서로 같은 값을 갖는 여러 분수들과 같은 값을 갖는 기약분수는 오직 하나 뿐이다. 예를 들어 [math(0.6)]의 값을 갖는 분수는 [math(dfrac{60}{100})], [math(dfrac6{10})], [math(dfrac35)] 등으로 무수히 많지만 이들 중 기약분수는 [math(dfrac35)]뿐이다.

분자가 [math(1)]인 분수는 모두 기약분수다. 모든 자연수가 [math(1)]과 서로소이기 때문. 분모가 [math(1)]인 경우는 분수로서 유의미한 의미를 지니지 않기 때문에 고려하지 않는다.

분모의 곱을 공통분모로 해서 통분할 때[2], (기약분수)[math(+)](기약분수) 는 더하는 두 분수의 분모가 서로소이면 기약분수다. [math(aperp b)], [math(cperp d)], [math(bperp d)]([math(perp)]는 서로소 기호)인 자연수 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]에 대해, [math(dfrac ab + dfrac cd = dfrac{ad+bc}{bd})]인데, [math(anotperp b)] 또는 [math(cnotperp d)]일 때만 각각 [math(b)], [math(d)] 또는 그 인수가 분자, 분모의 공통인수이므로 [math((ad+bc)notperp bd)]가 되어 기약분수가 아니게 된다. 그러나 이것은 [math(aperp b)], [math(cperp d)]라는 전제에 모순이다. 따라서 분모가 서로소인 두 기약분수의 덧셈 결과는 기약분수이다.

(기약분수)[math(-)](기약분수)는 (기약분수)[math(+)](기약분수)에서 뒤쪽 기약분수에 [math(-1)]을 곱한 경우로 볼 수 있다. 따라서 분모의 곱을 공통분모로 하여 통분할 때 덧셈과 마찬가지의 성질을 갖는다.

곱해져서 얻어지는 분수의 분모를 각각의 분모의 곱으로 할 때, (기약분수)[math(times)](기약분수) 는 곱하는 두 분수의 분모가 서로 같은 경우 기약분수이다. 두 분수를 각각 [math(dfrac ab)], [math(dfrac cb)]라 하면 두 분수를 곱한 결과는 [math(dfrac{ac}{b^2})]이고 [math(bperp a)], [math(bperp c)]이므로 [math(b^2perp a)], [math(b^2perp c)]이다. 따라서 [math(b^2perp ac)]이므로 기약분수이다. 예를 들어 [math(dfrac34)]과 [math(dfrac14)]은 모두 기약분수이고 곱하면 [math(dfrac3{16})]인데, 이것도 기약분수이다.

(기약분수)[math(div)](기약분수)는 나누는 기약분수에 역수를 취해서 (기약분수)[math(times)](기약분수)꼴로 만들어줄 수 있다. 따라서 나누어지는 분수의 분모와 나누는 분수의 분자가 서로 같으면 기약분수이다. 예를 들어 [math(dfrac14)]을 [math(dfrac43)]로 나누면 [math(dfrac14divdfrac43 = dfrac14timesdfrac34 = dfrac3{16})]으로 기약분수다.

자연수 [math(n)]에 대해, 기약분수의 [math(n)]제곱, 즉 분자와 분모를 각각 [math(n)]제곱한 분수는 모두 기약분수이다. 기약분수 [math(dfrac ab)]를 제곱하면 [math(dfrac{a^n}{b^n})]이 되고, [math(aperp b)]이므로 [math(a^nperp b^n)]이다. 예를 들어 [math(dfrac35)]는 기약분수이고, [math(left(dfrac35right)^3 = dfrac{27}{125})] 역시 기약분수다.