[목차] == 개요 == [[멱함수]]의 일종으로, 두 변수가 있을 때 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다. 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 [math(1 \over 2)]배, [math(1 \over 3)]배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다. 식으로 나타내자면 [math(a)]가 상수일 때 [math(y=ax)]를 만족시키는 경우 두 변수 [math(x, y)]는 정비례 관계에 있고, [math(\displaystyle y=\frac{a}{x}=ax^{-1})]를 만족시키는 경우 [math(x, y)]는 반비례 관계에 있다. 간혹 분수만 나오면 무조건 반비례라고 써버리는 사람도 있는데, 분모가 비례상수일 경우는 정비례다. 다시 말해, 비례상수 그 자체는 비례·반비례 여부에 아무 영향을 주지 않는다. 예를 들어 [math(\displaystyle y=\frac{x}{2}={1 \over 2}{x})]는 비례 관계이다. 단, 하나의 예외로 비례상수가 [[0]]일 경우 비례·반비례 관계가 무너진다.[* [math(0x = \dfrac{0}{x} = 0)]] == 정의 == === 정비례 === 두 변수 [math(x, y)]가 '''정비례'''한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다. >임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(f\left(kx\right)=kf\left(x\right))] 이 정의를 이용해 정비례하는 함수 [math(f)]를 묘사하는 식을 구할 수 있다. [math(x\neq 0)]일 때, [math(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x})]라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(g\left(kx\right)=g\left(x\right))]가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 [math(x)]에 대해서 [math(g\left(x\right))]는 일정한 값을 갖는다. 그 값을 상수 [math(a)]라 하자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math(x)]에 대해서 [math(f\left(x\right)=ax)]를 만족시킨다. 그런데 정의에 의해 [math(f\left(0\right)=0)]이다. 따라서 임의의 [math(x)]에 대해 [math(f\left(x\right)=ax)]이다. 즉 정비례 관계의 함수는 [[일차함수]]이다. 비례관계의 정의는 [[역함수]]를 정의할 때 사용되기도 한다. 가령 [[지수함수]]를 [math(f\left(x\right)=x)]에 대칭시키면 [[로그함수]]가 튀어나온다. === 반비례 === 두 변수 [math(x, y)]가 '''반비례'''한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다. >0이 아닌 임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}=k^{-1}f\left(x\right))]이다. 즉, 반비례 함수는 [[유리함수|분수함수]]이다. 이때, 반비례 함수를 [[부정적분]]하면 [[자연로그]]가 나오며[* [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln_{}t=t^{-1})]], 1에서 [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]까지 [[적분|정적분]]을 하면 1이 나온다. 반비례 함수의 그래프는 [[쌍곡선]]이다. [[쌍곡선#s-2.2|이 식]]을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다. 반비례 관계의 항 중 분모가 [[자연수]]인 항을 모조리 더한 것을 '[[조화수(수학)|조화급수]]'라고 하며 여기서 [[자연로그]]를 뺀 부분을 모두 더하면 [[오일러-마스케로니 상수]]를 구할 수 있다. == 비례의 기호 ∝ == 비례하는 함수 [math(y=kx)]([math(k)]는 상수)를 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(y \propto x)] 순서를 바꾸어 [math(x \propto y)]와 같이 쓸 수도 있다. 마찬가지로 반비례하는 함수 [math(y=\dfrac{k}{x})]([math(k)]는 상수)는 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(y \propto \dfrac{1}{x})] [[분류:해석학(수학)]][[분류:수학 용어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]