 [math(displaystylefrac{rm d}{{rm d}x}int_a^x f(t) ,{rm d}t=f(x))]이다.

정적분으로 정의된 저 함수를 [math(boldsymbol x)]에 관해 미분했더니 [math(boldsymbol x)]에 관한 함수가 나오지 않는가. 그러므로 좌변의 함수는 [math(t)]에 관한 함수가 결코 아니고, [math(x)]에 관한 함수라는 식으로 이해하면 까먹지 않을 것이다. 그러나 이렇게 되는 이유가 뭐냐고 물어보면 결국 위의 설명을 이해하고 있어야 제대로 대답할 수 있다. 다시 말해서 이렇게만 공부하지 말고, 위의 설명을 이해하는 것이 훨씬 중요하다는 말이다.

[math(f(2))]의 값을 구하려면 먼저 [math(f(x))]를 알아야 하는데, [math(f(x))]를 알려면 [math(displaystyleint_{0}^2 f(x) ,{rm d}x)]의 값을 알아야 한다. 그런데 [math(displaystyleint_{0}^2 f(x) ,{rm d}x)]의 값을 알려면 [math(f(x))]를 알아야 한다! 이런 무한 루프를 극복하는 테크닉은 다음과 같다.