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정적분의 정의에 따라

라 하면

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파일:역함수 예제 1.jpg
함수 $f(x)$가 점 $(0,0)$과 $(3,7)$을 지나고 역함수가 존재하므로 $f(x)$는 증가함수이다. 따라서 그래프의 개형은 위 그림과 같다.

$\displaystyle{\color{purple}\int_0^7 g(x)\;{\rm d}x}$와 빨간색 영역의 넓이는 같으며, $\displaystyle{\color{turquoise}\int_0^3 f(x)\;{\rm d}x}$는 초록색 영역이므로, 구하려는 값인 초록색 영역과 보라색 영역의 넓이의 합은 초록색 영역과 빨간색 영역의 넓이의 합과 같다. 이는 곧 직사각형의 넓이와 같으므로 $3 \cdot 7=21$

사실 $f(x)=\dfrac{7}{3}x$로 놓아버리면 그래프가 직선이 되어 굳이 정적분을 도입하지 않아도 삼각형의 넓이의 합으로도 풀 수 있다. 그러나 만약 풀이까지 써야 한다면 $f(x)$의 그래프가 무조건 직선이라는 보장이 없으므로 그런 풀이로는 제대로 된 점수를 받을 수 없다.

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$f'(x)=3(x-1)^2$이므로 $f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

파일:역함수 예제 3.jpg


한편, 위의 계산은 공식으로 더욱 간단히 해결할 수 있다. 이 공식에 대해서는 다항함수/추론 및 공식 참고.

정적분의 정의를 상기하면서 식의 어떤 자리에 어떤 수나 문자가 있는지 따져 보면 된다.

여기에서, $x_k$가 $x$로 변하고 $\Delta x$가 ${\rm d}x$가 된다는 점을 상기해야 한다. $\Delta x$란 본디 $\displaystyle\frac{b-a}{n}$의 꼴이므로 문제의 식에서는 $\displaystyle\frac{5}{n}$라고 할 수 있다. 그러면 $x_k=a+\displaystyle\frac{b-a}{n}k=1+\frac{5k}{n}$가 된다. 따라서 문제의 식에 있는 $\left(\displaystyle 1+\frac{5k}{n}\right)^2$을 그대로 $\displaystyle x^2$으로 바꿔서 쓰면 된다.

이제 위끝과 아래끝을 결정할 차례이다. 앞서 말했듯이 $x_0=a$, $x_n=b$이므로 $a=1+\dfrac{5⋅0}{n}=1$, $b=1+\dfrac{5⋅n}{n}=6$이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

$\displaystyle\int_1^6 x^2\,{\rm d}x$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{n+4k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$

문제 1에서는 $\left(1+\dfrac{5k}{n}\right)^2\dfrac{5}{n}$ 식으로, $\dfrac{5}{n}$가 두 번 보였기 때문에 그대로 $\Delta x=\dfrac{5}{n}$로 놓으면 $x_k$까지 순조롭게 정해졌었다. 그러나 문제 2는 $f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$ 식으로, $\dfrac{4}{n}$도 보이고 $\dfrac{1}{n}$도 보인다. 이 경우 둘의 수를 통일해야 문제 1과 같이 정적분의 꼴로 바꿀 수가 있을 것이다. 그러면 $\dfrac{4}{n}$로 통일할까, $\dfrac{1}{n}$로 통일할까? 당연히 $\dfrac{4}{n}$로 통일해야 한다. 그러는 편이 비교도 안 되게 쉽기 때문이다.

$\displaystyle\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{4}{n}$

와 같이 $\dfrac{1}{4}$이라는 상수를 앞으로 넘겨주기만 하면 끝이다. 계속 계산하면

문제 1과 같이, $\Delta x=\dfrac{4}{n}$로 놓을 수 있고, $x_k=1+\dfrac{4k}{n}$가 된다. $a=x_0=1$, $b=x_n=4$이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

$\displaystyle\frac{1}{4}\int_1^5 f(x) \,{\rm d}x$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{2k^3}{n^4}\right)$
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{2}{n}$

문제 2와 마찬가지로 수를 통일해 주어야 한다. $\dfrac{1}{n}$과 $\dfrac{2}{n}$가 보이는데, 상수 $2$를 앞으로 넘겨서 $\dfrac{1}{n}$로 통일하자.

$=2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{1}{n}$

$a$의 값을 찾을 수 있겠는가? $\dfrac{k}{n}$ 바로 앞에는 $\boldsymbol {0+}$가 생략되어 있는 것으로 보면 $a=0$임을 알 수 있다. $b-a=1$이므로 $b=1$이고 $\Delta x=\dfrac{1}{n}$이다. 그러면 자연스럽게 $x_k=\dfrac{k}{n}$가 된다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

$2\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x$

이를 계산하면

$2\left[\dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1$

$=2(\dfrac{1}{4}-0)$

$=\dfrac{1}{2}$

사실 이 문제를 푸는 편법이 있는데, 대학수학능력시험/수학 영역/여담 참고.

