파울하버의 공식

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1. 개요2. 상세
2.1. 간략화
3. 역사4. 유도5. 예시6. 대한민국 교육과정

1. 개요[편집]

Faulhaber's Formula

자연수 kk에 대한 거듭제곱 kck^c의 합
∑k=1nkc=1c+2c+3c+⋯⋯+(n−1)c+nc\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = 1^c + 2^c + 3^c + \cdots\cdots + \left(n-1 \right)^c + n^c
에 대한 공식으로 야콥 베르누이가 발견[1]했기에 종종 베르누이의 공식 또는 단순히 거듭제곱 합의 공식이라 불린다.

2. 상세[편집]

일반식은 다음과 같이 주어진다.
∑k=1nkc=∑k=0c(−1)kc+1(c+1k)Bknc+1−k=1c+1B0nc+1−B1nc+c2B2nc−1−c(c−1)6B3nc−2+⋯⋯+(−1)c−1c2Bc−1n2+(−1)cBcn=1c+1nc+1+12nc+c12nc−1+⋯⋯+(−1)c−1c2Bc−1n2+(−1)cBcn\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \\ &= \frac 1{c+1} B_0 n^{c+1} - B_1 n^c + \frac c2 B_2 n^{c-1} - \frac{c \left(c-1 \right)}6 B_3 n^{c-2} + \cdots\cdots + \frac{\left( -1 \right)^{c-1} c}2 B_{c-1} n^2 + \left( -1 \right)^c B_c n \\ &= \frac 1{c+1} n^{c+1} + \frac 12 n^c + \frac c{12} n^{c-1} + \cdots\cdots + \frac{\left( -1 \right)^{c-1} c}2 B_{c-1} n^2 + \left( -1 \right)^c B_c n \end{aligned}
여기서 BkB_k는 베르누이 수열로 자세한 것은 해당 문서 참조. k=1k=1일 때 B1+=12B_1 ^+ = \dfrac 12이 되는 베르누이 수열 Bk+B_k ^+를 사용할 경우 Bk+=(−1)kBkB_k ^+ = \left( -1 \right)^k B_k이므로 식 형태는 좀 더 깔끔해진다.[2]

식 자체는 복잡해보이지만 Bk=bkB_k = b^k로 치환하면 위의 식은 이항정리를 풀어서 쓴 형태와 유사하다는 걸 알 수 있다.
∑k=0c(−1)kc+1(c+1k)Bknc+1−k=∑k=0c1c+1(c+1k)(−b)knc+1−k=(n−b)c+1−(−b)c+1c+1\displaystyle \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} = \sum_{k=0}^c \frac 1{c+1} \binom{c+1}k \left( -b \right)^k n^{c+1-k} = \frac{\left( n-b \right)^{c+1} - \left( -b \right)^{c+1}}{c+1}

파울하버는 베르누이가 공식을 발견하기 전에 cc가 홀수일 경우에 대한 규칙성을 발견하고 c=17c=17까지의 식을 제시한 인물로 공식 자체를 증명한 사람은 아니지만, 이와 관련이 있는 '파울하버 다항식'을 먼저 발견한 업적이 있어서인지 파울하버의 이름이 붙은 쪽이 더 유명하다.[3]

2.1. 간략화[편집]

베르누이 수열 문서에도 나와있듯이 k≠1k \ne 1인 홀수이면 Bk=0B_k = 0이라는 성질이 있고 k=1k=1일 때의 항은 수식 구조상 반드시 12nc\dfrac 12 n^c가 나오기 때문에 cc가 홀수일 경우와 짝수일 경우에 따라 다음과 같이 간략화할 수 있다. 자연수 mm에 대해

c=2m−1c = 2m-1이면 Bc+2=0B_{c+2} = 0이고 항은 k=c−1=2m−2k=c-1=2m-2까지 존재하므로
∑k=1nk2m−1=12n2m−1+∑k=0m−112m(2m2k)B2kn2(m−k)\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2m-1} = \frac 12 n^{2m-1} + \sum_{k=0}^{m-1} \frac 1{2m} \binom{2m}{2k} B_{2k} n^{2 \left(m-k\right)}
c=2m−2c = 2m-2이면 Bc≠0B_c \ne 0이므로
∑k=1nk2m−2=1−δ1, m2n2m−2+∑k=0m12m−1(2m−12k)B2kn2(m−k)−1\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2m-2} = \frac{1-\delta_{1, \ m}}2 n^{2m-2} + \sum_{k=0}^m \frac 1{2m-1} \binom{2m-1}{2k} B_{2k} n^{2 \left( m-k \right)-1}
δ1, m\delta_{1, \ m}은 크로네커 델타이다. m=1m=1, 즉 c=0c=0인 경우 따로 분리시켰던 k=1k=1일 때의 항을 제거하기 위해 덧붙인 함수이다.

