1. 부정적분
1.1. 개요
복잡한 합성함수를 적분할 때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할 때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 부분적분법을 쓴다. 다만, 이 방법을 적용했을 때 초등함수로 결과가 나오지 않는 함수들이 있다. 단적인 예로 [math(dfrac{sin x}{x} )]라거나 [math(e^{-x^2} )]이라거나..[1] 만약 초등함수로 나타나지 않는다면 급수로 나타내서 적분하거나 수치해석을 이용할 수 있다.
[math(x=g(t) )] 이고 [math(g(t) )]가 미분 가능할 때, 치환적분법은 다음과 같다.
[math(displaystyle int f(x) ,mathrm{d}x = int f{g(t)} ,g'(t) ,mathrm{d}t )][2]([math(x)]에 관한 함수)꼴로 두는데, 이럴 때에 다시 양변에 [math(x)]에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다. 그러면 이 꼴이 된다.]
대부분의 고등학생이라면 분명 기호에 불과하다고 배웠던 [math(dfrac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} )]를, 마치 분수처럼 계산해서 [math(mathrm{d}x = g'(t) ,mathrm{d}t)]와 같은 식으로 [math(mathrm{d}x)]나 [math(mathrm{d}y)]라는 단독표현을 써서 치환적분법을 배웠을 것이다. 이것은 사실 [math(dfrac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} )]가 단순한 기호가 아닌 미분형식이라는 엄연한 연산자[3]이기 때문이다. 그런데 이 미분형식은, 해당 문서를 들어가보면 알겠지만 여러 가지 미분 개념을 미리 마스터한 뒤에 배운다. 즉, 대학교를 가도 공업수학을 배우는 공대생이나, 수학과 신입생까지는 대게 고등학교와 마찬가지로 그냥 그런 게 있다 정도로만 알려준다. 이런 판국이니 고교 교육과정 입장에선 저 기호를 제대로 알려줄 수가 없는 것. 물론 지나치게 어려운 내용은 아니고 맘만 먹으면 고교 수준에서도 충분히 정의할 수 있는 개념이긴 하다. 여튼 교육 과정에는 벗어나는 방법이지만, 위 방법도 수학적으로는 문제가 없다.
추가로 치환적분법이 한 참고서[4]에 따르면 '[math(x=g(t) )]가 일대일 대응이어야 한다'라고 고교과정에서 배운다고 하는데, 이는 잘못된 내용이며 고등학교 교과서에서도 [math(x=g(t) )]라는 말 밖에 없다. Thomas 미적분학 교재에서도 [math(x=g(t) )]가 미분가능해야 한다고 설명하지, 절대로 일대일 대응 관련 이야기는 없다.
위와 같은 말이 나온 이유는, [math(x=g(t) )]가 일대일대응이 아닐경우, [math(x=g(t) )]의 증감에 따라 구간을 나눠야 하는 경우가 생기기 때문이다. 따라서 모든 경우를 생각하여 오류 없이 구간을 잘 나눈 경우에는 [math(x=g(t) )]의 일대일대응 여부는 치환적분과 상관이 없다.
[math(x=g(t) )] 이고 [math(g(t) )]가 미분 가능할 때, 치환적분법은 다음과 같다.
[math(displaystyle int f(x) ,mathrm{d}x = int f{g(t)} ,g'(t) ,mathrm{d}t )][2]([math(x)]에 관한 함수)꼴로 두는데, 이럴 때에 다시 양변에 [math(x)]에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다. 그러면 이 꼴이 된다.]
대부분의 고등학생이라면 분명 기호에 불과하다고 배웠던 [math(dfrac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} )]를, 마치 분수처럼 계산해서 [math(mathrm{d}x = g'(t) ,mathrm{d}t)]와 같은 식으로 [math(mathrm{d}x)]나 [math(mathrm{d}y)]라는 단독표현을 써서 치환적분법을 배웠을 것이다. 이것은 사실 [math(dfrac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} )]가 단순한 기호가 아닌 미분형식이라는 엄연한 연산자[3]이기 때문이다. 그런데 이 미분형식은, 해당 문서를 들어가보면 알겠지만 여러 가지 미분 개념을 미리 마스터한 뒤에 배운다. 즉, 대학교를 가도 공업수학을 배우는 공대생이나, 수학과 신입생까지는 대게 고등학교와 마찬가지로 그냥 그런 게 있다 정도로만 알려준다. 이런 판국이니 고교 교육과정 입장에선 저 기호를 제대로 알려줄 수가 없는 것. 물론 지나치게 어려운 내용은 아니고 맘만 먹으면 고교 수준에서도 충분히 정의할 수 있는 개념이긴 하다. 여튼 교육 과정에는 벗어나는 방법이지만, 위 방법도 수학적으로는 문제가 없다.
