[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] {{{+1 '''최대·최소 정리([[最]][[大]]·[[最]][[小]] [[定]][[理]]) · Exterme value theorem'''}}} == 개요 == '''최대·최소 정리(Exterme value theorem)'''은 [[함수]]의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로 [[연속함수]]의 대표적인 성질 중 하나이다. == 진술 == === 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리 === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리([[수학Ⅱ(2015)]]) ---- 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 '''닫힌 구간''' [math([a, b])]에서 '''연속'''이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. || 여기서 중요한 것은 '''닫힌 구간'''과 '''연속'''이다. 둘 중 한 조건이라도 성립하지 않는다면, 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다. 일견 당연해 보이는 이 정리는, 고교 수준을 넘는다며 증명을 생략하고 넘어가는 경우가 대부분이다. === 최대·최소 정리(Exterme value theorem) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(Exterme value theorem) ---- [[옹골집합]] [math(X)]에서 정의된 [[연속함수]] [math(f: X \to \mathbb R)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. || 고교 수준의 정의에서 '''닫힌 유계구간'''이 옹골집합(Compact set)으로 치환된 형태이다. 실제로, [[컴팩트성#s-4|하이네-보렐 정리]]에 따르면 실수 집합의 닫힌 유계구간은 전부 옹골집합이므로, 위 정리를 온전히 포함하게 된다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(Exterme value theorem) ---- [[옹골집합]] [math(X)]와, 전순서(Total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. || == 증명 == 당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 [[유계]](boundness)나 [[콤팩트성|컴팩트성]](compact)을 알아야 한다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 보조정리 1 ]''' ---- 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 임의의 [math(x_0 \in [a, b])]에 대하여 [math(f \rvert_{I \cap [a, b]})]가 유계이도록 하는 열린 구간 [math(x_0\in I)]가 항상 존재한다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 함수 [math(f)]가 [math(x_0 \in [a, b])]에서 연속이므로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < 1)]}}} 을 성립시키는 양수 [math(\delta > 0)]가 존재한다. 이제 [math(I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta))]라고 놓으면, [[삼각부등식]]에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(x \in I \cap [a, b] \ \Rightarrow \ \lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) \rvert < \lvert f(x_0) \rvert + 1)]}}} 이다. 가장 오른쪽 [math(\lvert f(x_0) \rvert + 1)]은 고정된 값이므로, [math(f \rvert_{I \cap [a, b]})]가 유계.□}}} || ||<tablewidth=100%><(> '''[ 보조정리 2 ]''' ---- 임의의 옹골집합 [math(X \subset \mathbb R)] 위에서 정의된 함수 [math(f: X \to \mathbb R)]에 대하여, '''[ 보조정리 1 ]'''이 성립한다면 함수 [math(f)]는 [math(X)] 전체에서 유계이다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 각 [math(x \in X)]에 대하여, '''[ 보조정리 1 ]'''의 열린 구간을 [math(I_x = (x - \delta_x, x + \delta_x))]라고 하자. 그렇다면 [math(\left\{I_x \right\}_{x \in X})]는 옹골집합 [math(X)]의 열린 덮개(Open covering)임을 확인할 수 있다. 따라서, [math(X)]의 유한 부분 덮개(Finite subcovering)가 존재하며, 적당히 이름을 다시 붙여서 [math(\left\{I_{x_k} \right\}_{1 \leq k \leq n})]가 해당 유한 부분 덮개라고 할 수 있다. 이 때, 함수 [math(f)]는 구간 [math(I_{x_k} \cap X)]에서 유계이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\lvert f(x) \rvert \leq M_k, \ \ \forall x \in I_{x_k} \cap X)]}}} 을 만족하는 [math(M_k > 0)]가 존재한다. 이제 [math(\displaystyle M = \max_{1 \leq k \leq n} M_k)]라 놓자. 임의의 [math(x \in X)]에 대해, [math(X \subset \displaystyle \bigcup_{k = 1}^{n} I_{x_k})]이므로 [math(x \in I_{x_i})]인 [math(1 \leq i \leq n)]이 존재한다. 따라서 [math(\lvert f(x) \rvert < M_i \leq M)]이고, 이는 모든 [math(x \in X)]에 대해 참이므로 [math(f)]는 [math(X)]에서 유계이다.□}}} || ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리([[수학Ⅱ(2015)]]) ---- 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] '''[ 보조정리 1, 2 ]'''에 의해 [math(f)]는 [math([a, b])]에서 유계이다. 그러므로 [math(M = \sup \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\})]와 [math(m = \inf \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\})]가 실수 집합 내에서 존재한다. 정의상 [math(x \in [a, b])]이면 [math(m \leq f(x) \leq M)]. 이제 [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a, b])]가 존재함을 증명하자. 결론을 부정하여, 임의의 [math(x \in [a, b])]에 대해 [math(f(x) \neq M)], 즉 [math(f(x) < M)]을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 [math(g: [a, b] \to \mathbb R)]는 [[잘 정의됨|잘 정의되며]], 연속이다.([[연속함수#기본 성질|연속함수의 성질]] 참고.) {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(g(x) = \dfrac 1{M - f(x)})]}}} 그러므로 [math(g)]에도 '''[ 보조정리 1, 2 ]'''를 적용할 수 있다. [math(g)]도 구간 [math([a, b])]에서 유계이므로 적당한 실수 [math(N)]이 존재하여, [math(g(x) = \lvert g(x) \rvert \leq N)]이 성립한다. 따라서 [math(\dfrac 1{M - f(x)} \leq N)]이고, [math(f(x) \leq M - \dfrac 1N, \ \forall x \in [a, b])]이다. 이는 [math(M)]이 집합 [math(\left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\})]의 [[유계|최소 상한]](Supremum)이라는 가정에 모순이다. 그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 함수 [math(f)]는 [math(M)]을 함숫값으로 가진다. 즉, [math(f)]는 최댓값 [math(M)]을 가진다. 한편, [math(\inf f = - \sup (-f))] 및 [math(\min f = - \max (-f))]을 이용하면, 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다.□}}} || ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(Exterme value theorem) ---- [[옹골집합]] [math(X)]와, 전순서(Total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 이번에도, 결론을 부정하여 [math(f(X))]가 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 그러면, 임의의 [math(f(x_0)) \in f(X))]에 대하여 어떤 [math(x' \in X)]가 존재하여, [math(f(x_0) < f(x'))]이 성립한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle f(X) \subset \bigcup_{x \in X} (- \infty, f(x)))]}}} 이다. 그러므로, [math(\left\{(- \infty, f(x)) \right\}_{x \in X})]는 옹골집합 [math(f(X))]의 열린 덮개가 된다. 이제 이 열린 덮개의 유한 부분 덮개를 [math(\left\{(- \infty, f(x_i)) \right\}_{1 \leq i \leq n})]라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle f(X) \subset \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n (- \infty, f(x_i)) = (- \infty, \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i)))]}}} 이다. 그런데 [math(\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i) \in f(X))]이므로, 이 값이 최댓값이 된다. 그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 [math(f(X))]는 최댓값을 가진다. 최솟값의 경우도 똑같이 증명할 수 있다.□}}}|| [[분류:해석학(수학)]]