3. 역사[편집]

당초 베르누이 자신의 표기법은 다음과 같았는데, 재미있는 것은 그가 죽고 난 뒤 출판된 《추측술》(Ars Conjectandi, 1713)이란 저서에 공식만 덩그러니 놓여있었을 뿐 증명이 같이 실려있지 않았다(……)는 점이다. 엄밀한 증명은 후대에 야코비에 의해 이루어졌다.
∑k=1nkc=nc+1c+1+12nc+∑k=2cBkk!ck−1‾nc+1−k\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1} + \frac 12 n^c + \sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k}
여기서 ck−1‾c^{\underline{k-1}}은 하강 계승으로 ck−1‾=c!(c−k+1)!c^{\underline{k-1}} = \dfrac{c!}{(c-k+1)!}이며, 이 관계를 이용하면 c−1‾=1c+1c^{\underline{-1}} = \dfrac 1{c+1}, c0‾=1c^{\underline 0} = 1이므로 거듭제곱 합의 공식은 더 간략하게
∑k=1nkc=∑k=0cBkk!ck−1‾nc+1−k\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k}
로 나타낼 수 있다. 오늘날 생성 함수를 이용해서 정의된 베르누이 수열을 기준으로 따지면 이 식의 베르누이 수열은 Bk−B_k^-가 아닌 Bk+B_k^+에 해당하므로
∑k=1nkc=∑k=0cBk+k!ck−1‾nc+1−k=∑k=0c(−1)kBkk!ck−1‾nc+1−k=∑k=0c(−1)kBkc!k!(c−k+1)!nc+1−k=∑k=0c(−1)kc+1(c+1k)Bknc+1−k\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \sum_{k=0}^c \frac{B_k^+}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k} = \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k} = \sum_{k=0}^c \left( -1 \right)^k B_k \frac{c!}{k! \left( c-k+1 \right) !} n^{c+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \end{aligned}

4. 유도[편집]

∑k=1n(ex)k=ex(enx−1)ex−1=enx−11−e−x=enx−1xx1−e−x=1x{∑c=0∞(nx)cc!−1}∑k=0∞Bk+xkk!=∑c=1∞ncxc−1c!∑k=0∞Bk+xkk!=∑c=0∞nc+1xc(c+1)!∑k=0∞Bk+xkk!=∑c=0∞∑k=0cBk+xkk!nc−k+1xc−k(c−k+1)!=∑c=0∞∑k=0c(c+1)!k!(c−k+1)!Bk+nc+1−kxc(c+1)!=∑c=0∞∑k=0c(c+1k)Bk+nc+1−kc+1xcc!=∑c=0∞{∑k=0c(−1)kc+1(c+1k)Bknc+1−k}xcc!\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \left( e^x \right)^k &= \frac {e^x \left(e^{nx}-1 \right)}{e^x-1} = \frac{e^{nx}-1}{1 - e^{-x}} = \frac{e^{nx}-1}x \frac x{1 - e^{-x}} = \frac 1x \left\{ \sum_{c=0}^\infty \frac{\left( nx \right)^c}{c!} - 1 \right\} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} = \sum_{c=1}^\infty \frac{n^c x^{c-1}}{c!} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \frac{n^{c+1} x^c}{(c+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} = \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \frac{B_k^+ x^k}{k!} \frac{n^{c-k+1} x^{c-k}}{(c-k+1)!} = \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \frac{(c+1)!}{k! \left( c-k+1 \right)!} \frac{B_k^+ n^{c+1-k} x^c}{(c+1)!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \binom{c+1}k \frac{B_k^+ n^{c+1-k}}{c+1} \frac{x^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty \left\{\sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \right\} \frac{x^c}{c!} \end{aligned}

한편
∑k=1n(ex)k=∑k=1nekx=∑k=1n∑c=0∞(kx)cc!=∑c=0∞∑k=1nkcxcc!=∑c=0∞(∑k=1nkc)xcc!\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( e^x \right)^k = \sum_{k=1}^n e^{kx} = \sum_{k=1}^n \sum_{c=0}^\infty \frac{\left( kx \right)^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=1}^n k^c \frac{x^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty \left(\sum_{k=1}^n k^c \right) \frac{x^c}{c!}

위 두 식이 같아야하므로 ∑k=1nkc=∑k=0c(−1)kc+1(c+1k)Bknc+1−k\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{\left( -1 \right)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k}가 얻어진다.

