1. 개요
평면 상의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합
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2. 상세
2.1. 쌍곡선의 방정식
아래는 하위 문단의 내용을 요약한 표이다.
- 초점이 [math(boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우: [math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
- 조건: [math(|overline{mathrm{FP}}-overline{mathrm{F'P}}|=textsf{const.})]
- 초점의 좌표: [math(mathrm{F}( sqrt{a^{2}+b^{2}},,0) )], [math(mathrm{F'}( -sqrt{a^{2}+b^{2}},,0) )]
- 주축의 길이: [math(displaystyle 2a )]
- 점근선: [math(displaystyle y=pm frac{b}{a} x)]
- 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(displaystyle frac{xx_{1}}{a^{2}}-frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
- 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(displaystyle frac{xx_{1}}{a^{2}}-frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
- 초점이 [math(boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우: [math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )]
- 조건: [math(|overline{mathrm{FP}}-overline{mathrm{PF'}}|=textsf{const.})]
- 초점의 좌표: [math(mathrm{F}( 0,,sqrt{a^{2}+b^{2}}) )], [math(mathrm{F'}( 0,,-sqrt{a^{2}+b^{2}}) )]
- 주축의 길이: [math(displaystyle 2b )]
- 점근선: [math(displaystyle y=pm frac{b}{a} x)]
- 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(displaystyle frac{xx_{1}}{a^{2}}-frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )]
- 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(displaystyle y=mx pm sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}} )]
2.1.1. 유도
[1] 초점이 [math(boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
파일:나무_쌍곡선_1.png
그림과 같이 꼭짓점이 [math(mathrm{A}(a,,0))], [math(mathrm{A'}(-a,,0))]이고, 초점이 [math(mathrm{F}(c,,0))], [math(mathrm{F'}(-c,,0))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |overline{mathrm{FP}}-overline{mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(mathrm{P})]가 [math(mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 [math(overline{mathrm{AA'}}=2a)]여야 함을 알 수 있다.(참고로 [math(overline{mathrm{AA'}})]를 주축의 길이라 한다.) 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle (sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})^{2}=4a^{2} )]
이것을 정리하면,
[math(displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}=2sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} )]
이것을 다시 제곱하고, 정리하면,
[math(displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) )]
이때, [math(b^{2} equiv c^{2}-a^{2})]이라 놓고, 식을 정리함으로써 쌍곡선의 방정식을 얻는다:
[math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
그런데, 우리는 이 방정식을 양함수 형태로 아래와 같이 고칠 수 있고,
[math(displaystyle y=pm frac{b}{a} xsqrt{1-frac{a^{2}}{x^{2} }} )]
이때, [math(x^{2} to infty)]일 때, 근호는 1에 한없이 가까워지고, 결국 쌍곡선은 어떠한 직선
[math(displaystyle y=pm frac{b}{a} x)]
에 가까워지는데, 이 직선을 쌍곡선의 점근선이라 한다.
[2] 초점이 [math(boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
파일:나무_쌍곡선_2.png
그림과 같이 꼭짓점이 [math(mathrm{A}(0,,b))], [math(mathrm{A'}(0,,-b))]이고, 초점이 [math(mathrm{F}(0,,c))], [math(mathrm{F'}(0,,-c))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |overline{mathrm{FP}}-overline{mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(mathrm{P})]가 [math(mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 주축의 길이인 [math(overline{mathrm{AA'}}=2b)]여야 함을 알 수 있다. 따라서 위에서 다뤘던 논법과 유사하게 쌍곡선의 방정식을 유도할 수 있으며, 여기선 결과만을 적는다:
[math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )]
단, [math(a^{2}=c^{2}-b^{2})]이다. 또한 이 경우 또한, 점근선이
[math(displaystyle y=pm frac{b}{a} x)]
임을 위와 같은 논법으로 증명할 수 있다.
