대칭함수

1. 개요2. 정의3. 특수한 대칭함수

3.1. 홀함수3.2. 짝함수

4. 성질

4.1. 미적분

4.1.1. 정적분

4.2. 역함수

파일:디랙델타함수 시퀀스.svg

디랙 델타 함수를 정의하는 기반이 되는 함수들 중
$\boldsymbol{y}$ 축 대칭함수(짝함수)들의 예시

1. 개요[편집]

even and odd functions[1] · 對稱函數

함수의 개형이 대칭을 이루는 함수를 뜻한다. 크게 홀함수[2](Odd function)와 짝함수[3](Even function)로 나뉜다.

2. 정의[편집]

함수 $y=f(x)$ 가 정의역의 모든 $x$ 에 대하여
$f(-x)=f(x)$ 이면 짝함수(우함수),
$f(-x)=-f(x)$ 이면 홀함수(기함수)
이다.

정수

a

에 대해

y=x^a

인 함수를 멱함수라고 한다. 멱함수의 경우 함수가 짝함수인지 홀함수인지의 여부를 쉽게 알 수 있다.

y=x^2

또는

y=x^4

과 같이

a

가 짝수이면 짝함수이고,

y=\dfrac1x

또는

y=x^3

과 같이

a

가 홀수이면 홀함수이다.

홀함수는 다시

f(x)>f(-x)

인 함수와

f(x)<f(-x)

인 함수로 나뉜다. 아래는 이 둘의 예시이다.

파일:namu_erf(x)_그래프.png	파일:브링근호_그래프_NeW.png
$f(x)>f(-x)$	$f(x)<f(-x)$

3. 특수한 대칭함수[편집]

멱함수 이외에도, 고교 수학에서 배운 삼각함수 등을 포함한 매우 다양한 함수들이 대칭성을 가지고 있다.

3.1. 홀함수[편집]

3.2. 짝함수[편집]

4. 성질[편집]

f(-x)=f(x)

에서 점

(x,\,y)

가 그래프 위의 점이면 점

(-x,\,y)

도 그래프 위의 점이기 때문에 짝함수의 그래프는

y

축에 대하여 대칭이고,

f(-x)=-f(x)

에서 점

(x,\,y)

가 그래프 위의 점이면 점

(-x,\,-y)

도 그래프 위의 점이기 때문에 홀함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

수에서의 홀짝과는 특성이 다른데, 이는 다음과 같다.

홀함수×홀함수=짝함수, 홀함수÷홀함수=짝함수
홀함수×짝함수=홀함수, 홀함수÷짝함수=홀함수, 짝함수÷홀함수=홀함수
짝함수×짝함수=짝함수, 짝함수÷짝함수=짝함수

홀함수를

a

가 홀수인 멱함수에, 짝함수를

a

가 짝수인 멱함수에 대응시키면 지수법칙에 따라 위의 곱하기(×)가 홀수(*)짝수 연산의 더하기(+)에, 나누기(÷)가 홀수(*)짝수 연산의 빼기(-)에 대응하는 것이라 생각하면 이해하기 쉽다.

합성함수의 경우, 홀함수

\circ

짝함수이든 짝함수

\circ

홀함수이든 무조건 짝함수가 된다. 그런데, 홀함수끼리 합성하면 홀함수가 된다. 함수의 합성을 일종의 곱셈으로 이해하면, 짝수를 임의의 자연수에 곱하면 짝수가 되고, 홀수 곱하기 홀수는 홀수가 되는 점에 대응시켜보면 쉽게 이해할 수 있다.

정의역이

x=0

에 대해 좌우대칭인 임의의 함수를 아래와 같이 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}

4.1. 미적분[편집]

홀함수를 미분하면 짝함수가 되고, 짝함수를 미분하면 홀함수가 된다. 부정적분의 경우 홀함수를 적분하면 짝함수가 되지만, 반대로 짝함수를 적분하는 경우에는 적분상수의 존재 때문에 반드시 홀함수가 되리라는 보장이 없다. 단,

y

축 위의 한 점에 대하여

y

절편을

C

(

C

: 적분상수)로 갖는,

(0, C)

좌표에 점대칭인 그래프를 갖는다.

4.1.1. 정적분[편집]

대칭함수의 성질을 가장 잘 활용하는 곳은 다름 아닌 정적분인데, 이는 함수의 그래프가 대칭인 특성상 적분식이 간단해지기 때문이다.

적분구간

[-a,\,a]

(단,

a>0

)에 대해서 다음이 성립한다.

홀함수 : $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0$
짝함수 : $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_{-a}^0 f(x) \,\mathrm{d}x$

홀함수는 특성상 정적분 값은 0이 된다.[7][8] 그래서 정적분이 넓이를 구하기 위한 것이라면 절댓값을 취해 홀함수 부분은 0으로 날려버리고 짝함수 부분만 남긴 다음 위 대칭을 이용해 적분하면 편하다.

4.2. 역함수[편집]

홀함수의 역함수는 직선 $y=x$ 를 중심으로 선대칭을 한 홀함수가 된다.
짝함수의 역함수는 $x$ 축을 기준으로 선대칭을 이루는 음함수가 된다.

[1] Symmetric Function이라는 것도 있기는 하지만 이것은 각 변수의 자리를 바꿔도 성립하는 다변수함수라는 다른 뜻이다.[2] 과거엔 기함수(奇函數)[3] 과거엔 우함수(偶函數)[iπ] ^4.1 ^4.2 ^4.3

x < 0

범위에서는

i\pi

가 더해지므로 짝함수로 만드려면 실수부를 취해야 한다.[7] 그래서 홀함수의

(-\infty, \infty)

구간열 적분을 구하는 것은 거의 금기 수준이다.[8] 단, 디리클레 함수는 홀함수가 아님에도 대칭 정적분 값이 0이다.