5. 예시[편집]

∑k=1nk=12(B0n2−2B1n)=12(n2+n)=n(n+1)2∑k=1nk2=13(B0n3−3B1n2+3B2n)=13(n3+32n2+12n)=2n3+3n2+n6=n(n+1)(2n+1)6∑k=1nk3=14(B0n4−4B1n3+6B2n2)=14(n4+2n3+n2)={n(n+1)2}2∑k=1nk4=15(B0n5−5B1n4+10B2n3+5B4n)=15(n5+52n4+53n3−16n)=6n5+15n4+10n3−n30=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)30\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n k &= \frac 12 \left( B_0 n^2 - 2 B_1 n \right) = \frac 12 \left( n^2 + n \right) = \frac{ n \left( n+1 \right)}2 \\ \sum_{k=1}^n k^2 &= \frac 13 \left( B_0 n^3 - 3 B_1 n^2 + 3 B_2n \right) = \frac 13 \left( n^3 + \frac 32 n^2 + \frac 12 n \right) = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}6 = \frac{n \left(n +1 \right) \left(2n + 1 \right)}6 \\ \sum_{k=1}^n k^3 &= \frac 14 \left( B_0 n^4 - 4 B_1 n^3 + 6 B_2 n^2 \right) = \frac 14 \left( n^4 + 2n^3 + n^2 \right) = \left\{ \frac{n \left(n+1 \right)}2 \right\}^2 \\ \sum_{k=1}^n k^4 &= \frac 15 \left( B_0 n^5 - 5 B_1 n^4 + 10 B_2 n^3 + 5 B_4 n \right) = \frac 15 \left(n^5 + \frac 52 n^4 + \frac 53 n^3 - \frac 16n \right) = \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} = \frac{n \left(n+1 \right) \left(2n+1 \right) \left(3n^2+3n-1 \right)}{30} \end{aligned}

6. 대한민국 교육과정[편집]

대한민국 고등학교 교육과정에서 수열의 합을 다룰 때 c≥4c\ge4 범위는 안 다룬다. c=1, 2, 3c = 1,\,2,\,3일 때 공식을 유도하는 원리조차 다르며[4] 애초에 이 공식을 외운다 하더라도 베르누이 수열을 같이 외워두지 않으면 아무런 쓸모가 없으므로 자연수 거듭제곱의 합에 대해 이런 공식이 있다는 것 정도로만 알아두면 좋을 것이다.
[1] 후술하겠지만 증명하지는 않았다.[2] 사실 베르누이 수열을 발견한 야콥 베르누이 본인도 후자의 수열을 BkB_k라 정의했다. 오늘날에는 생성함수를 통해 더 엄밀하게 정의할 수 있기 때문에 B1=−12B_1 = -\dfrac 12이 되는 베르누이 수열을 BkB_k라고 정의한다.[3] 그래서 파울하버 다항식에 등장하는 각 항의 계수는 베르누이 수열을 이용해서 표현할 수 있으나 당시 파울하버 본인은 이러한 연관성을 발견하지 못했다.[4] 보통은 항등식 (k+1)c−kc=∑i=0c−1(ci)ki=ckc−1+∑i=0c−2(ci)ki\displaystyle (k+1)^c - k^c = \sum_{i=0}^{c-1} \binom cik^i = ck^{c-1} + \sum_{i=0}^{c-2}\binom cik^i을 k=1k=1부터 k=nk=n까지 모조리 더해서 (n+1)c−1=c∑k=1nkc−1+∑k=1n(∑i=0c−2(ci)ki)\displaystyle (n+1)^c -1 = c\sum_{k=1}^n k^{c-1} + \sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=0}^{c-2} \binom cik^i\right)로 만들고, 이항하면 ∑k=1nkc−1=1c{(n+1)c−1−∑k=1n(∑i=0c−2(ci)ki)}\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{c-1} = \dfrac1c\left\{(n+1)^c -1 -\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=0}^{c-2} \binom cik^i\right)\right\}이 되므로 우변의 ∑k=1n(∑i=0c−2(ci)ki)\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=0}^{c-2} \binom cik^i\right)에 대해 이미 알고있는 합의 공식들을 모두 대입해서 유도하는 방식을 쓴다.그야말로 개노가다 kc−1=k2k^{c-1} = k^2 또는 k3k^3 즉 c=3, 4c = 3,\,4라면 이 방법으로 충분히 구할 수 있으나 c≥5c\ge5가 되면 그야말로 개노가다의 산물이 된다. 한편, 본 문서에서 소개한 과정을 이해하려면 최소한 테일러 급수는 알고 있어야 하는데 이미 여기서부터 고등학교 범위를 한참 벗어났다.