차원 정리[1]는 rank와 nullity간의 관계를 설명해주는 정리이다.

Rank는 계수, 차수로도 불린다.

행렬의 행벡터들로 생성(span, generate)[2]한 벡터공간을 행공간(row space), 열벡터들로 생성한 벡터공간을 열공간(column space) 또는 상(image)이라고 하고, 행렬 [math(A)]의 행공간을 [math(mathrm{row}(A))], 열공간을 [math(mathrm{col}(A))] 또는 [math(mathrm{im}(A))][3]라고 쓰면 허수부만 취한다는 뜻이 된다. 때문에 허수부를 취하는 함수 표기를 [math(Im left(Aright))]로 쓰기도 한다.]라 표기한다. 이때 다음의 정리가 성립한다.

이 때 이 값을 행렬 [math(A)]의 Rank라고 하고, [math(mathrm{rank}(A))]로 표기한다.

행렬 [math(A)]에 대해 [math(Amathbf{x}=mathbf{0})][6]의 해 x들을 모은 집합은 벡터공간이 된다. 이때 이 공간을 영공간(null space) 또는 핵(kernel)이라고 하며 [math(mathrm{null}(A))] 또는 [math(ker(A))]라고 표기한다. 영공간의 차원을 Nullity라고 하며[7] [math(mathrm{nullity}(A))]로 표기한다.

선형 변환 참고.

이는 선형 시스템 Ax=b에서 성립하는 rank(A)+(#free variables)[8]=n의 특수한 경우(Ax=0)라고 해석할 수 있다.

이 자체만으로도 충분히 유용한 경우가 많으나, 본 정리의 증명에 필수적이기에 보조정리로 분류하였다.

[math(A)]는 기본행연산을 통해 [math(B)]로 변환될 수 있다. 다시 말해, [math(B)]의 각 행은 [math(A)]의 각 행의 선형결합(Linear Combination)이다.
이는 [math(B)]의 각 행의 임의의 선형결합이 [math(A)]의 각 행 사이 어떤 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서 [math(row(B) subset row(A))].
마찬가지로, [math(A)]의 각 행의 모든 선형결합을 [math(B)]의 각 행의 선형결합으로 표현될 수 있다. 그러므로 [math(row(A) subset row(B))].
위 두 결과에 의해, [math(row(A)=row(B))]. ■