멱함수의 일종으로, 두 변수가 있을 때 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다. 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 [math(1 over 2)]배, [math(1 over 3)]배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.

식으로 나타내자면 [math(a)]가 상수일 때 [math(y=ax)]를 만족시키는 경우 두 변수 [math(x, y)]는 정비례 관계에 있고, [math(displaystyle y=frac{a}{x}=ax^{-1})]를 만족시키는 경우 [math(x, y)]는 반비례 관계에 있다. 간혹 분수만 나오면 무조건 반비례라고 써버리는 사람도 있는데, 분모가 비례상수일 경우는 정비례다. 다시 말해, 비례상수 그 자체는 비례·반비례 여부에 아무 영향을 주지 않는다. 예를 들어 [math(displaystyle y=frac{x}{2}={1 over 2}{x})]는 비례 관계이다. 단, 하나의 예외로 비례상수가 0일 경우 비례·반비례 관계가 무너진다.[1]]

두 변수 [math(x, y)]가 정비례한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=fleft(xright))]를 만족시킨다는 뜻이다.

이 정의를 이용해 정비례하는 함수 [math(f)]를 묘사하는 식을 구할 수 있다. [math(xneq 0)]일 때, [math(displaystyle gleft(xright)=frac{fleft(xright)}{x})]라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(gleft(kxright)=gleft(xright))]가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 [math(x)]에 대해서 [math(gleft(xright))]는 일정한 값을 갖는다. 그 값을 상수 [math(a)]라 하자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math(x)]에 대해서 [math(fleft(xright)=ax)]를 만족시킨다. 그런데 정의에 의해 [math(fleft(0right)=0)]이다. 따라서 임의의 [math(x)]에 대해 [math(fleft(xright)=ax)]이다. 즉 정비례 관계의 함수는 일차함수이다.

비례관계의 정의는 역함수를 정의할 때 사용되기도 한다. 가령 지수함수를 [math(fleft(xright)=x)]에 대칭시키면 로그함수가 튀어나온다.

두 변수 [math(x, y)]가 반비례한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=fleft(xright))]를 만족시킨다는 뜻이다.

즉, 반비례 함수는 분수함수이다.

이때, 반비례 함수를 부정적분하면 자연로그가 나오며[2]], 1에서 자연로그의 밑 [math(e)]까지 정적분을 하면 1이 나온다.

반비례 함수의 그래프는 쌍곡선이다. 이 식을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다.

반비례 관계의 항 중 분모가 자연수인 항을 모조리 더한 것을 '조화급수'라고 하며 여기서 자연로그를 뺀 부분을 모두 더하면 오일러-마스케로니 상수를 구할 수 있다.

비례하는 함수 [math(y=kx)]([math(k)]는 상수)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(y propto x)]

순서를 바꾸어 [math(x propto y)]와 같이 쓸 수도 있다.

마찬가지로 반비례하는 함수 [math(y=dfrac{k}{x})]([math(k)]는 상수)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(y propto dfrac{1}{x})]