오심과 관련된 정리

오심과 관련된 여러 정리들과 더불어 올림피아드에 나오는 정리들을 기재하는 문서이다.

모든 정리의 기호는 삼각형

\triangle ABC

의 외심

O

, 내심

I

, 무게중심

G

, 수심

H

, 방심

I_{A}

를 따른다.

a=\overline{BC}

,

b=\overline{CA}

,

c=\overline{AB}

으로 두고,

S

,

r

,

R

,

r_{A}

,

s

를 각각 도형의 면적, 내접원의 반지름, 외접원의 반지름, 방접원

I_{A}

의 반지름, 삼각형의 둘레의 반(

={1 \over 2}(a+b+c)

)이라 하자.

세르보어 정리
$O$ 에서 변 $\overline{BC}$ 에 내린 수선의 발을 $M$ 라 할 때, $\overline{AH}=2\overline{OM}$ 이다. 증명은 외심 참고.
등각켤레
$\angle BAO=\angle CAH$
수선의 발과 공원점
$A$ , $B$ 에서 변 $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $D$ , $E$ 라 할 때, $\left(A,B,D,E\right)$ 와 $\left(C,E,H,D\right)$ 는 공원점이다.
각각 점 $A$ , $B$ , $C$ 를 지나고, 한 점에서 만나는 세 직선을 그리자. 이 직선들의 교점을 $X$ 라 하자. $X$ 에서 각 변에 내린 수선의 발을 $D$ , $E$ , $F$ 라 할 때, $\overline{XD}+\overline{XE}+\overline{XF}$ 가 최소인 점 $X$ 는 $H$ 다.
$\triangle ABC$ 의 수족 삼각형의 내심은 $H$ 다.
$A$ , $I$ , $I_{A}$ 는 한 직선 위에 있다.
$\triangle ABC$ 의 방심들이 이루는 삼각형의 수심은 $I$ 다. (삼각형의 내심과 방심은 수심조이다.)
( $A$ , $B$ , $I_{A}$ , $I_{B}$ )는 한 원 위에 있다.
맨션 정리
삼각형 $\triangle ABC$ 의 외접원 $K$ 와 반직선 $\overline{AI}$ 의 교점을 $D$ 라 하자. 이 때 $\overline{DB}=\overline{DC}=\overline{DI}=\overline{D{I_{A}}}$ 다.
반직선 $\overrightarrow{AI}$ 와 변 $\overline{BC}$ 의 교점을 $K$ 라 하면, $\overline{AI}/\overline{KI}=\left(b+c\right)/a$ 이다.
삼각형 내부의 점 $P$ 에서 $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $D$ , $E$ , $F$ 라 하면 $\overline{BC}/\overline{PD} + \overline{CA}/\overline{PE}+\overline{AB}/\overline{PF}$ 의 값이 최소인 점 $P$ 는 $I$ 이다.
$S=\displaystyle {abc \over 4R}=2R^2 \sin A \sin B \sin C={a^2 \sin B \sin C \over 2 \sin A}$ (사인법칙의 활용)
$S=\displaystyle {1 \over 2} (a+b+c)r =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
삼각형 내부의 점 $P$ 에서 $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $D$ , $E$ , $F$ 라 하면, $\overline{PD}\cdot\overline{PE}\cdot\overline{PF}$ 가 최댓값인 점 $P$ 는 $G$ 이다.
이 때 $S\left(\triangle ABC\right)=r_{A}\left(b+c-a\right)/2$
$\overline{OI}^2=R^2-2Rr$ (오일러 삼각형 정리)

라이프니츠 정리
$P$ 가 삼각형 $ABC$ 와 같은 평면 위의 임의의 한 점일 때, 다음 정리가 성립한다.
1. $\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 + \overline{CP}^2 = \overline{AG}^2 + \overline{BG}^2 + \overline{CG}^2 + 3\overline{PG}^2$
2. $\overline{GA}^2 + \overline{GB}^2 + \overline{GC}^2 = \left(\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\right)/3$
오일러 직선
$O$ , $G$ , 구점원의 중심 $V$ , $H$ 가 공선점(일직선)이다.
$\overline{OG} : \overline{GV} : \overline{VH} = 2 : 1 : 3$ 이다.
삼각형의 면적은 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형 면적의 등비중항이다.
삼각형의 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형의 오일러 직선이 일치한다.
삼각형 $\triangle ABC$ 의 임의의 점 $P$ 에서 내린 수선의 발을 각각 $D$ , $E$ , $F$ 라 할 때, $S\left(\triangle DEF\right)/S\left(\triangle ABC\right) =\frac{\left|R^2 - OI^2\right|}{4R^{2}}$ 이다.

- 그밖에도 나겔 정리, 제르곤 정리, 페르마 포인트 관련 문제 등이 있다.

포이어바흐 정리
구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다. (증명은 반전기하(inversion)을 사용한다.)
Mixtilinear Circle
1. 삼각형 $\triangle ABC$ 의 외접원과 두 변 $\overline{AB}$ , $\overline{AC}$ 와 접하는 원 $Q$ 를 잡자. $Q$ 와 $\overline{AB}$ , $\overline{AC}$ 의 교점을 각각 $M$ , $N$ 이라 하면, $\overline{MN}$ 의 중점은 $I$ 이다.
오심을 지나는 직선이 두 선분을 자르는 비율과 관련된 정리
주어진 $\triangle ABC$ 와 오심 중 하나인 점 $P$ 가 있다. 이 때, 임의의 $P$ 를 지나고, 반직선 $AB$ , 반직선 $AC$ 와 둘 다 만나는 직선이 반직선 $AB$ , $AC$ 와 만나는 점을 각각 $M$ , $N$ 이라 할 때, $\overline{AM}$ 의 길이와 $\overline{AN}$ 의 길이의 관계식은 다음과 같다.
1. $P$ 가 내심일 때: $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = \sin A + \sin B + \sin C$ .
2. $P$ 가 외심일 때: $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin 2B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin 2C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ .
3. $P$ 가 수심일 때: $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \tan B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \tan C = \tan A + \tan B + \tan C$ .
4. $P$ 가 직선 $BC$ 에 대하여 점 $A$ 와 다른 방향에 있는 방심일 때: $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = -\sin A + \sin B + \sin C$ .
5. $P$ 가 무게중심일 때: $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} = 3$ .

- 그 밖에 올림피아드에 쓰이는 정리들에는 미쿠엘 포인트[1], Pole & Polar (극, 극선), 근축 & 근심[2], isogonal line - conjugate & Symmedian(대칭중선), 메넬라우스 & 체바 응용, 파푸스 정리[3], 파스칼 정리, 브리앙숀 정리, 데자르그 정리, Monge's Theorem 등이 있다. 특히 비조화비에 관련된 것으로는 조화점열(Harmonic point), 조화사각형, 아폴로니우스의 원이 있다.

오심과 관련된 정리

1. 개요[편집]

2. 기본적인 정리[편집]

3. 보통 정리[편집]

4. 심화 정리[편집]