파일:나무_쌍곡선_1.png
그림과 같이 꼭짓점이 [math(mathrm{A}(a,,0))], [math(mathrm{A'}(-a,,0))]이고, 초점이 [math(mathrm{F}(c,,0))], [math(mathrm{F'}(-c,,0))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |overline{mathrm{FP}}-overline{mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(mathrm{P})]가 [math(mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 [math(overline{mathrm{AA'}}=2a)]여야 함을 알 수 있다.(참고로 [math(overline{mathrm{AA'}})]를 주축의 길이라 한다.) 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle (sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})^{2}=4a^{2} )]
이것을 정리하면,
[math(displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}=2sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} )]
이것을 다시 제곱하고, 정리하면,
[math(displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) )]
이때, [math(b^{2} equiv c^{2}-a^{2})]이라 놓고, 식을 정리함으로써 쌍곡선의 방정식을 얻는다:
[math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
그런데, 우리는 이 방정식을 양함수 형태로 아래와 같이 고칠 수 있고,
[math(displaystyle y=pm frac{b}{a} xsqrt{1-frac{a^{2}}{x^{2} }} )]
이때, [math(x^{2} to infty)]일 때, 근호는 1에 한없이 가까워지고, 결국 쌍곡선은 어떠한 직선
[math(displaystyle y=pm frac{b}{a} x)]
에 가까워지는데, 이 직선을 쌍곡선의 점근선이라 한다.
[2] 초점이 [math(boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
파일:나무_쌍곡선_2.png
그림과 같이 꼭짓점이 [math(mathrm{A}(0,,b))], [math(mathrm{A'}(0,,-b))]이고, 초점이 [math(mathrm{F}(0,,c))], [math(mathrm{F'}(0,,-c))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |overline{mathrm{FP}}-overline{mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(mathrm{P})]가 [math(mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 주축의 길이인 [math(overline{mathrm{AA'}}=2b)]여야 함을 알 수 있다. 따라서 위에서 다뤘던 논법과 유사하게 쌍곡선의 방정식을 유도할 수 있으며, 여기선 결과만을 적는다:
[math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )]
단, [math(a^{2}=c^{2}-b^{2})]이다. 또한 이 경우 또한, 점근선이
[math(displaystyle y=pm frac{b}{a} x)]
임을 위와 같은 논법으로 증명할 수 있다.
2.1.2. 일반형
쌍곡선 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.
[math(displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 quad )] (단, [math(AB<0)])
이때, [math(A sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형 꼴로 바꾸면, 쉽게 어떤 쌍곡선을 나타내는 방정식인지 알 수 있게 된다. 괄호 안은 [math(x^2)]항과 [math(y^2)]의 계수의 부호가 반대임을 의미한다.
[math(displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 quad )] (단, [math(AB<0)])
이때, [math(A sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형 꼴로 바꾸면, 쉽게 어떤 쌍곡선을 나타내는 방정식인지 알 수 있게 된다. 괄호 안은 [math(x^2)]항과 [math(y^2)]의 계수의 부호가 반대임을 의미한다.
2.2. 반비례 관계의 그래프와의 관계
반비례 관계의 그래프 [math(y=ax^{-1})]을 고려해보자. 여기서 [math(a)]는 상수이다. 이 함수는 [math(pi/4)][2]]만큼의 회전변환을 통하여 위의 쌍곡선의 표준형으로 나타낼 수 있다.
[math(pi/4)]만큼의 회전변환을 기술하는 행렬은
[math( begin{aligned} begin{bmatrix} cos{dfrac{pi}{4}} & -sin{dfrac{pi}{4}} \ \ sin{dfrac{pi}{4}} & cos{dfrac{pi}{4}} end{bmatrix} =dfrac{1}{sqrt{2}}begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix} end{aligned} )]
이 변환에 의해 점 [math((x,,y) to (x',,y'))]으로 옮겨진다고 하자. 그러면,
[math( begin{aligned} begin{bmatrix} x' \ y' end{bmatrix}=dfrac{1}{sqrt{2}}begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} end{aligned} )]
로 쓸 수 있고, 여기서
[math( begin{aligned} x'&=dfrac{1}{sqrt{2}}(x - y) \ y'&=dfrac{1}{sqrt{2}}(x + y) end{aligned} )]
이때, 각각을 제곱하고 그 차를 구함으로써 다음을 얻는다.
[math( x'^2-y'^2=-2xy )]
우리가 다루는 함수가 [math(y=ax^{-1})]임을 상기하면,
[math( x'^2-y'^2=-2a )]
이것을 정리하면,
[math( dfrac{x'^2}{2a}-dfrac{y'^{2}}{2a}=-1 )]
으로 이것은 명백히 초점이 [math( mathrm{F}(0,,2sqrt{a}) )], [math( mathrm{F'}(0,,-2sqrt{a}) )]에 있는 쌍곡선을 기술하는 방정식임을 알 수 있다.
