Euler's triangle theorem 1765년
레온하르트 오일러 (Leonhard Euler, 1707-1783)가 발견한 삼각형의
외심 과
내심 혹은 외심과
방심 사이의 거리에 관한 공식이다.
한 삼각형의 외접원, 내접원, 방접원의 반지름을 각각
R R R ,
r r r ,
r ′ r' r ′ 이라 하면, 다음이 성립한다.
외심과 내심 사이의 거리:
R 2 − 2 R r \sqrt{R^{2}-2Rr} R 2 − 2 R r 외심과 방심 사이의 거리:
R 2 + 2 R r ′ \sqrt{R^{2}+2Rr'} R 2 + 2 R r ′
파일:namu_맨션정리_1_NEW_NEW.svg 그림과 같이 삼각형
A B C \rm ABC ABC 의 외심
O \rm O O , 내심
I \rm I I 이고, 직선
B I \rm BI BI 가 외접원과 만나는 점을
R \rm R R 이라고 하자.
내심의 성질에 의하여
∠ A B I = ∠ C B I = x \angle {\rm ABI}=\angle {\rm CBI}=x ∠ ABI = ∠ CBI = x ,
∠ B A I = ∠ C A I = y \angle {\rm BAI}=\angle {\rm CAI}=y ∠ BAI = ∠ CAI = y ,
∠ B C I = ∠ A C I = z \angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI}=z ∠ BCI = ∠ ACI = z 라 놓을 수 있다.
∠ C I R \angle{\rm CIR} ∠ CIR 은
∠ B I C \angle{\rm BIC} ∠ BIC 의 외각이므로
x + z x+z x + z ,
∠ A B R = ∠ A C R = x \angle{\rm ABR}=\angle{\rm ACR}=x ∠ ABR = ∠ ACR = x (호
A R \rm AR AR 에 대한 원주각) 따라서 삼각형
R I C \rm RIC RIC 에서
∠ R I C = ∠ R C I = x + z \angle{\rm RIC}=\angle{\rm RCI}=x+z ∠ RIC = ∠ RCI = x + z 즉, 삼각형
R I C \rm RIC RIC 은
I R ‾ = R C ‾ \overline{\rm IR}=\overline{\rm RC} IR = RC 인
이등변삼각형 이다. 동일한 방법으로 삼각형
R A I \rm RAI RAI 는
I R ‾ = A R ‾ \overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} IR = AR 인 이등변삼각형임을 증명할 수 있다.
∴ R C ‾ = I R ‾ = A R ‾ \displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned} ∴ RC = IR = AR 이 결과는 내심과 삼각형의 두 꼭짓점을 연결한 삼각형의 외심이 두 꼭짓점을 제외한 한 꼭짓점과 내심을 연결하는 직선이 외접원과 만나는 점에 있음을 알려준다.
파일:namu_맨션정리_2_NEW.svg 방심과 내심의 성질에 의하여 두 점은
∠ B \angle \rm B ∠ B 의 이등분선 위에 있으므로 그림과 같이 위 과정에서 선분
B I \rm BI BI 을 연장하여
B \rm B B 에 대한 방심
O ′ \rm O' O ′ 와 만나도록 하자. 위에서 다뤘던 맨션 정리에서
R C ‾ = I R ‾ = A R ‾ \displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned} RC = IR = AR 이고, 내심과 방심의 성질에 의하여
∠ B C I = ∠ A C I \angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI} ∠ BCI = ∠ ACI ,
∠ A C O ′ = ∠ H C O ′ \angle {\rm ACO'}=\angle {\rm HCO'} ∠ AC O ′ = ∠ HC O ′ 이므로
∠ I C O ′ = 90 ∘ \angle {\rm ICO'}=90^{\circ} ∠ IC O ′ = 9 0 ∘ 이다. 따라서 삼각형
I C O ′ \rm ICO' IC O ′ 은
직각삼각형 이고,
R C ‾ = I R ‾ \displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR} RC = IR 이므로 점
R \rm R R 은 해당 삼각형의 외심이며, 결과적으로
R C ‾ = I R ‾ = O ′ R ‾ \displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm O'R} RC = IR = O ′ R 이다.
