12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

[math(gcd(a,,b) = dfrac{|ab|}{mathrm{lcm}(a,,b)})]

[math(displaystyle gcd(x,,y) = int_{n|x} int_{1}^{x} e^{frac{2}{x}i pi ty} frac{c_n(t)}{n} mathrm{d}lfloor t rfloor mathrm{d}lfloor n rfloor)]

1. [math(gcdleft(a,bright)geq1)]
   
2. [math(gcdleft(a,bright)=gcdleft(left|aright|,left|bright|right))]
   
3. [math(gcdleft(a,0right)=left|aright|)]
   
4. [math(d=gcdleft(a,bright))]라 하면, [math(gcdleft(frac{a}{d},frac{b}{d}right)=1)]
   
5. 임의의 정수 [math(k)]에 대하여, [math(gcdleft(a,bright)=gcdleft(a+kb,bright))]
   
6. 임의의 양의 정수 [math(a,b)]에 대해서, [math(ax+by=gcdleft(a,bright))]를 만족하는 정수 [math(x,y)]가 존재한다.[7]를 만족하는 정수 [math(x,y)]가 존재함을 의미한다. 역도 성립한다.]
   

1. [math(1mid a,1mid b)]이므로, 두 수의 최대공약수는 1보다 크거나 같다. 즉, [math(gcdleft(a,bright)geq1)].
   
2. [math(xmid a)]와 [math(xmid -a)]는 동치이다. 그런데 [math(left|aright|)]는 [math(a)] 또는 [math(-a)]이므로 [math(a)]와 [math(left|aright|)]는 같은 약수를 갖는다. 마찬가지로, [math(b)]와 [math(left|bright|)]는 같은 약수를 갖는다. 따라서, [math(x)]가 [math(a)]와 [math(b)]의 공약수라는 것은 [math(left|aright|)]와 [math(left|bright|)]의 공약수라는 사실과 동치이다. [math(thereforegcdleft(a,bright)=gcdleft(left|aright|,left|bright|right))]
   
3. 2번으로 부터, [math(gcdleft(a,0right)=gcdleft(left|aright|,0right))]이다. [math(left|aright|cdot0=0)]이므로, [math(left|aright|mid0)]. 또한, [math(left|aright|midleft|aright|)]이므로, [math(left|aright|)]는 [math(left|aright|)]와 0의 공약수이다. 그러므로 [math(left|aright|leqgcdleft(left|aright|,0right))]이다. 그런데 [math(gcdleft(left|aright|,0right)midleft|aright|)]이므로, [math(gcdleft(left|aright|,0right)leqleft|aright|)]. 위 두 부등식으로 부터 [math(gcdleft(left|aright|,0right)=left|aright|)]. 다시 한번 2번으로 부터, [math(gcdleft(a,0right)=gcdleft(left|aright|,0right)=left|aright|)].
   
4. [math(a=dm, b=dn)]라 하면, [math(gcdleft(frac{a}{d},frac{b}{d}right)=gcdleft(m,nright))]이다. 양의 정수 [math(p)]가 [math(pmid m,pmid n)]를 만족한다고 하자. 그러면 [math(m=pe,n=pf)]를 만족하는 정수 [math(e,f.)]가 존재한다. 따라서, [math(a=dpe,b=dpf)]이고 [math(dp)]는 [math(a,b)]의 공약수이다. 한편, [math(d)]는 최대공약수이므로, [math(dgeq dp)]. 따라서 [math(pleq1)]이고 [math(p=1)]일 수밖에 없다. 이로써 보이고자 하는 바가 증명되었다.
   
5. 만약 [math(x)]가 [math(a,b)]의 공약수라면, [math(xmid a,xmid b)]이다. 따라서 [math(xmid kb)]이고, [math(xmid a+kb)]이다. 따라서 [math(x)]는 [math(a+kb)]와 [math(b)]의 공약수이다.
   역으로, [math(x)]가 [math(a+kb)]와 [math(b)]의 공약수라면, [math(xmid a+kb, xmid b)]이다. 따라서 [math(xmid kb)]이고, [math(xmidleft(left(a+kbright)-kbright)=a)]이다. 즉, [math(x)]는 [math(a,b)]의 공약수이다. 따라서 [math(a,b)]와 [math(a+kb,b)]는 같은 공약수 집합을 가지므로 최대공약수도 같아야 한다.
   
6. 집합 [math(A=left{ax+by>0|x,yin Zright})]를 생각하자. 집합 [math(A)]는 자연수의 부분집합이고 공집합이 아니므로 well-ordering 원리에 의해 가장 작은 원소가 존재한다. 이를 [math(d)]라 하면 적당한 정수 [math(x,y)]에 대해 [math(d=ax+by)]이다. 여기서 [math(d)]가 최대공약수임을 보이면 증명이 끝난다.
   [math(d>0)]이므로, 나눗셈 정리에 의하여 [math(a=qd+r,,0leq r<d)]인 정수 [math(q,r)]가 존재한다. 그러면 [math(r=a-qd=a-qleft(ax+byright)=aleft(1-qxright)-bleft(qyright))]이므로 [math(r>0)]이면 [math(rin A)]이고, [math(r<d)]가 되어 [math(d)]가 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 [math(r=0)]이고, [math(dmid a)]이다. 마찬가지로 [math(dmid b)]이다. 즉, [math(dmidgcdleft(a,bright))].
   한편 [math(e)]가 [math(a,b)]의 공약수라면 [math(emidleft(ax+byright))]이고,[9] [math(ax+by=d)]이므로 [math(emid d)], 즉 [math(eleq d)]이다. 이는 곧 [math(d)]가 최대공약수임을 보인다.
   

• 약수
  
• 나눗셈 정리
  
• 유클리드 호제법
  
• 최소공배수
  
• 공약수
  
• 공배수