분류
1. 개요
2. 진술
2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리
[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 [math(f: mathbb R to mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
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여기서 중요한 것은 닫힌 구간과 연속이다. 둘 중 한 조건이라도 성립하지 않는다면, 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다. 일견 당연해 보이는 이 정리는, 고교 수준을 넘는다며 증명을 생략하고 넘어가는 경우가 대부분이다.
2.2. 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
[ 정리 ] 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
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고교 수준의 정의에서 닫힌 유계구간이 옹골집합(Compact set)으로 치환된 형태이다. 실제로, 하이네-보렐 정리에 따르면 실수 집합의 닫힌 유계구간은 전부 옹골집합이므로, 위 정리를 온전히 포함하게 된다.
[ 정리 ] 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 [math(X)]와, 전순서(Total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
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3. 증명
[ 보조정리 1 ]
함수 [math(f: mathbb R to mathbb R)]가 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 임의의 [math(x_0 in [a, b])]에 대하여 [math(f rvert_{I cap [a, b]})]가 유계이도록 하는 열린 구간 [math(x_0in I)]가 항상 존재한다.
[ 증명 ]함수 [math(f)]가 [math(x_0 in [a, b])]에서 연속이므로, [math(lvert x - x_0 rvert < delta Rightarrow lvert f(x) - f(x_0) rvert < 1)] 을 성립시키는 양수 [math(delta > 0)]가 존재한다. 이제 [math(I = (x_0 - delta, x_0 + delta))]라고 놓으면, 삼각부등식에 의해 [math(x in I cap [a, b] Rightarrow lvert x - x_0 rvert < delta Rightarrow lvert f(x) rvert < lvert f(x_0) rvert + 1)] 이다. 가장 오른쪽 [math(lvert f(x_0) rvert + 1)]은 고정된 값이므로, [math(f rvert_{I cap [a, b]})]가 유계.□ |
[ 보조정리 2 ]
임의의 옹골집합 [math(X subset mathbb R)] 위에서 정의된 함수 [math(f: X to mathbb R)]에 대하여, [ 보조정리 1 ]이 성립한다면 함수 [math(f)]는 [math(X)] 전체에서 유계이다.
[ 증명 ]각 [math(x in X)]에 대하여, [ 보조정리 1 ]의 열린 구간을 [math(I_x = (x - delta_x, x + delta_x))]라고 하자. 그렇다면 [math(left{I_x right}_{x in X})]는 옹골집합 [math(X)]의 열린 덮개(Open covering)임을 확인할 수 있다. 따라서, [math(X)]의 유한 부분 덮개(Finite subcovering)가 존재하며, 적당히 이름을 다시 붙여서 [math(left{I_{x_k} right}_{1 leq k leq n})]가 해당 유한 부분 덮개라고 할 수 있다. 이 때, 함수 [math(f)]는 구간 [math(I_{x_k} cap X)]에서 유계이므로 [math(lvert f(x) rvert leq M_k, forall x in I_{x_k} cap X)] 을 만족하는 [math(M_k > 0)]가 존재한다. 이제 [math(displaystyle M = max_{1 leq k leq n} M_k)]라 놓자. 임의의 [math(x in X)]에 대해, [math(X subset displaystyle bigcup_{k = 1}^{n} I_{x_k})]이므로 [math(x in I_{x_i})]인 [math(1 leq i leq n)]이 존재한다. 따라서 [math(lvert f(x) rvert < M_i leq M)]이고, 이는 모든 [math(x in X)]에 대해 참이므로 [math(f)]는 [math(X)]에서 유계이다.□ |
[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 [math(f: mathbb R to mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
[ 증명 ][ 보조정리 1, 2 ]에 의해 [math(f)]는 [math([a, b])]에서 유계이다. 그러므로 [math(M = sup left{ f(x) | {x in [a, b]} right})]와 [math(m = inf left{ f(x) | {x in [a, b]} right})]가 실수 집합 내에서 존재한다. 정의상 [math(x in [a, b])]이면 [math(m leq f(x) leq M)]. 이제 [math(f(x) = M)]인 [math(x in [a, b])]가 존재함을 증명하자. 결론을 부정하여, 임의의 [math(x in [a, b])]에 대해 [math(f(x) neq M)], 즉 [math(f(x) < M)]을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 [math(g: [a, b] to mathbb R)]는 잘 정의되며, 연속이다.(연속함수의 성질 참고.) [math(g(x) = dfrac 1{M - f(x)})] 그러므로 [math(g)]에도 [ 보조정리 1, 2 ]를 적용할 수 있다. [math(g)]도 구간 [math([a, b])]에서 유계이므로 적당한 실수 [math(N)]이 존재하여, [math(g(x) = lvert g(x) rvert leq N)]이 성립한다. 따라서 [math(dfrac 1{M - f(x)} leq N)]이고, [math(f(x) leq M - dfrac 1N, forall x in [a, b])]이다. 이는 [math(M)]이 집합 [math(left{ f(x) | {x in [a, b]} right})]의 최소 상한(Supremum)이라는 가정에 모순이다. 그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 함수 [math(f)]는 [math(M)]을 함숫값으로 가진다. 즉, [math(f)]는 최댓값 [math(M)]을 가진다. 한편, [math(inf f = - sup (-f))] 및 [math(min f = - max (-f))]을 이용하면, 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다.□ |
[ 정리 ] 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 [math(X)]와, 전순서(Total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
[ 증명 ]이번에도, 결론을 부정하여 [math(f(X))]가 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 그러면, 임의의 [math(f(x_0)) in f(X))]에 대하여 어떤 [math(x' in X)]가 존재하여, [math(f(x_0) < f(x'))]이 성립한다. 따라서 [math(displaystyle f(X) subset bigcup_{x in X} (- infty, f(x)))] 이다. 그러므로, [math(left{(- infty, f(x)) right}_{x in X})]는 옹골집합 [math(f(X))]의 열린 덮개가 된다. 이제 이 열린 덮개의 유한 부분 덮개를 [math(left{(- infty, f(x_i)) right}_{1 leq i leq n})]라 하면, [math(displaystyle f(X) subset displaystyle bigcup_{i = 1}^n (- infty, f(x_i)) = (- infty, max_{1 leq i leq n} f(x_i)))] 이다. 그런데 [math(displaystyle max_{1 leq i leq n} f(x_i) in f(X))]이므로, 이 값이 최댓값이 된다. 그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 [math(f(X))]는 최댓값을 가진다. 최솟값의 경우도 똑같이 증명할 수 있다.□ |