∴ R C ‾ = I R ‾ = A R ‾ = O ′ R ‾ \displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}=\overline{\rm O'R} \end{aligned} ∴ RC = IR = AR = O ′ R 파일:namu_오일러_삼각형_정리_1.svg 그림과 같이 삼각형
A B C \rm ABC ABC 의 외심과 내심을 각각
O \rm O O ,
I \rm I I 라하고, 외접원과 내접원의 반지름은 각각
R R R ,
r r r , 직선
I O \rm IO IO 가 외접원과 만나는 두 점을
P \rm P P ,
Q \rm Q Q , 직선
B I \rm BI BI 가 외접원과 만나는 점을
R \rm R R ,
O I ‾ = d \overline{\rm OI}=d OI = d 라 하자.
방멱 정리 에 의하여
B I ‾ ⋅ I R ‾ = P I ‾ ⋅ I Q ‾ = ( R + d ) ( R − d ) = R 2 − d 2 \displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}&=\overline{\rm PI} \cdot \overline{\rm IQ} \\&=(R+d)(R-d) \\&=R^{2}-d^{2} \end{aligned} BI ⋅ IR = PI ⋅ IQ = ( R + d ) ( R − d ) = R 2 − d 2 한편, 맨션 정리에 의하여
I R ‾ = A R ‾ \overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} IR = AR , 내심의 성질에 따라
∠ I B C = ∠ A B I \angle{\rm IBC}=\angle{\rm ABI} ∠ IBC = ∠ ABI ,
∠ A B I = ∠ A S R \angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR} ∠ ABI = ∠ ASR (호
A R \rm AR AR 에 대한
원주각 )이다. 점
I \rm I I 에서 변
B C \rm BC BC 에 내린 수선의 발을
H \rm H H 라 하면
∠ R A S = 90 ∘ \angle{\rm RAS}=90^{\circ} ∠ RAS = 9 0 ∘ (지름에 대한 원주각),
∠ I H B = 90 ∘ \angle{\rm IHB}=90^{\circ} ∠ IHB = 9 0 ∘ ,
∠ A B I = ∠ A S R \angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR} ∠ ABI = ∠ ASR 이므로
△ R S A ∼ △ I B H \triangle{\rm RSA} \sim \triangle{\rm IBH} △ RSA ∼ △ IBH (
A A \rm AA AA 닮음)이다.
A R ‾ : S R ‾ = I R ‾ : S R ‾ = I H ‾ : B I ‾ ⇔ B I ‾ ⋅ I R ‾ = S R ‾ ⋅ I H ‾ \displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IH} : \overline{\rm BI} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}=\overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH} \end{aligned} AR : SR = IR : SR = IH : BI ⇔ BI ⋅ IR = SR ⋅ IH
S R ‾ = 2 R \overline{\rm SR}=2R SR = 2 R ,
I H ‾ = r \overline{\rm IH}=r IH = r 임을 이용하면,
S R ‾ ⋅ I H ‾ = 2 R r \overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH}=2Rr SR ⋅ IH = 2 R r ∴ R 2 − d 2 = 2 R r ⇒ d = R 2 − 2 R r \displaystyle \therefore R^{2}-d^{2}=2Rr \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2-2Rr} ∴ R 2 − d 2 = 2 R r ⇒ d = R 2 − 2 R r 결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
1 R − d + 1 R + d = 1 r \displaystyle \frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r} R − d 1 + R + d 1 = r 1 두 점 간의 거리는 음일 수 없으므로,
d = R 2 − 2 R r = R ( R − 2 r ) \displaystyle d=\sqrt{R^2-2Rr}=\sqrt{R(R-2r)} d = R 2 − 2 R r = R ( R − 2 r ) 에 의하여 모든 삼각형에서
R ≥ 2 r R \geq 2r R ≥ 2 r 이 성립한다. 단, 등호는
정삼각형 일 때에 성립한다.
