Heron's formula 평면 위의
삼각형 의 세 변의 길이로 삼각형의 넓이를 구하는 공식으로, 세 변의 길이를 각각
a a a ,
b b b ,
c c c 라 하면 넓이는 아래와 같다.
s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s = a + b + c 2 ) \displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad \left(s=\dfrac{a+b+c}{2} \right) s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s = 2 a + b + c )
파일:namu-헤론공식-유도_NEW.svg 위 그림과 같은
삼각형 A B C \rm ABC ABC 를 고려하자. 이때,
∠ A ≥ ∠ B \angle{\rm A} \geq \angle{\rm B} ∠ A ≥ ∠ B ,
∠ A ≥ ∠ C \angle{\rm A} \geq \angle{\rm C} ∠ A ≥ ∠ C 이다.
꼭짓점
A \rm A A 에서 밑변
B C \rm BC BC 에 내린
수선의 발 을
H \rm H H 라 하고,
B H ‾ = x \overline{\rm BH}=x BH = x 라 하자.
A H ‾ \overline{\rm AH} AH 로 나뉜 두
직각삼각형 A B H \rm ABH ABH ,
A C H \rm ACH ACH 에 대하여 각각
피타고라스 정리 를 적용하면
c 2 = h 2 + x 2 b 2 = h 2 + ( a − x ) 2 \displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned} c 2 b 2 = h 2 + x 2 = h 2 + ( a − x ) 2
두 식을 빼어
c 2 − b 2 = 2 a x − a 2 → x = a 2 + c 2 − b 2 2 a \displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2} \quad \to \quad x=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} c 2 − b 2 = 2 a x − a 2 → x = 2 a a 2 + c 2 − b 2
을 얻고,
c 2 = h 2 + x 2 c^{2}=h^{2}+x^{2} c 2 = h 2 + x 2 을 이용하여
h 2 = c 2 − x 2 = c 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 2 a ) 2 = ( c + a 2 + c 2 − b 2 2 a ) ( c − a 2 + c 2 − b 2 2 a ) = [ ( a + c ) 2 − b 2 2 a ] [ b 2 − ( a − c ) 2 2 a ] = 1 4 a 2 ( a + b + c ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) = 1 4 a 2 ⋅ 2 s ⋅ 2 ( s − b ) ⋅ 2 ( s − c ) ⋅ 2 ( s − a ) ( s = a + b + c 2 ) = 4 a 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) \displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \\&=\left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \\ &=\left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \\&=\dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)\\&=\dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \quad \left( s=\dfrac{a+b+c}{2} \right) \\&=\dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned} h 2 = c 2 − x 2 = c 2 − ( 2 a a 2 + c 2 − b 2 ) 2 = ( c + 2 a a 2 + c 2 − b 2 ) ( c − 2 a a 2 + c 2 − b 2 ) = [ 2 a ( a + c ) 2 − b 2 ] [ 2 a b 2 − ( a − c ) 2 ] = 4 a 2 1 ( a + b + c ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) = 4 a 2 1 ⋅ 2 s ⋅ 2 ( s − b ) ⋅ 2 ( s − c ) ⋅ 2 ( s − a ) ( s = 2 a + b + c ) = a 2 4 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )
한편, 삼각형
A B C \rm ABC ABC 의 넓이의 제곱은 아래와 같으므로
( △ A B C ) 2 = ( 1 2 a h ) 2 = 1 4 a 2 h 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ∴ △ A B C = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) \displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2}\\&=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}\\&=s(s-a)(s-b)(s-c) \\ \\ \therefore {\triangle \rm ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{aligned} ( △ ABC ) 2 ∴ △ ABC = ( 2 1 ah ) 2 = 4 1 a 2 h 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )
결과식의 형태에서
a a a ,
b b b ,
c c c 가 각각 어떤 변의 길이가 되든 결과는 같다. 즉, 헤론의 공식을 쓸 때 각 변의 길이의 대입 순서는 고려하지 않아도 된다.
△ A B C = 1 2 a c sin B = 1 2 a c 1 − cos 2 B \displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} \\&=\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\cos^{2}{B}} \end{aligned} △ ABC = 2 1 a c sin B = 2 1 a c 1 − cos 2 B
∠ B = B \angle{\rm B}=B ∠ B = B 이고, 삼각함수 항등식
sin 2 B + cos 2 B = 1 \sin^{2}{B}+\cos^{2}{B}=1 sin 2 B + cos 2 B = 1 을 이용했다. 제2코사인 법칙에 의하여
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B → cos B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c \displaystyle \begin{aligned} b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B} \quad \to \quad \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \end{aligned} b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B → cos B = 2 a c a 2 + c 2 − b 2
이므로 이것을 대입하면,
△ A B C = 1 2 a c sin B = 1 2 a c 1 − ( a 2 + c 2 − b 2 2 a c ) 2 = 1 4 4 a 2 c 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 ) 2 = 1 4 [ ( a + c ) 2 − b 2 ] [ b 2 − ( a − c ) 2 ] = 1 4 ( a + b + c ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) \displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} \\&=\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \right)^{2}} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}}\\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } \end{aligned} △ ABC = 2 1 a c sin B = 2 1 a c 1 − ( 2 a c a 2 + c 2 − b 2 ) 2 = 4 1 4 a 2 c 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 ) 2 = 4 1 [( a + c ) 2 − b 2 ] [ b 2 − ( a − c ) 2 ] = 4 1 ( a + b + c ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( b + c − a )
근호 안의 항은 피타고라스 정리를 사용하여 유도했을 때 봤던 것이므로
16 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) 16s(s-a)(s-b)(s-c) 16 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) 이다.
∴ △ A B C = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) \displaystyle \begin{aligned} \therefore \triangle {\rm ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} ∴ △ ABC = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )
세 변의 길이 중 일부 혹은 전체에 근호가 포함되는 등 위에서 유도한 공식을 사용하기 어려울 경우 다음과 같은 변형 공식을 사용하면 좋다. 유도는 헤론의 공식에서
s = ( a + b + c ) / 2 s=(a+b+c)/2 s = ( a + b + c ) /2 를 대입하고, 전개하고, 식을 유도하면 된다.
△ A B C = 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) 4 = 4 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 4 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) 4 = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 \displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC} &=\dfrac{\sqrt{2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \\&=\dfrac{\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}}{4}\\&=\dfrac{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \\&=\dfrac{ \sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}} }{4} \end{aligned} △ ABC = 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 4 4 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2
