Stieltjes integral

수학자 스틸체스(Thomas Joannes Steiltjes, 1856-1894)가 고안한 실수 위에서의 적분의 한 종류로, 실함수 $f$, $g$에 대해 다음과 같은 꼴의 적분을 말한다.

이 적분의 정의는 마치 리만 적분처럼 리만합의 극한으로 정의할 수 있다. 즉, $[a,\,b]$의 분할 $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b$에 대해 다음처럼 정의한다.

스틸체스 적분이 존재하려면, 어떤 식으로든 구간을 잡고 그 안의 원소를 어떤 잡더라도 저 극한값이 일정해야 한다. 리만 적분을 일반화한 이러한 정의 때문에 리만-스틸체스 적분(Riemann-Stieltjes integral)이라 부르기도 한다.

다만, $f$, $g$가 모두 연속함수일지라도 이 극한이 존재하지 않을 때가 있다. 만약 $f$가 연속이고 $g$가 조각적으로(piecewise) 단조증가/단조감소라면[1] 적분을 잘 정의할 수 있다. 혹은 $g$가 미분가능해도 된다. 자세히는 얘기하지 않겠지만, 더 고급 과정에서는 $g$가 유계변동(bounded variation)[2]이면 된다는 등 더욱 포괄적인 조건을 찾을 수 있다.

그런데 사실 $g$가 미분 가능하면 이건 그냥 리만 적분이다. 정확히는 다음이 성립한다. (우변은 일반 적분) 평균값의 정리를 쓰면 증명할 수 있다.

굳이 잘 쳐준다면 치환적분이나 부분적분의 편한 표기에서 나오는 다른 변수에 대한 적분을 엄밀하게 정의했다고 볼 수 있긴 하지만, 그게 끝이다. 이렇게 보면 보통 적분이랑 크게 다를 바 없어 보여서 대학 미적분학 과정에서도 언급이 잘 안되는 비운의 대상이다. 굳이 이런 것에까지 이름을 붙이다니 수학자들 참 할 일 없다싶지만, 아래의 쓰임새를 보면 놀라울 따름이다.

아래와 같이 적분구간 $g$에 불연속함수를 넣으면, 놀라운 성질이 나온다.

$g$를 헤비사이드 계단 함수

라고 하고, 구간 $[-1,\,1]$에서 연속함수 $f$의 적분을 계산해보자. 분할 $-1 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = 1$에 대해, $H(t_{i}) - H(t_{i-1})$은 오로지 $t_i \ge 0 > t_{i-1}$일 때만 값이 $1$이고 나머지는 모두 $0$이 된다. 즉, 리만 합은 $f(x_i)$ ($x_i \in [t_{i-1},\,t_i]$)인데, $t_i - t_{i-1} \rightarrow 0$이고 $t_i \ge 0 > t_{i-1}$이므로 $x_i$도 $0$으로 수렴한다. $f$가 연속이므로

이 된다. 적분을 했는데 함수값이 나오는, 소위 말하는 디랙 델타 함수식 적분이 여기서 나올 수 있는 것이다.

더 나아가, 이 계단함수의 다음과 같은 일차결합

등을 생각한다면, 스틸체스 적분으로 다음과 같은 함수값 조합을 생각할 수도 있다.

이는 이산확률변수의 기댓값이다.[3] 한편, 연속확률변수의 기댓값도 확률분포함수 $\varphi(x)$에 대한 다음 적분으로 나타난다는 걸 생각하면 무언가 묘하다.

즉, 확률변수가 이산이건 연속이건, 기댓값은 누적분포함수 $F_X(a) = P(X \le a)$만을 사용하여 다음처럼 나타낼 수 있다.

스틸체스 적분의 입장에서는, 이산확률변수와 연속확률변수를 구별할 필요가 없을 뿐더러, 이산도 연속도 아닌 확률분포도 누적분포함수만 있으면 같은 기준으로 품을 수 있다. 더 나아가서, 확률분포의 공간을 누적분포함수의 모음으로서 동일하게 생각할 수 있는데, 사실 누적분포함수가 만족해야 할 조건은 치역이 $[0,\,1]$인 단조증가 함수이면 충분하다.[4] 이산과 연속 사이의 틈을 완벽히 메꿔주었을 뿐만 아니라 이 틈을 포함한 실체가 무엇인지도 완벽하게 규명해낸 것이다.

이산적 경우의 비슷한 예로, 수열의 합을 구할 때 최대정수함수를 이용해 $\sum a_n = \int a(x) \,{\rm d}\lfloor x \rfloor$ 같이 나타낼 수 있다. 이렇게만 쓰면 장난 같아 보이지만, 스틸체스 적분에 대한 부분적분, 즉

를 활용하면 생각보다 기상천외한 결과들을 끌어낼 수 있다. 해석적 정수론에서 매우 유용한 기법으로, 이걸 이용해 오일러-마스케로니 상수의 존재성 같은 걸 증명하거나 심지어는 리만 제타 함수의 근사식을 구하기도 하는 등 스틸체스 적분은 정말 다방면에 활용된다.

리만 적분과 르벡 적분의 관계처럼 스틸체스 적분을 측도론의 관점에서 일반화한 개념이다. 함수 $g$가 구간 $[a,\,b]$ 내에서 유계변동이고 우연속(right continuous)[5]이면 ${\rm d}g$가

를 만족하게 보렐 측도공간 $([a,\,b],\,\mathcal{B}([a,\,b]))$ 위의 보렐 대수의 부호 있는 측도(signed measure)로 정의할 수 있다. 이렇게 보면 유계변동 조건의 의미를 $g$의 '변량'인 ${\rm d}g$의 양수 파트와 음수 파트의 총합이 유한해야 한다는 조건으로 해석할 수도 있다. 하여튼 $f$가 보렐 가측이고 ${\rm d}g$에 대해 적분가능이면, $\int_a^b f \,{\rm d}g$는 단순히 이 ${\rm d}g$에 대한 (측도론적) 적분으로 정의할 수 있다. 이를 르벡-스틸체스 적분(Lebesgue-Stieltjes integral)이라 부르며, 만약 $f,\,g$에 대해 리만-스틸체스 적분이 존재한다면 둘은 일치한다. 덕분에 측도론을 배운 이후라면 마치 리만 적분을 르벡 적분으로 모두 대체하듯이 르벡-스틸체스 적분은 스틸체스 적분을 모두 대체하는 역할을 맡게 된다.

이렇게만 쓰면 비교적 간단해 보이지만, 이는 측도론을 이해하는 데에 필요한 노력들이 모두 생략되어 있기 때문이다. 하지만, 바꿔 말하면, 이 스틸체스 적분도 측도를 이해하는 데에 나름 흥미로운 동기부여로 사용될 수 있다는 뜻이 된다. 실제로 르벡이 여기에 영감을 받았는지는 정확하게 알 수는 없겠지만, 확률론 등을 배우고 있는 사람들은 이런 연결고리도 한번쯤 생각해 볼 수 있을 것이다.