이상의 결과에서 음수에 대한 방멱을 허용한다면, 외접원에 대한 내심의 방멱은
− 2 R r -2Rr − 2 R r 이라고 표현할 수 있다.
파일:namu_오일러_삼각형_정리_2.svg 그림과 같이 삼각형
A B C \rm ABC ABC 의 외심과 방심을 각각
O \rm O O ,
O ′ \rm O' O ′ 라하고, 외접원과 방접원의 반지름은 각각
R R R ,
r ′ r' r ′ , 직선
O O ′ \rm OO' O O ′ 가 외접원과 만나는 두 점을
P \rm P P ,
Q \rm Q Q , 직선
B O ′ \rm BO' B O ′ 이 외접원과 만나는 점을
R \rm R R ,
O O ′ ‾ = d \overline{\rm OO'}=d O O ′ = d 라 하자.
방멱 정리 에 의하여
O ′ R ‾ ⋅ O ′ B ‾ = O ′ Q ‾ ⋅ O ′ P ‾ = ( d − R ) ( d + R ) = d 2 − R 2 \displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}&=\overline{\rm O'Q} \cdot \overline{\rm O'P} \\&=(d-R)(d+R) \\&=d^{2}-R^{2} \end{aligned} O ′ R ⋅ O ′ B = O ′ Q ⋅ O ′ P = ( d − R ) ( d + R ) = d 2 − R 2 위에서 다뤘던 맨션 정리에 의하여
O ′ R ‾ = R C ‾ \overline{\rm O'R}=\overline{\rm RC} O ′ R = RC , 점
O ′ \rm O' O ′ 에서 변
B C \rm BC BC 의 연장선 상에 내린 수선의 발을
H \rm H H 라 하면
∠ O ′ H B = 90 ∘ \angle{\rm O'HB}=90^{\circ} ∠ O ′ HB = 9 0 ∘ ,
∠ S R C = 90 ∘ \angle{\rm SRC}=90^{\circ} ∠ SRC = 9 0 ∘ (지름에 대한 원주각),
∠ O ′ B C = ∠ R S C \angle{\rm O'BC}=\angle{\rm RSC} ∠ O ′ BC = ∠ RSC (호
R C \rm RC RC 에 대한
원주각 )이므로
△ O ′ B H ∼ △ C S R \triangle{\rm O'BH} \sim \triangle{\rm CSR} △ O ′ BH ∼ △ CSR (
A A \rm AA AA 닮음)이다.
O ′ H ‾ : O ′ B ‾ = R C ‾ : S C ‾ = O ′ R ‾ : S C ‾ ⇔ O ′ R ‾ ⋅ O ′ B ‾ = O ′ H ‾ ⋅ S C ‾ \displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'H} : \overline{\rm O'B} =\overline{\rm RC} : \overline{\rm SC} =\overline{\rm O'R} : \overline{\rm SC} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}=\overline{\rm O'H} \cdot \overline{\rm SC} \end{aligned} O ′ H : O ′ B = RC : SC = O ′ R : SC ⇔ O ′ R ⋅ O ′ B = O ′ H ⋅ SC
S C ‾ = 2 R \overline{\rm SC}=2R SC = 2 R ,
O ′ H ‾ = r ′ \overline{\rm O'H}=r' O ′ H = r ′ 임을 이용하면,
S R ‾ ⋅ I H ‾ = 2 R r \overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH}=2Rr SR ⋅ IH = 2 R r ∴ d 2 − R 2 = 2 R r ′ ⇒ d = R 2 + 2 R r ′ \displaystyle \therefore d^{2}-R^{2}=2Rr' \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2+2Rr'} ∴ d 2 − R 2 = 2 R r ′ ⇒ d = R 2 + 2 R r ′ 결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
1 d − R − 1 d + R = 1 r ′ \displaystyle \frac{1}{d-R}-\frac{1}{d+R}=\frac{1}{r'} d − R 1 − d + R 1 = r ′ 1 이상의 결과에서 외접원에 대한 방심의 방멱은
2 R r ′ 2Rr' 2 R r ′ 이라고 표현할 수 있다.
