[include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == 다항식을 전개할 때 자주 나오는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 [math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) )] 는 [math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 )] 와 같이 [[분배법칙]]을 써서 전개한 다음 [[교환법칙]], [[결합법칙]] 등을 써서 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 '''[math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 )]'''은 자주 나오는 꼴[* 특히 [[복소수]]의 [[절댓값]], 복소 [[벡터]]의 [[내적]]을 구할 때 필수적이다.]이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다. 곱셈 공식은 일종의 [[항등식]]임은 물론이다. 반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 [[인수분해]]라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 [[적절]]히 사용하면 [[곱셈]]이 한결 쉬워진다. 당장 64×56과 60^^2^^ - 4^^2^^ 의 계산식이 그 예. [[형돈이와 대준이]]가 이를 주제로 <중2 수학은 이걸로 끝났다>라는 노래를 내놓았다. [[https://youtu.be/zxpH0ekLUHI|뮤직비디오]]에 연습 문제가 나온다. 수준 때문에 이차식이 되는 것만 나온다. 근데 교육과정이 바뀌어서 '중3 수학은 이걸로 끝났다'로 제목을 바꿔야 할지도? [[페이커]]도 곱셈공식의 중요성을 알고 있다. [[https://gall.dcinside.com/board/view/?id=leagueoflegends1&no=4026332&page=1&exception_mode=recommend|#]] 또한, 곱셈공식은 [[기하학]]적으로 접근했을 때 [[PWW|정말 간단하고 오랫동안 외울 수 있다]]. 왜냐면, 2차 완전제곱은 기본적으로 정사각형과 직사각형의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 구체적으로, 이차 완전제곱인 '''[math( \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2 )]''' 은 아래 움짤처럼 나타낼 수 있다. [[파일:완전제곱식_기하학.gif]] [[https://www.youtube.com/watch?v=NcTeJrsw_0I&list=PLTbYxwBP103-F-hEBbySPhsJwb6xtQTuj&index=3|이 움짤에 대한 설명]] 세제곱은 아래 움짤처럼 부피의 합으로 로 볼 수 있을 것이다. [[파일:세제곱.gif]] [[https://www.youtube.com/watch?v=qzvUOyU7SZM|이 움짤에 대한 설명]] == 공식 == 다음은 대표적인 곱셈 공식이다. || [math( \left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )] || || [math( \left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2 )] || || [math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 )] || || [math( \left(x+a\right)\left(x+b\right) = x^2 + \left(a+b\right)x + ab )] || || [math( \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) = acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd )] || || [math( x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2xy )] || || [math( (x-y)^2 = (x+y)^2-4xy )] || || [math( (x+y)^2 = (x-y)^2+4xy )] || || [math( \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2-2 )] || || [math( \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = (x -\frac{1}{x})^2+2 )] || 여기까지가 중학교 과정이다. 2015 개정 교육과정 기준으로 중학교 3학년 1학기 과정에 나온다.[* 2018학년도 중학교 신입생부터 적용] 2009 개정 교육과정에서는 2학년 1학기 과정에서 이 공식들을 배웠으나, 이번에 인수분해와 함께 연계시키기 위해서 3학년으로 올린 듯.[* 그 대신 [[피타고라스 정리]]가 2학년으로 내려왔다. 다만 무리수를 배우지 않았다는 점을 들어 자연수 범위에서의 피타고라스 수만을 다룬다. 이렇게 한 이유는 중2 나이대에 피타고라스 정리를 배우는 다른 나라들과 달리 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배워 국제적으로 학력을 비교 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다.] 이 아래부터는 고등 수학 (상)에서 배우게 된다. || [math( \left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right) = x^3 + \left(a+b+c\right)x^2 + \left(ab+bc+ca\right)x + abc )] || || [math( \left(a+b+c\right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2bc + 2ca )] || || [math( \left(a+b\right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \left(a-b\right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 )] || || [math( \left(a+b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^3 + b^3, \left(a-b\right)\left(a^2 + ab + b^2\right) = a^3 - b^3 )] || || [math( \left(a+b+c\right)\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\right) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc )][* [math(-3abc)]를 이항시켜서 외워도 좋다.][* 이게 중요한 것이, [math(a+b+c=0)]이라면 [math(3abc=a^3+b^3+c^3)]이 된다.] || || [math(\frac{1}{2}\left(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)=a^3+b^3+c^3-3abc)] [* 위의 식에서 변형한 모습이다. 이 형태의 곱셈공식은 주로 [math(a^3+b^3+c^3-3abc=0)]이라는 조건과 함께 나와서 [math(a=b=c)]를 알아내는데 쓰인다.]|| || [math( \left(a^2 + ab + b^2\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^4 + a^2b^2 + b^4 )] || --이거 외우다가 중학교때 외운 공식은 까먹는다 카더라--[* 어차피 고등수학 참고서에서 중학교때 공식을 한번 더 언급해준다.] 의외의 사실이지만 [[초등학교 수학]]에서 [math(-1)]제곱에 대한 곱셈 공식을 가장 먼저 배운다. 눈썰미가 좋은 사람이라면 이것의 정체가 '''[[통분]]'''임을 알았을 것이다. || [math((a \pm b)^{-1} = \pm (a \pm b)(ab)^{-1} = \pm \dfrac{a \pm b}{ab})] || === 인수분해 공식 === 곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾼 것이다. 예시는 다음과 같다. || [math(a^2 + 2ab + b^2 = \left(a+b\right)^2)] || || [math( a^2 - 2ab + b^2 = \left(a-b\right)^2)] || || [math(a^2 - b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right))] || || [math(x^2 + \left(a+b\right)x + ab = \left(x+a\right)\left(x+b\right))] || || [math( acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd = \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) )] || 고등학교 과정의 인수분해 공식 또한 비슷하게 할 수 있다. == 집합과 확률에서 곱셈 공식 == * [[조건부 확률]] [[파일:조건부 확률.png]] ||[math( P(A|B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)} )]|| * [[곱셈 공식]] ||[math( P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B \cap A) = P(B|A)P(A) )]|| A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B) * [[전체 확률의 법칙]] [[파일:전체 확률의 법칙.png]] 정의) [math(A_1, A_2)]는 [math(A)]의 파티션(서로 상호 배타적이고 합하면 [math(A)]가 나오는 집합)이다. ||[math( P(B) )] [math( = P(B \cap A) )] [math( = P(B \cap A_1) + P(B∩A_2))] [math( = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2))]|| * [[베이즈 정리]] ||[math( P(A_1|B) )] [math(\displaystyle = \frac{P(B \cap A_1)}{P(B)})] [math(\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)})] [math(\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)})]|| == 관련 문서 == * [[인수분해]] * [[이항정리]] * [[1학년의 꿈]] * [[통분]] * [[항등식]] [[분류:대수학]][[분류:확률론]][[분류:통계학]]