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1. 개요
멱등행렬(Idempotent matrix, 冪等行列)이란 제곱했을 때 자기자신이 되는 행렬을 뜻한다. 여기서 '멱'(冪)이란 '거듭제곱'이라는 뜻으로, '멱급수'의 '멱'과 같다.
2. 정의
[math(E^2=E)]를 만족하는 [math(n)]차 정사각행렬 [math(E)]를 멱등행렬(Idempotent matrix)이라 한다.
3. 예시
- [math(n)]차 정사각행렬의 영행렬 [math(O_{n})]과 단위행렬 [math(I_{n})]은 멱등행렬이다.
- [math(J_{n})]을 모든 성분이 1인 [math(n)]차 정사각행렬 (Matrix of ones)이라 할때, [math(frac{1}{n}J_{n})]은 멱등행렬이다.[math((J_{n})^{2}=begin{pmatrix}{displaystylesum_{i=1}^{n} begin{pmatrix}1\ vdots \1end{pmatrix}}&cdots&{displaystylesum_{i=1}^{n} begin{pmatrix}1\ vdots \1end{pmatrix}}end{pmatrix}=nJ_{n})]
이므로, [math(left(displaystylefrac{1}{n}J_{n}right)^{2}=displaystylefrac{1}{n}J_{n})]이 성립한다. - 사영행렬 [math(A(A^{T}A)^{-1}A^{T})]은 멱등행렬이다.[math({A(A^{T}A)^{-1} A^{T}}^{2} = A{(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)}(A^{T}A)^{-1}A^{T}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T})]
4. 대각화
멱등행렬은 대각화 가능한 행렬이다. [math(f(x)=x^2-x)]가 [math(E )]의 소멸다항식[1]이므로, [math(E)]의 최소다항식[2]은 [math(x^2-x=x(x-1))]의 약수이다. 그런데, 그러한 다항식은 [math(x)], [math(x-1)], [math(x(x-1))]밖에 없고, 모두 서로 다른 1차다항식의 곱꼴이므로, 대각화 가능하다. 또한 최소다항식의 근이 0이거나 1일 수 밖에 없으므로 고유값은 0이거나 1이다. 대각합은 닮음불변량이므로, 1의 중복도는 [math(text{tr}E )]와 같고, 0의 중복도는 [math(n-text{tr}E)]와 같음을 쉽게 알수있다. 또한 [math(E)]의 각 열벡터는 1에 대응하는 고유벡터이다. 왜냐하면, [math(E_{i})]를 [math(E)]의 [math(i)]열이라 했을 때,
[math(E^{2}=E iff E(E_{1},E_{2},cdots,E_{n})=(E_{1},E_{2},cdots,E_{n}))]
이 성립하여, [math(EE_{i}=E_{i})]를 만족하기 때문이다. 따라서, 열공간이 1에 대응하는 고유공간이다. 한편, [math(text{Rank}(E)neq n)][3]의 크기]이면 영공간이 0에 대응하는 고유공간이므로, 차원 정리에 의해서도 대각화가능함을 알 수 있다. 위를 정리하면 아래와 같다.
[math(E^{2}=E iff E(E_{1},E_{2},cdots,E_{n})=(E_{1},E_{2},cdots,E_{n}))]
이 성립하여, [math(EE_{i}=E_{i})]를 만족하기 때문이다. 따라서, 열공간이 1에 대응하는 고유공간이다. 한편, [math(text{Rank}(E)neq n)][3]의 크기]이면 영공간이 0에 대응하는 고유공간이므로, 차원 정리에 의해서도 대각화가능함을 알 수 있다. 위를 정리하면 아래와 같다.
- 고유 다항식 : [math(x^{n-text{tr}E}(x-1)^{text{tr}E})]
- 고유공간1) 0에 대응하는 고유공간 : [math(E)]의 영공간 ([math(Eneq I)]일 때만)
2) 1에 대응하는 고유공간 : [math(E)]의 열공간 ([math(Eneq O)]일 때만) - 대각화: [math(I)]와 [math(O)]는 이미 대각행렬이다. 그 외의 경우도 항상 대각화 가능하며, 대각화 시[math(begin{pmatrix}1& & & \ & ddots & &\ & & 1& & \ & & &0 \& & & &ddots \ & & & & &0end{pmatrix})] [14][math()]
5. 사영과의 관계
6. 성질
임의의 대각화 가능한 행렬 [math(D)]에 대하여, 고유값이 [math(c_{1},cdots,c_{k})]일 때, 다음 조건
- [math(D=c_{1}E_{1}+cdots +c_{k}E_{k})]
- [math(I=E_{1}+cdots+E_{k})]
- [math(E_{i}E_{j}=O)] for [math( ineq j)]
을 만족하는 행렬 [math(E_{1}, cdots , E_{k} )]가 존재하며, 각 [math(E_{i})]는 멱등행렬이고, [math(E_{i})]의 열공간은 [math(D)]의 [math(c_{i})]에 대응하는 고유공간이다. 또한 임의의 다항식 [math(p)]에 대하여,
[math(p(D)=p(c_{1})E_{1}+cdots+p(c_{k})E_{k})]
가 성립하며, 특히 라그랑주 다항식 [math(p_{i}=displaystyleprod_{jneq i} frac{x-c_{j}}{c_{i}-c_{j}})]에 대하여, [math(p_{i}(D)=E_{i})]가 성립한다.