이번엔 두 곡선이 교점[math((x_0, y_0))]에서 어떻게 접하는지 알아보자. 두 곡선의 기울기를 각각 [math(m_1, m_2)]라고 하자. 쌍곡선 함수를 음함수의 미분을 통해 접선의 기울기를 구하면 아래와 같다.
[math( begin{aligned} dfrac{2x}{2a}-dfrac{2y}{2a}dfrac{dy}{dx}=0 \ therefore m_1=dfrac{dy}{dx}=dfrac{x}{y} end{aligned} )]
반비례 관계 함수를 같은 방법으로 미분하면
[math( begin{aligned} m_2=dfrac{dy}{dx} = -dfrac{a}{x^2} end{aligned} )]
이제 교점에서 이 둘을 곱하면 아래와 같다.
[math( begin{aligned} m_1m_2=-dfrac{a}{x_0^2}dfrac{x_0}{y_0}=-dfrac{a}{x_0y_0} end{aligned} )]
이때, 점[math((x_0, y_0))]은 두 곡선의 교점이므로 반비례 그래프 위의 점으로 볼 수 있다. 따라서 [math(x_0y_0=a)]이므로, 교점에서 두 기울기의 곱은 -1이다. 즉 교점에서 두 곡선은 직교한다.
따라서 반비례 관계의 그래프는 쌍곡선을 회전변환 시킨 곡선으로 쌍곡선의 한 종류이며, 회전하기 전의 쌍곡선과 회전한 후의 쌍곡선은 교점에서 직교한다.
[math(pi/4)]만큼의 회전변환을 기술하는 행렬은
[math( begin{aligned} begin{bmatrix} cos{dfrac{pi}{4}} & -sin{dfrac{pi}{4}} \ \ sin{dfrac{pi}{4}} & cos{dfrac{pi}{4}} end{bmatrix} =dfrac{1}{sqrt{2}}begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix} end{aligned} )]
이 변환에 의해 점 [math((x,,y) to (x',,y'))]으로 옮겨진다고 하자. 그러면,
[math( begin{aligned} begin{bmatrix} x' \ y' end{bmatrix}=dfrac{1}{sqrt{2}}begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} end{aligned} )]
로 쓸 수 있고, 여기서
[math( begin{aligned} x'&=dfrac{1}{sqrt{2}}(x - y) \ y'&=dfrac{1}{sqrt{2}}(x + y) end{aligned} )]
이때, 각각을 제곱하고 그 차를 구함으로써 다음을 얻는다.
[math( x'^2-y'^2=-2xy )]
우리가 다루는 함수가 [math(y=ax^{-1})]임을 상기하면,
[math( x'^2-y'^2=-2a )]
이것을 정리하면,
[math( dfrac{x'^2}{2a}-dfrac{y'^{2}}{2a}=-1 )]
으로 이것은 명백히 초점이 [math( mathrm{F}(0,,2sqrt{a}) )], [math( mathrm{F'}(0,,-2sqrt{a}) )]에 있는 쌍곡선을 기술하는 방정식임을 알 수 있다.
이번엔 두 곡선이 교점[math((x_0, y_0))]에서 어떻게 접하는지 알아보자. 두 곡선의 기울기를 각각 [math(m_1, m_2)]라고 하자. 쌍곡선 함수를 음함수의 미분을 통해 접선의 기울기를 구하면 아래와 같다.
[math( begin{aligned} dfrac{2x}{2a}-dfrac{2y}{2a}dfrac{dy}{dx}=0 \ therefore m_1=dfrac{dy}{dx}=dfrac{x}{y} end{aligned} )]
반비례 관계 함수를 같은 방법으로 미분하면
[math( begin{aligned} m_2=dfrac{dy}{dx} = -dfrac{a}{x^2} end{aligned} )]
이제 교점에서 이 둘을 곱하면 아래와 같다.
[math( begin{aligned} m_1m_2=-dfrac{a}{x_0^2}dfrac{x_0}{y_0}=-dfrac{a}{x_0y_0} end{aligned} )]
이때, 점[math((x_0, y_0))]은 두 곡선의 교점이므로 반비례 그래프 위의 점으로 볼 수 있다. 따라서 [math(x_0y_0=a)]이므로, 교점에서 두 기울기의 곱은 -1이다. 즉 교점에서 두 곡선은 직교한다.
따라서 반비례 관계의 그래프는 쌍곡선을 회전변환 시킨 곡선으로 쌍곡선의 한 종류이며, 회전하기 전의 쌍곡선과 회전한 후의 쌍곡선은 교점에서 직교한다.
