shoelace formula 좌표평면 상 점의 좌표를 이용하여 볼록 및 오목 다각형의 넓이를 계산하는 공식으로,
n n n 각형의 각 꼭짓점을 시계 반대 방향 순서대로
P 1 ( x 1 , y 1 ) {\rm P_{1}}(x_{1},\,y_{1}) P 1 ( x 1 , y 1 ) ,
P 2 ( x 2 , y 2 ) {\rm P_{2}}(x_{2},\,y_{2}) P 2 ( x 2 , y 2 ) ,
P 3 ( x 3 , y 3 ) {\rm P_{3}}(x_{3},\,y_{3}) P 3 ( x 3 , y 3 ) ,
⋯ \cdots ⋯ ,
P n ( x n , y n ) {\rm P}_{n}(x_{n},\,y_{n}) P n ( x n , y n ) 이라 할 때, 그 넓이는 아래와 같다.
1 2 ∣ x 1 x 2 x 3 ⋯ x n x 1 y 1 y 2 y 3 ⋯ y n y 1 ∣ \displaystyle \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} 2 1 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ⋯ ⋯ x n y n x 1 y 1 신발끈 공식은 1769년에 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724~1788)가 발견했으며, 1795년에
카를 프리드리히 가우스 (Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 또한 독자적으로 발견하였다.
1 2 ∣ x 1 x 2 x 3 ⋯ x n x 1 y 1 y 2 y 3 ⋯ y n y 1 ∣ = 1 2 ∣ ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + ⋯ + x n − 1 y n + x n y 1 ) − ( x 2 y 1 + x 3 y 2 + ⋯ + x n y n − 1 + x 1 y n ) ∣ \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})| \end{aligned} 2 1 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ⋯ ⋯ x n y n x 1 y 1 = 2 1 ∣ ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + ⋯ + x n − 1 y n + x n y 1 ) − ( x 2 y 1 + x 3 y 2 + ⋯ + x n y n − 1 + x 1 y n ) ∣
어디선가 많이 본 형태라면 정답이다. 이 식은 다름아닌
외적 으로,
x 1 x_{1} x 1 ,
x 2 x_{2} x 2 ,
⋯ \cdots ⋯ 를
벡터 x \bold x x 로,
y 1 y_{1} y 1 ,
y 2 y_{2} y 2 ,
⋯ \cdots ⋯ 를 벡터
y \bold y y 로 합치면 아래와 같이 된다.
1 2 ∣ x × y ∣ \dfrac{1}{2}|{\bold x}\times{\bold y} | 2 1 ∣ x × y ∣ 특히
삼각형 에 대한 신발끈 공식을 많이 사용하게 되는데 이는 아래와 같다.
1 2 ∣ x 1 x 2 x 3 x 1 y 1 y 2 y 3 y 1 ∣ = 1 2 ∣ ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 ) − ( x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 ) ∣ \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~ &x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~ &y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3})| \end{aligned} 2 1 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 1 y 1 = 2 1 ∣ ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 ) − ( x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 ) ∣
우선 이 공식을 유도하기 전 꼭짓점이
A ( x 1 , y 1 ) {\rm A}(x_{1},\,y_{1}) A ( x 1 , y 1 ) ,
B ( x 2 , y 2 ) {\rm B}(x_{2},\,y_{2}) B ( x 2 , y 2 ) ,
C ( x 3 , y 3 ) {\rm C}(x_{3},\,y_{3}) C ( x 3 , y 3 ) 인 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 고찰해볼 필요가 있다.
A ( x 1 , y 1 ) {\rm A}(x_{1},\,y_{1}) A ( x 1 , y 1 ) 를 시점으로 하는 두 벡터
A B → \overrightarrow{\rm AB} AB ,
A C → \overrightarrow{\rm AC} AC 의
외적 의 크기의 절반이 해당 삼각형의 넓이가 된다. 즉,
△ A B C = 1 2 ∣ A B → × A C → ∣ \displaystyle \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\rm AB} \times \overrightarrow{\rm AC} | △ ABC = 2 1 ∣ AB × AC ∣ 파일:namu-신발끈공식_유도.svg 위의 정보를 이용하여 다각형
P 1 P 2 P 3 ⋯ P n {\rm P}_{1}{\rm P}_{2}{\rm P}_{3} \cdots {\rm P}_{n} P 1 P 2 P 3 ⋯ P n 의 넓이
S S S 는 육각형을 예시로 든 위 그림과 같이 점
P 1 \rm P_{1} P 1 을 기준으로 잡아 해당 다각형을 삼각형
P 1 P k − 1 P k ( k ≥ 3 , k ∈ Z ) {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k} \, (k \geq 3, \,k \in \mathbb{Z}) P 1 P k − 1 P k ( k ≥ 3 , k ∈ Z ) 으로 모두 분할한 후 해당 삼각형의 넓이를 모두 합한 값이다. 다만, 분할된 영역의 넓이는 전체 넓이에 대하여 양의 기여를 하기도 하고, 음의 기여(위 그림에서
△ P 1 P 3 P 4 \triangle \rm{P_{1}P_{3}P_{4}} △ P 1 P 3 P 4 )를 하기도 한다. 따라서 분할된 영역의 넓이를 구할 때는 절댓값을 취하지 않는다. 즉,
[ △ P 1 P k − 1 P k ] = 1 2 P 1 P k − 1 → × P 1 P k → \displaystyle [\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}]=\frac{1}{2}\overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}} [ △ P 1 P k − 1 P k ] = 2 1 P 1 P k − 1 × P 1 P k 대괄호를 씌운 것은 일반적으로 넓이 구하는 법과 차이가 있음을 강조하기 위함이다. 따라서 이것을 모두 합한 뒤 절댓값을 취하면
S S S 가 된다. 이때, 점을 반시계 방향으로 명명하였고, 벡터의 외적 연산을 사용하기 때문에 오목한 영역과 볼록한 영역의 경우의 넓이는 서로 다른 부호의 기여를 한다. 이에 기여분에 대한 부호는 자동적으로 계산되므로 신경쓰지 않아도 된다.
