1. 삼각함수가 포함된 부등식
중등교육과정, 그러니까 고등학교 이하에서 말하는 삼각부등식은 주로 삼각함수가 포함된 부등식을 말한다.
예컨대, [math(sin xle 0)]과 같은 부등식이다. 부등식 항목으로 가자.
예컨대, [math(sin xle 0)]과 같은 부등식이다. 부등식 항목으로 가자.
2. 거리함수의 성질
추상적인 대상을 다루는 학부 이상의 과정에서 거리함수가 가지는 어떠한 성질을 일컫는 말.
별다른 언급이 없으면 삼각부등식이라 함은 후자를 뜻한다.
집합 [math(X)]의 거리 함수(metric)란 다음의 성질을 만족하는 함수 [math(d:X times Xto R)]이다.
별다른 언급이 없으면 삼각부등식이라 함은 후자를 뜻한다.
집합 [math(X)]의 거리 함수(metric)란 다음의 성질을 만족하는 함수 [math(d:X times Xto R)]이다.
[math(dleft(x,yright)=dleft(y,xright))]
[math(dleft(x,yright)+dleft(y,zright) geq dleft(x,zright))][3], [math(y)], [math(z)]이 이루는 삼각형을 상상하고, 그 변들의 길이 사이의 관계를 떠올려 보자.]
일반적으로 위의 두 가지는 당연한 것으로 증명하기 어렵지 않다. 삼각부등식을 보이는 것도 어렵지는 않으나, 당연한 수준은 아니다. 이 삼각부등식은 거리공간(거리가 주어진 공간 즉, [math(left(X,dright))])을 연구할 때 가장 많이 쓰인다. 앞의 것은 의식도 못 하고 쓰이는 수준이라서 뭐라 말하기 어렵다.
사실 초중고등학교에서도, 흔히 생각하는 거리가 거리함수임을 알려주기 위해, 이 부등식을 가르치지만, 유용하게 쓰거나 하지는 않는다. 초등학교에서는 삼각형의 세 변의 길이 [math(x)], [math(y)], [math(z)]에 대해 [math(x+yge z)]임을 가르친다. 중고등학교에서는, 실수 혹은 실벡터 공간에서 주어진 노름(norm)[4]이 거리함수를 이룬다는 것을 언급하기 위해 [math(leftVert xrightVert +leftVert yrightVert geleftVert x+yrightVert)]를 가르친다. 이것이 삼각부등식과 동치임을 보이는 것은 어렵지 않다.
사실 초중고등학교에서도, 흔히 생각하는 거리가 거리함수임을 알려주기 위해, 이 부등식을 가르치지만, 유용하게 쓰거나 하지는 않는다. 초등학교에서는 삼각형의 세 변의 길이 [math(x)], [math(y)], [math(z)]에 대해 [math(x+yge z)]임을 가르친다. 중고등학교에서는, 실수 혹은 실벡터 공간에서 주어진 노름(norm)[4]이 거리함수를 이룬다는 것을 언급하기 위해 [math(leftVert xrightVert +leftVert yrightVert geleftVert x+yrightVert)]를 가르친다. 이것이 삼각부등식과 동치임을 보이는 것은 어렵지 않다.