1. 정수론 (relatively prime, coprime)
1.1. 상세
중1 과정의 유리수의 정의에서도 써먹고, 고등학교 단골 증명 문제인 [math(sqrt{2})]는 무리수임을 증명할 때도 쓰는 등 생각보다 많이 쓰이는 개념이다. 이것을 집합으로 표현하면 이해하기가 어렵지 않다.[2]
서로소 때문에 수학을 어려워하는 위키니트를 위해 쉬운 예를 하나 들어보자. 집합 [math(D_{n})]을 [math(n)]의 양의 약수의 집합이라 하자. 즉
집합 [math(D_{128})]는 [math(128 = 2^7)]의 약수의 집합,
집합 [math(D_{729})]는 [math(729 = 3^6)]의 약수의 집합,
집합 [math(D_{15625})]는 [math(15625 = 5^6)]의 약수의 집합이 된다.
세 집합을 원소나열법으로 나타내면
[math(D_{128} = left{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128right})]
[math(D_{729} = left{1, 3, 9, 27, 81, 243, 729right})]
[math(D_{15625} = left{1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625right})]
이 되고,
여기서 교집합 [math(D_{128}cap D_{729}cap D_{15625}=left{1right})]이다.
위의 예처럼 집합 [math(D_{a}cap D_{b}cap D_{c}cap ... =left{1right})]이면 서로소 당첨. 벤 다이어그램으로 그려보면 아주 명확하게 알 수 있다. 사실, [math(1)]은 모든 자연수의 공약수이고, 따라서 모든 자연수의 약수의 집합에 빠짐없이 들어간다. 왜냐하면 곱셈의 항등원이 [math(1)]이기 때문이다.
당연히 짝수끼리는 서로소가 아니다. 짝수끼리는 기본적으로 공약수 [math(2)]를 갖고 있기 때문이다.
단, 홀수끼리는 서로소일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 홀수끼리는 기본적으로 공약수 [math(1)]을 갖고 있고, 경우에 따라서는 [math(1)] 이외의 공약수를 더 갖고 있을 수도 있기 때문이다.
유리수의 정의는 [math(mover n)]([math(m)]과 [math(n)]은 서로소인 정수, [math(n neq 0)])의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 여기서 [math(m)]과 [math(n)]은 [math(1)]을 제외한 공약수를 갖지 않음에 주의. 이 성질을 가지고 [math(sqrt{2})]가 무리수임을 증명할 수 있다. 증명 방법은 해당 문서에 나와있으니 참조.
소수도 서로소로 정의할 수 있는데, [math(m)]이 소수라는 사실은 [math(0<n<m)]를 만족하는 임의의 정수 [math(n)]에 대해서 [math(n)]과 [math(m)]이 서로소라는 것과 같다.
수학 걸이라는 소설에서는 2편에서 서로소를 직교표시로 사용한다.[3] 라는 식으로 나타낸뒤, 이 수를 [math(left(a_1,,a_2,cdotsright))] 라는 식으로 나타내서 직교표시가 서로소를 표시하는데 적합함을 보여준다. 근데 이거 한번 익숙해지면 의외로 치기 어렵다.][4]
서로소를 잘만 이용하면 피타고라스 정리의 예시도 초등적[5]으로 찾아낼 수 있다. 근데 유도하는 과정에서 서로소 라는 조건을 주도없이 이용하고, 증명해야 돼서 귀찮다.[6]
서로소 때문에 수학을 어려워하는 위키니트를 위해 쉬운 예를 하나 들어보자. 집합 [math(D_{n})]을 [math(n)]의 양의 약수의 집합이라 하자. 즉
집합 [math(D_{128})]는 [math(128 = 2^7)]의 약수의 집합,
집합 [math(D_{729})]는 [math(729 = 3^6)]의 약수의 집합,
집합 [math(D_{15625})]는 [math(15625 = 5^6)]의 약수의 집합이 된다.
세 집합을 원소나열법으로 나타내면
[math(D_{128} = left{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128right})]
[math(D_{729} = left{1, 3, 9, 27, 81, 243, 729right})]
[math(D_{15625} = left{1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625right})]
이 되고,
여기서 교집합 [math(D_{128}cap D_{729}cap D_{15625}=left{1right})]이다.
위의 예처럼 집합 [math(D_{a}cap D_{b}cap D_{c}cap ... =left{1right})]이면 서로소 당첨. 벤 다이어그램으로 그려보면 아주 명확하게 알 수 있다. 사실, [math(1)]은 모든 자연수의 공약수이고, 따라서 모든 자연수의 약수의 집합에 빠짐없이 들어간다. 왜냐하면 곱셈의 항등원이 [math(1)]이기 때문이다.
당연히 짝수끼리는 서로소가 아니다. 짝수끼리는 기본적으로 공약수 [math(2)]를 갖고 있기 때문이다.
단, 홀수끼리는 서로소일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 홀수끼리는 기본적으로 공약수 [math(1)]을 갖고 있고, 경우에 따라서는 [math(1)] 이외의 공약수를 더 갖고 있을 수도 있기 때문이다.
유리수의 정의는 [math(mover n)]([math(m)]과 [math(n)]은 서로소인 정수, [math(n neq 0)])의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 여기서 [math(m)]과 [math(n)]은 [math(1)]을 제외한 공약수를 갖지 않음에 주의. 이 성질을 가지고 [math(sqrt{2})]가 무리수임을 증명할 수 있다. 증명 방법은 해당 문서에 나와있으니 참조.
소수도 서로소로 정의할 수 있는데, [math(m)]이 소수라는 사실은 [math(0<n<m)]를 만족하는 임의의 정수 [math(n)]에 대해서 [math(n)]과 [math(m)]이 서로소라는 것과 같다.
수학 걸이라는 소설에서는 2편에서 서로소를 직교표시로 사용한다.[3] 라는 식으로 나타낸뒤, 이 수를 [math(left(a_1,,a_2,cdotsright))] 라는 식으로 나타내서 직교표시가 서로소를 표시하는데 적합함을 보여준다. 근데 이거 한번 익숙해지면 의외로 치기 어렵다.][4]
서로소를 잘만 이용하면 피타고라스 정리의 예시도 초등적[5]으로 찾아낼 수 있다. 근데 유도하는 과정에서 서로소 라는 조건을 주도없이 이용하고, 증명해야 돼서 귀찮다.[6]
2. 집합론 (disjoint)
어떤 집합들의 교집합이 공집합일 때, 그 집합들을 서로소라고 한다. 어떤 사건들에 해당하는 집합들이 서로소이면, 그 사건들은 배반사건이다.