2.3. 쌍곡선과 직선
2.3.1. 쌍곡선과 직선의 위치 관계
우리는 임의의 직선
[math(displaystyle y-mx-n=0 )]
이 쌍곡선과 어떤 관계에 있는지 조사한다. 이것은 다음의 순서를 따른다.
[math(displaystyle y-mx-n=0 )]
이 쌍곡선과 어떤 관계에 있는지 조사한다. 이것은 다음의 순서를 따른다.
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3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다:
- 판별식의 부호가 양이다 : 쌍곡선과 직선은 두 점에서 만난다.
- 판별식이 0이다 : 쌍곡선과 직선은 접한다.(즉, 쌍곡선과 직선은 한 점에서 만난다.)
- 판별식의 부호가 음이다 : 쌍곡선과 직선은 만나지 않는다.
2.3.2. 쌍곡선의 접선
2.3.2.1. 쌍곡선 위의 점에서의 접선
이 문단에서는 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},,y_{1}))]에서 접선의 방정식을 구해볼 것이다.
[1] 초점이 [math(boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
우선 우리는 음함수의 미분법을 이용하여, 접선의 기울기를 구하자:
[math(displaystyle frac{2x}{a^{2}}-frac{2y}{b^{2}} frac{dy}{dx} =0 ,to, frac{dy}{dx}=frac{b^{2}x}{a^{2}y} )]
이상에서 해당 점 위의 접선의 방정식은
[math(displaystyle y-y_{1}=frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1}) )]
위 식을 정리하면, 다음의 접선의 방정식이 얻어진다:
[math(displaystyle frac{xx_{1}}{a^{2}}-frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
[2] 초점이 [math(boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
위와 같은 방법으로 우리는 접선의 방정식이
[math(displaystyle frac{xx_{1}}{a^{2}}-frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )]
임을 증명할 수 있다.
[1] 초점이 [math(boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
우선 우리는 음함수의 미분법을 이용하여, 접선의 기울기를 구하자:
[math(displaystyle frac{2x}{a^{2}}-frac{2y}{b^{2}} frac{dy}{dx} =0 ,to, frac{dy}{dx}=frac{b^{2}x}{a^{2}y} )]
이상에서 해당 점 위의 접선의 방정식은
[math(displaystyle y-y_{1}=frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1}) )]
위 식을 정리하면, 다음의 접선의 방정식이 얻어진다:
[math(displaystyle frac{xx_{1}}{a^{2}}-frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
[2] 초점이 [math(boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
위와 같은 방법으로 우리는 접선의 방정식이
[math(displaystyle frac{xx_{1}}{a^{2}}-frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )]
임을 증명할 수 있다.
2.3.2.2. 특정한 기울기의 접선
우리가 구하는 직선의 방정식을 [math(y=mx+n)]으로 놓자. 그리고, 이것을 쌍곡선 방정식에 대입하고, [math(x)]에 대한 이차 방정식을 만든다. 그 후, 해당 이차 방정식이 중근을 갖으면, 즉, 판별식이 0이 되면 직선과 쌍곡선은 접하므로 그것을 이용하면 된다.
[1] 초점이 [math(boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
[math(displaystyle n=pm sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다:
[math(displaystyle y=mx pm sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]
[2] 초점이 [math(boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
[math(displaystyle n=pm sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다:
[math(displaystyle y=mx pm sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]
[1] 초점이 [math(boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
[math(displaystyle n=pm sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다:
[math(displaystyle y=mx pm sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]
[2] 초점이 [math(boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
[math(displaystyle n=pm sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다:
[math(displaystyle y=mx pm sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]
3. 기타 성질
4. 기타
- 물리학에서, 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면, 쌍곡선 운동을 하게 된다.
- 쌍곡선 함수가 이 쌍곡선과 관련되어 있다.
- 특수 상대성 이론에서 쌍곡선 기하학이 사용된다.
4.1. 비유적 표현
서로 만나지 않으면서 가까운 곳에서 출발해 멀어지는 쌍곡선의 특징에 착안해 '○○의 쌍곡선'과 같이 비유적 표현에 종종 사용된다. 대표적으로 '희비쌍곡선'이란 표현이 있다. 비슷한 시간이나 장소에서 발생/존재하지만 전혀 다른 방향으로 진행하는 속성을 가진 것을 비유한다.