추가로 치환적분법이 한 참고서[4]에 따르면 '[math(x=g(t) )]가 일대일 대응이어야 한다'라고 고교과정에서 배운다고 하는데, 이는 잘못된 내용이며 고등학교 교과서에서도 [math(x=g(t) )]라는 말 밖에 없다. Thomas 미적분학 교재에서도 [math(x=g(t) )]가 미분가능해야 한다고 설명하지, 절대로 일대일 대응 관련 이야기는 없다.
위와 같은 말이 나온 이유는, [math(x=g(t) )]가 일대일대응이 아닐경우, [math(x=g(t) )]의 증감에 따라 구간을 나눠야 하는 경우가 생기기 때문이다. 따라서 모든 경우를 생각하여 오류 없이 구간을 잘 나눈 경우에는 [math(x=g(t) )]의 일대일대응 여부는 치환적분과 상관이 없다.
1.1.1. 예제 1
다음 부정적분을 구하시오.
[math(displaystyle int frac{f'(x)}{f(x)} ,mathrm{d}x )]
[math(displaystyle int frac{f'(x)}{f(x)} ,mathrm{d}x )]
- 일단 [math(t=f(x) )]로 둔다.
- 그러면 [math(f'(x)=dfrac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x} )]이다.
- 따라서 [math(displaystyle int frac{f'(x)}{f(x)} ,mathrm{d}x = int frac1t ,mathrm{d}t)]이다.
- 이것의 부정적분은 [math(displaystyle int frac{f'left( x right)}{fleft( x right)},mathrm{d}x=lnleft| fleft( x right) right|+ mathsf{const.})]이다. (단, <math>mathsf{const.}</math>는 적분상수이다.)
- 위에서 [math(t=f(x) )]라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 [math(ln{|f(x)|}+C)]이 된다.
[math(displaystyle therefore int frac{f'(x)}{f(x)} ,mathrm{d}x = ln{|f(x)|}+C )]
1.1.1.1. 예제 1-1
다음 부정적분을 구하시오.
[math(displaystyle int tan x ,mathrm{d}x )]
[풀이 1]
[math(displaystyle begin{aligned}
int tan x ,mathrm{d}x &= int frac{sin x}{cos x} ,mathrm{d}x \
&= -int frac{(cos x)'}{cos x} ,mathrm{d}x \
&= -ln{left|cos xright|}+C
end{aligned} )]
[풀이 2]
[math(displaystyle begin{aligned}
int tan x ,mathrm{d}x &= int frac{sec x tan x}{sec x} ,mathrm{d}x \
&= int frac{(sec x)'}{sec x} ,mathrm{d}x \
&= ln{left|sec xright|}+C
end{aligned} )]
이 때 [math(displaystyle ln{left|sec xright|} = ln{left|frac1{cos x}right|} = ln{left|cos xright|^{-1}} = -ln{left|cos xright|} )]이므로 두 결과는 일치한다.
[math(displaystyle int tan x ,mathrm{d}x )]
[풀이 1]
[math(displaystyle begin{aligned}
int tan x ,mathrm{d}x &= int frac{sin x}{cos x} ,mathrm{d}x \
&= -int frac{(cos x)'}{cos x} ,mathrm{d}x \
&= -ln{left|cos xright|}+C
end{aligned} )]
[풀이 2]
[math(displaystyle begin{aligned}
int tan x ,mathrm{d}x &= int frac{sec x tan x}{sec x} ,mathrm{d}x \
&= int frac{(sec x)'}{sec x} ,mathrm{d}x \
&= ln{left|sec xright|}+C
end{aligned} )]
이 때 [math(displaystyle ln{left|sec xright|} = ln{left|frac1{cos x}right|} = ln{left|cos xright|^{-1}} = -ln{left|cos xright|} )]이므로 두 결과는 일치한다.
