1. 개요
2. 정의
[ 정의 ] 항등함수(Ideneity function)
함수 [math(text{id}_X: X to X)]가 다음 성질을 만족할 때 항등함수(Identity function)이라고 한다.
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3. 성질
항등함수는 정의역 [math(X)]가 주어져 있기만 하면 자연스럽게 정의될 수 있는 함수로, 표기법은 [math(text{id}_X)], [math(i_X)], [math(I_X)], [math(mathbb 1_X)][1], [math(i)]등 다양하다. 정의상, 항등함수와 다른 함수 [math(f: Y to X)], [math(g: X to Z)]를 합성하면, [math(text{id}_X circ f = f)] 및 [math(g circ text{id}_X = g)]임을 알 수 있다.
군론에서, 항등함수는 이름에 걸맞게 항등원으로서의 역할을 한다. 실제로, [math(text{id}_X: X to X)]는 함수의 합성을 연산으로 하는 군의 항등원이다. 즉,
[math(f circ text{id}_X = f = text{id}_X circ f)]
이 성립한다. 비슷한 이야기로, 군 [math(G)]의 자기동형사상을 모은 군 [math((mathrm{Aut}(G), circ))]에서 항등함수 [math(text{id}_G)]는 항등원이 된다.
정의역 [math(X)]에 위상이 주어져 있다면 항등함수 [math(text{id}_X)]는 항상 연속함수이고, 미분이 가능할 경우 그 결과는 상수함수가 된다.[2]]
군론에서, 항등함수는 이름에 걸맞게 항등원으로서의 역할을 한다. 실제로, [math(text{id}_X: X to X)]는 함수의 합성을 연산으로 하는 군의 항등원이다. 즉,
[math(f circ text{id}_X = f = text{id}_X circ f)]
이 성립한다. 비슷한 이야기로, 군 [math(G)]의 자기동형사상을 모은 군 [math((mathrm{Aut}(G), circ))]에서 항등함수 [math(text{id}_G)]는 항등원이 된다.
정의역 [math(X)]에 위상이 주어져 있다면 항등함수 [math(text{id}_X)]는 항상 연속함수이고, 미분이 가능할 경우 그 결과는 상수함수가 된다.[2]]
4. 관련 함수들
4.1. 포함함수(Inclusion map)
[ 정의 ] 포함함수(Inclusion map)
함수 [math(iota : X to Y)]가 다음 성질을 만족할 때 포함함수(Inclusion map)이라고 한다.
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항등함수에서 정의역과 공역이 완전히 같은 것이 아닌, 공역이 정의역을 포함하는 형태로 확장시킨 함수이다. 주로 대수적 위상수학에서 변형수축(Deformation retract)를 다룰 때 쌍으로 같이 등장하는 함수이다.