당황할 것 없이, $\sum$로 식을 다시 나타내면 된다.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k^3}$

사실 이 상태로는 정적분으로 나타낼 수가 없다. 앞서 문제를 풀어 보았듯이, $\dfrac{b-a}{n}k$와 $\dfrac{b-a}{n}$의 꼴이 나와야 $\Delta x$나 $x_k$를 정하기 쉬우므로 그에 맞게 식을 변형해 보자. 분모와 분자를 $n^4$으로 나누는 것이다.

$=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{(n+k)^3}{n^4}} }{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{k^3}{n^4}} }=\dfrac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(1+\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}}$

$=\dfrac{\displaystyle\int_1^2 x^3 \,{\rm d}x}{\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x}=\dfrac{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_1^2}{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_0^1}$

$=\dfrac{4-\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{4}-0}$

$=15$

1번은 함수 $y=tf(t)$[4]를 1부터 $x$까지 정적분한 값을 뜻한다. 2번은 함수 $y=af(a)$라는 함수를 1부터 $x$까지 정적분한 값을 뜻한다. 3번 역시 마찬가지로 함수 $y=xf(x)$를 1부터 $x$까지 정적분한 값을 뜻한다. 그러나 3번이 1번 및 2번과 다른 점은, 문자 $x$가 상수라는 것이다! 잘 이해가 안 되면 다음 그래프를 보자.

파일:귀여운정적분정의함수.jpg

여기에서 첫째 그래프와 둘째 그래프를 보면, 모든 것이 똑같고 가로축의 변수를 표기한 문자만이 다르다. 가로축의 변수를 무슨 문자로 쓸 것인지는 완전히 임의적인 것이기에, $a$로 쓰든 $t$로 쓰든 '꽦'으로 쓰든(...) 하등 문제는 없고, 실질적인 계산에서도 문자만 달라질 뿐, 그 달라진 문자가 계산에 전혀 영향을 주지 않는다. 그러나 셋째 그래프는 이야기가 다르다. 그래프의 함수식이, 가로축의 변수 $t$에 관한 식이 아니고 아예 새로운 문자 $x$에 관한 식이기에 이는 상수함수이다. $x=1$이면 $y=f(1)$을 1부터 1까지 정적분한 값을 구하고, $x=100$이면 $y=100f(100)$을 1부터 100까지 정적분한 값을 구하는 것이다. 상수함수는 $x$축과 평행하므로, 정적분으로 구하고자 하는 도형은 항상 직사각형이 된다. 따라서 $y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t$는 $y=x(x-1)f(x)$나 다름없다.

이 역시 그래프를 보며 생각해 보자.

파일:귀여운정적분정의함수.jpg

세 그래프 모두, $x$의 값에 따라 빨간색 부분의 넓이($y$값)이 달라지므로, 곧 정적분의 값도 달라짐을 알 수 있을 것이다. 따라서 1번, 2번, 3번 함수 모두 $\boldsymbol x$에 관한 함수이다. $t$니 $a$니 다른 문자들이 같이 등장해도 $t$에 관한 함수, $a$에 관한 함수로 착각하면 절대 안 된다.

아직도 헷갈린다면 미적분의 기본정리의 내용을 생각해 보자. 앞서 말했듯이 $\displaystyle\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_a^x f(t) \,{\rm d}t=f(x)$이다.

정적분으로 정의된 저 함수를 $\boldsymbol x$에 관해 미분했더니 $\boldsymbol x$에 관한 함수가 나오지 않는가. 그러므로 좌변의 함수는 $t$에 관한 함수가 결코 아니고, $x$에 관한 함수라는 식으로 이해하면 까먹지 않을 것이다. 그러나 이렇게 되는 이유가 뭐냐고 물어보면 결국 위의 설명을 이해하고 있어야 제대로 대답할 수 있다. 다시 말해서 이렇게만 공부하지 말고, 위의 설명을 이해하는 것이 훨씬 중요하다는 말이다.

$f(2)$의 값을 구하려면 먼저 $f(x)$를 알아야 하는데, $f(x)$를 알려면 $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \,{\rm d}x$의 값을 알아야 한다. 그런데 $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \,{\rm d}x$의 값을 알려면 $f(x)$를 알아야 한다! 이런 무한 루프를 극복하는 테크닉은 다음과 같다.