1.1.2. 치환 적분을 두 번 이상하는 경우
1.1.2.1. 예제 2[5], [math(b=0)]이면 [math(e^x)]의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.]
다음 부정적분을 구하시오.
[math(displaystyle int sqrt{1+e^{ax+b}} ,mathrm{d}x )]
[math(e^{ax+b}=t)]라고 두면 [math(dfrac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x} = ae^{ax+b} = at)]이므로 [math(mathrm{d}x= dfrac{mathrm{d}t}{at} )]로 바꾸어 대입하면
[math(displaystyle int sqrt{1+e^{ax+b}} ,mathrm{d}x = frac1a int frac{sqrt{1+t}}t ,mathrm{d}t )]
[math(displaystyle sqrt{1+t}=k)]라고 두면, [math(t=k^2-1)]이고 [math(mathrm{d}t = 2k,mathrm{d}k)]이므로 이를 대입하면
[math(displaystyle int sqrt{1+e^{ax+b}} ,mathrm{d}x )]
[math(e^{ax+b}=t)]라고 두면 [math(dfrac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x} = ae^{ax+b} = at)]이므로 [math(mathrm{d}x= dfrac{mathrm{d}t}{at} )]로 바꾸어 대입하면
[math(displaystyle int sqrt{1+e^{ax+b}} ,mathrm{d}x = frac1a int frac{sqrt{1+t}}t ,mathrm{d}t )]
[math(displaystyle sqrt{1+t}=k)]라고 두면, [math(t=k^2-1)]이고 [math(mathrm{d}t = 2k,mathrm{d}k)]이므로 이를 대입하면
[math(displaystyle begin{aligned} int sqrt{1+e^{ax+b}} ,mathrm{d}x &= frac1a int frac{sqrt{1+t}}t ,mathrm{d}t \ &= frac1a int frac k{k^2-1} cdot 2k ,mathrm{d}k \ &= frac1a int frac{2k^2}{k^2-1} ,mathrm{d}k \ &= frac1a int biggl( 2+frac1{k-1}-frac1{k+1} biggr) mathrm{d}k \ &= frac1a biggl( 2k + ln{biggl| frac{k-1}{k+1} biggr|} biggr) +C \ &= frac1a biggl( 2sqrt{1+t} - ln{biggl| frac{sqrt{1+t}-1}{sqrt{1+t}+1} biggr|} biggr) +C \ &= frac1a biggl( 2sqrt{1+e^{ax+b}} - ln{biggl| frac{sqrt{1+e^{ax+b}}-1}{sqrt{1+e^{ax+b}}+1} biggr|} biggr) +C end{aligned} )] |
1.1.3. 삼각 치환
변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.
대개 [math(displaystyle int sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x)]는 [math(x = asin t)]로, [math(displaystyle int sqrt{a^2+x^2} ,mathrm{d}x)]는 [math(x = atan t)]로 치환하여 적분한다.
[math(displaystyle int sqrt{x^2-a^2} ,mathrm{d}x)]는 [math(x>0)]일 땐 [math(x = asec t)]로, [math(x<0)]일 땐 [math(x = acsc t)]로 치환하거나 아크시컨트, 아크코시컨트의 도함수를 이용하여 적분한다. 삼각치환을 할 때는 범위를 지정하는 것이 중요하다.
대개 [math(displaystyle int sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x)]는 [math(x = asin t)]로, [math(displaystyle int sqrt{a^2+x^2} ,mathrm{d}x)]는 [math(x = atan t)]로 치환하여 적분한다.
[math(displaystyle int sqrt{x^2-a^2} ,mathrm{d}x)]는 [math(x>0)]일 땐 [math(x = asec t)]로, [math(x<0)]일 땐 [math(x = acsc t)]로 치환하거나 아크시컨트, 아크코시컨트의 도함수를 이용하여 적분한다. 삼각치환을 할 때는 범위를 지정하는 것이 중요하다.