S = ∣ ∑ k = 3 n [ △ P 1 P k − 1 P k ] ∣ = 1 2 ∣ ∑ k = 3 n P 1 P k − 1 → × P 1 P k → ∣ = 1 2 ∣ ∑ k = 3 n ( O P k − 1 → − O P 1 → ) × ( O P k → − O P 1 → ) ∣ = 1 2 ∣ ∑ k = 3 n O P k − 1 → × O P k → + { O P 1 → × ∑ k = 3 n ( O P k − 1 → − O P k → ) } ∣ = 1 2 ∣ ∑ k = 3 n O P k − 1 → × O P k → + { O P 1 → × O P 2 → − O P 1 → × O P n → } ∣ = 1 2 ∣ ∑ k = 3 n ∣ x k − 1 y k − 1 x k y k ∣ + { ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ + ∣ x 1 y 1 x n y n ∣ } ∣ = 1 2 ∣ ∑ k = 3 n ( x k − 1 y k − x k y k − 1 ) + { ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) − ( x 1 y n − x n y 1 ) } ∣ = 1 2 ∣ ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + ⋯ + x n − 1 y n + x n y 1 ) − ( x 2 y 1 + x 3 y 2 + ⋯ + x n y n − 1 + x 1 y n ) ∣ \displaystyle \begin{aligned} S&= \left| \sum_{k=3}^{n}[\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}] \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}}\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}}) \times (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}})\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\left\{ \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P_{1} }} \times \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{k}}) \right\} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\{\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{2}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{n}} \} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \begin{vmatrix} x_{k-1}~ &y_{k-1} \\ x_{k}~ &y_{k} \end{vmatrix}+\left\{ \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{2}~ &y_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{n}~ &y_{n} \end{vmatrix} \right\}\right| \\ &=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n}(x_{k-1}y_{k}-x_{k}y_{k-1})+\{(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(x_{1}y_{n}-x_{n}y_{1}) \} \right| \\&=\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})|\end{aligned} S = k = 3 ∑ n [ △ P 1 P k − 1 P k ] = 2 1 k = 3 ∑ n P 1 P k − 1 × P 1 P k = 2 1 k = 3 ∑ n ( O P k − 1 − O P 1 ) × ( O P k − O P 1 ) = 2 1 k = 3 ∑ n O P k − 1 × O P k + { O P 1 × k = 3 ∑ n ( O P k − 1 − O P k ) } = 2 1 k = 3 ∑ n O P k − 1 × O P k + { O P 1 × O P 2 − O P 1 × O P n } = 2 1 k = 3 ∑ n x k − 1 x k y k − 1 y k + { x 1 x 2 y 1 y 2 + x 1 x n y 1 y n } = 2 1 k = 3 ∑ n ( x k − 1 y k − x k y k − 1 ) + {( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) − ( x 1 y n − x n y 1 )} = 2 1 ∣ ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + ⋯ + x n − 1 y n + x n y 1 ) − ( x 2 y 1 + x 3 y 2 + ⋯ + x n y n − 1 + x 1 y n ) ∣
rule of Sarrus 위 공식을
3 × 3 3 \times 3 3 × 3 행렬 에 적용한 것으로,
3 × 3 3 \times 3 3 × 3 행렬의 1, 2열을 그대로 4, 5열에 각각 써서
5 × 3 5 \times 3 5 × 3 행렬로 변형한 뒤
신발끈 공식을 적용한 것이다. 차이점은 일직선상의 세 개의 성분을 연달아서 이어야 한다는 점과 실수배를 하지 않는다는 점, 결괏값의 부호는 그대로 놔둔다는 점(절댓값을 취하지 않음), 그리고 2행의 양 끝 성분은 버려지는 점이 있다.
3 × 3 3 \times 3 3 × 3 행렬이 아닐 경우 성립하지 않기 때문에
선형대수학 에서는
사도 취급하지만
,
3 × 3 3 \times 3 3 × 3 행렬의
행렬식 을 구하는 데 이것만큼 유용한 도구가 없다.
대표적인 사용례로 벡터장의
회전 이 있다. 이는 아래와 같이 계산할 수 있다.
∇ × a = ∣ x ^ y ^ z ^ x ^ y ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ ∂ x ∂ ∂ y a x a y a z a x a y ∣ \boldsymbol{\nabla} \times \bold{a} = \begin{vmatrix} \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} & \hat{\bold{z}} & \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\ a_x & a_y & a_z & a_x & a_y \end{vmatrix} ∇ × a = x ^ ∂ x ∂ a x y ^ ∂ y ∂ a y z ^ ∂ z ∂ a z x ^ ∂ x ∂ a x y ^ ∂ y ∂ a y 
