구면삼각형

분류

1. 개요2. 성질3. 공식

3.1. 구면직각삼각형의 공식3.2. 구면삼각형의 사인 법칙3.3. 구면삼각형의 코사인 법칙

1. 개요[편집]

球面三角形 · spherical triangle

구면 위에 그려진 삼각형을 말한다. 비유클리드 기하학에서 가장 많이 다루어지는 도형이다.[1]

내각의 합은 $\pi$ 보다 크다.[2]
- 모든 변이 같으나 한 각이 $\dfrac{\pi}{3}$ 보다 큰 임의의 각을 갖는 '정삼각형'이 존재한다. 그 가운데 모든 각이 직각인 정삼각형은 구면을 정확히 8등분해서 얻을 수 있다.
- 오목삼각형이 존재한다. 즉 한 각의 크기가 $\pi$ 를 초과할 수 있다.
- 삼각형의 내각의 합은 $3\pi$ 보다 작다. 내각의 합이 $3\pi$ 가 되는 경우 일각형으로 축퇴된다.
외접원, 내접원, 방접원은 구의 단면이다.
최소 3개의 수심을 갖는다. 하나 이상의 각이 직각인 삼각형은 수심이 4개이다.
삼각형의 넓이는 단위구 기준 내각의 합에서 $\pi$ 를 뺀 값이다.
- 각 변의 길이를 모두 더한 값의 절반보다 넓이가 항상 크다.

빗변의 길이가

c

(라디안)인 경우.

\cos c=\cos a\cos b

\sin A= \dfrac{\sin a}{\sin c} , \cos A=\dfrac{\tan b}{\tan c} , \tan A=\dfrac{\tan a}{\sin b}

\cos A

를 기술하는 항에서

c=\dfrac{\pi}{2}

일 경우, 로피탈의 정리를 취해

\dfrac{\sec^2b}{\sec^2c}=\dfrac{\cos^2c}{\cos^2b}

로 계산해야 한다.

\dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C}

각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한것
$\cos c=\dfrac{\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos A\cos B}{1-\sin a\sin b\sin A\sin B}$

[1] 이는 지구라는 현실적 대상과 매우 밀접할 수밖에 없기 때문.[2] 구면삼각형은 모든 각이 직각일 수 있음을 많이 접해봤을 것이다.