1.1.3.1. ∫ √(a²-x²) dx 꼴
다음 부정적분을 구하시오.
일단 [math(displaystyle x = asin t)]로 두고, [math(t)]의 범위는 [math(-dfrac{pi}2 le t le dfrac{pi}2)]로 둔다. 양 변을 [math(t)]에 대해서 미분하면 [math(dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t} = acos t)]이고, 이 식을 [math(mathrm{d}x = acos t ,mathrm{d}t)]로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.
[math(displaystyle int sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x )]
일단 [math(displaystyle x = asin t)]로 두고, [math(t)]의 범위는 [math(-dfrac{pi}2 le t le dfrac{pi}2)]로 둔다. 양 변을 [math(t)]에 대해서 미분하면 [math(dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t} = acos t)]이고, 이 식을 [math(mathrm{d}x = acos t ,mathrm{d}t)]로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} int sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x &= int sqrt{a^2-a^2sin^2t} cdot acos t ,mathrm{d}t \ &= int sqrt{a^2(1-sin^2t)} ,acos t ,mathrm{d}t \ &= int acos t ,sqrt{a^2cos^2t} ,mathrm{d}t \ &= a int cos t cdot acos t ,mathrm{d}t qquad biggl( because -frac{pi}2 le t le frac{pi}2 Rightarrow cos t ge 0 biggr) \ &= a^2 int cos^2t ,mathrm{d}t \ &= a^2 int frac{1+cos{2t}}2 ,mathrm{d}t \ &= frac{a^2}2 biggl( t + frac12sin{2t} + C biggr) \ &= frac{a^2}2 (t + sin tcos t) + C \ &= frac{a^2}2 biggl( arcsin{frac xa} + frac xacosbiggl(arcsin{frac xa}biggr) biggr) + C \ &quad biggl( because x=asin t Rightarrow frac xa=sin t Rightarrow t=arcsin{frac xa}biggr) end{aligned} )] |
[math(cosbiggl( arcsin dfrac xa biggr) )]를 구하기 위해 [math(sin^2t+cos^2t=1)]에 [math(t=arcsin{dfrac xa} )]를 대입하면
[math(displaystyle begin{aligned} sin^2biggl(arcsin{frac xa}biggr) + cos^2biggl(arcsin{frac xa}biggr) &= 1 \ biggl(frac xabiggr)^2 + cos^2biggl(arcsin{frac xa}biggr) &= 1 \ cos^2biggl(arcsin{frac xa}biggr) &= 1 - frac{x^2}{a^2} \ therefore cosbiggl(arcsin{frac xa}biggr) &= sqrt{1-frac{x^2}{a^2}} \ quad biggl( because -frac{pi}2 le t=arcsin{frac xa} le frac{pi}2 &Rightarrow cosbiggl(arcsin{frac xa}biggr) ge 0 biggr) end{aligned} )] |
이 식을 위의 적분 결과에 대입하면 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} int sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x &= frac{a^2}2 biggl( arcsin{frac xa} + frac xacos{biggl(arcsin{frac xa}biggr)} biggr) + C \ &= frac{a^2}2 arcsin{frac xa} + frac{ax}2 sqrt{1-frac{x^2}{a^2}} + C \ &= frac{a^2}2 arcsin{frac xa} + frac x2 sqrt{a^2-x^2} + C end{aligned} )] |
1.1.4. ∫ f(lnx)/x dx 꼴
1.1.4.1. 예제 4
다음 부정적분을 구하시오.
[math(displaystyle int frac{sin{(ln x)}}x ,mathrm{d}x )]
[math(ln x=t)]로 두면 [math(x=e^t)]이고, [math(dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=e^t)]이므로 [math(mathrm{d}x=e^t,mathrm{d}t)]가 된다. 이를 위의 적분식에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned}
int frac{sin{(ln x)}}x ,mathrm{d}x &= int frac{sin{(t)}}{e^t} cdot e^t,mathrm{d}t \
&= int sin t ,mathrm{d}t \
&= -cos t + C
end{aligned} )]
[math(ln x=t)]로 치환했었으니 다시 [math(x)]에 관한 식으로 나타내면 다음 결과를 얻을 수 있다.
