라그랑주 보간법(Lagrangian interpolation)이란 서로 다른 $x_{1},\cdots,x_{n+1}$에 대하여 $n+1$개의 점 $(x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1})$이 주어져 있을때, 이 점을 모두 지나는 $n$차 이하의 다항식을 구하는 공식을 말한다. 이름대로 조제프루이 라그랑주가 만들었다.

서로 다른 $x_{1},\cdots,x_{n+1}$에 대하여 아래의 다항식

을 라그랑주 기저 다항식이라 한다. 또한

을 라그랑주 보간 다항식이라 하며, 이 다항식은 점 $(x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1})$을 모두 지나는 유일한 $n$차 이하의 다항식이다.

집합 $\mathcal{P}_{n}(F)$을 $n$차 이하의 다항식 집합이라 하자. $\mathcal{P}_{n}(F)$가 벡터공간이므로, 쌍대공간 $\mathcal{P}_{n}^{*}$가 존재한다. 임의의 자연수$i\leq n+1$에 대하여 선형범함수(linear functional) $L_{i}:\mathcal{P}_{n}(F)\to F$을

라고 정의하자. $L_{1},\cdots,L_{n+1}$이 $\mathcal{P}_{n}^{*}$의 기저가 된다는 것은 다음 두 식

을 만족하는 $p_{1},\cdots,p_{n+1}\in \mathcal{P}_{n}(F)$이 존재한다는 것을 보이면 되는데, 그 이유는, 그것이 존재한다면, $\{L_{1},\cdots,L_{n+1}\}$이 $\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\}$의 쌍대기저가 되기 때문이다. 물론 $p_{i}$는 $x_{1},\cdots, x_{i-1}, x_{i+1},\cdots,x_{n+1}$을 근으로 가지며, $p_{i}(x_{i})=1$이므로,

임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, $\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\}$은 $\mathcal{P}_{n}(F)$기저이고, 임의의 다항식 $p \in \mathcal{P}_{n}(F)$에 대하여,

인 $y_{1} ,\cdots,y_{n+1}$이 유일하게 존재하는데,

가 성립함을 확인할 수 있다.

서로 다른 $x_{1},\cdots,x_{n+1}$에 대하여, 다항식 $x^{i}$ $(0\leq i \leq n)$은 점 $(x_{j},x_{j}^{i})$를 지나므로, 라그랑주 보간법에 의해

라고 쓸 수 있다. 그런데, $\beta=\{1,x,x^{2},\cdots,x^{n}\}$과 $\beta^\prime=\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\}$이 모두 $\mathcal{P}_{n}(F)$의 기저이므로 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)

은 $\beta$에서 $\beta^{\prime}$으로의 기저변환행렬이라고 할 수 있다.