[math(displaystyle therefore int frac{sin{(ln x)}}x ,mathrm{d}x = -cos{(ln x)}+C )]
[math(displaystyle int frac{sin{(ln x)}}x ,mathrm{d}x )]
[math(ln x=t)]로 두면 [math(x=e^t)]이고, [math(dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=e^t)]이므로 [math(mathrm{d}x=e^t,mathrm{d}t)]가 된다. 이를 위의 적분식에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned}
int frac{sin{(ln x)}}x ,mathrm{d}x &= int frac{sin{(t)}}{e^t} cdot e^t,mathrm{d}t \
&= int sin t ,mathrm{d}t \
&= -cos t + C
end{aligned} )]
[math(ln x=t)]로 치환했었으니 다시 [math(x)]에 관한 식으로 나타내면 다음 결과를 얻을 수 있다.
[math(displaystyle therefore int frac{sin{(ln x)}}x ,mathrm{d}x = -cos{(ln x)}+C )]
2. 정적분
2.1. 개요
닫힌 구간 [math(left[a,,bright] )]에서 연속인 함수 [math(f(x) )]에 대하여 미분가능한 함수 [math(g(t) )] 의 도함수 [math(g'(t) )]가 닫힌 구간 [math([alpha,,beta] )]에서 연속이고 [math(a=g(alpha),,b=g(beta) )]이면
[math(displaystyle int_a^b f(x) ,mathrm{d}x = int_{alpha}^{beta} f(g(t)) ,g'(t) ,mathrm{d}t )]
[math(displaystyle int_a^b f(x) ,mathrm{d}x = int_{alpha}^{beta} f(g(t)) ,g'(t) ,mathrm{d}t )]
2.1.1. 예제 1
다음 정적분을 구하시오.
[math(displaystyle int_0^a sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x )]
[math(displaystyle x = asin t)]로 두고 [math(t)]의 범위는 [math(-dfrac{pi}2 le t le dfrac{pi}2)]로 두자. 그러면 [math(x=0)]일 때 [math(t=0)]이고, [math(x=a)]일 때 [math(t=dfrac{pi}2 )]이다. 또한 [math(dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=acos t)]이므로 위의 정적분은 아래와 같이 진행 가능하다.
[math(displaystyle int_0^a sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x )]
[math(displaystyle x = asin t)]로 두고 [math(t)]의 범위는 [math(-dfrac{pi}2 le t le dfrac{pi}2)]로 두자. 그러면 [math(x=0)]일 때 [math(t=0)]이고, [math(x=a)]일 때 [math(t=dfrac{pi}2 )]이다. 또한 [math(dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=acos t)]이므로 위의 정적분은 아래와 같이 진행 가능하다.
[math(displaystyle begin{aligned} int_0^a sqrt{a^2-x^2} ,mathrm{d}x &= int_0^{pi/2} sqrt{a^2-a^2sin^2t} cdot acos t ,mathrm{d}t \ &= int_0^{pi/2} sqrt{a^2(1-sin^2t)} ,acos t ,mathrm{d}t \ &= int_0^{pi/2} sqrt{a^2cos^2t} ,acos t ,mathrm{d}t \ &= int_0^{pi/2} acos t cdot acos t ,mathrm{d}t \ &= a^2 int_0^{pi/2} cos^2t ,mathrm{d}t \ &= a^2 int_0^{pi/2} frac{1+cos{2t}}2 ,mathrm{d}t \ &= frac{a^2}2 biggl[ t + frac12sin{2t} biggr]_0^{pi/2} \ &= frac{a^2}2 biggl[ biggl( frac{pi}2 + frac12sin{pi} biggr) - (0+0) biggr] \ &= frac{a^2}2 cdot frac{pi}2 \ &= frac{pi a^2}4 end{aligned} )] |
참고로, 이 정적분 값은 반지름이 [math(a)]인 사분원의 넓이와 같으므로[6]이라고 두고 양변을 제곱하면 [math(x^2+y^2=a^2 , (yge0) )]이 되므로], 이를 4배하면 반지름이 [math(a)]인 원의 넓이가 [math(pi a^{2})]이 됨을 알 수 있다.