대칭함수

분류

1. 개요2. 정의3. 특수한 대칭함수

3.1. 홀함수3.2. 짝함수

4. 성질

4.1. 미적분

4.1.1. [[정적분]]

4.2. [[역함수]]

파일:디랙델타함수 시퀀스.svg

디랙 델타 함수를 정의하는 기반이 되는 함수들 중
[math(boldsymbol{y})]축 대칭함수(짝함수)들의 예시

1. 개요

even and odd functions[1] · 對稱函數

함수의 개형이 대칭을 이루는 함수를 뜻한다. 크게 홀함수[2](Odd function)와 짝함수[3](Even function)로 나뉜다.

2. 정의

함수 [math(y=f(x))]가 정의역의 모든 [math(x)]에 대하여

[math(f(-x)=f(x))]이면 짝함수(우함수),

[math(f(-x)=-f(x))]이면 홀함수(기함수)

이다.

정수 [math(a)]에 대해 [math(y=x^a)]인 함수를 멱함수라고 한다. 멱함수의 경우 함수가 짝함수인지 홀함수인지의 여부를 쉽게 알 수 있다. [math(y=x^2)] 또는 [math(y=x^4)]과 같이 [math(a)]가 짝수이면 짝함수이고, [math(y=dfrac1x)] 또는 [math(y=x^3)]과 같이 [math(a)]가 홀수이면 홀함수이다.

홀함수는 다시 [math(f(x)>f(-x))]인 함수와 [math(f(x)<f(-x))]인 함수로 나뉜다. 아래는 이 둘의 예시이다.

파일:namu_erf(x)_그래프.png	파일:브링근호_그래프_NeW.png
[math(f(x)>f(-x))]	[math(f(x)<f(-x))]

3. 특수한 대칭함수

멱함수 이외에도, 고교 수학에서 배운 삼각함수 등을 포함한 매우 다양한 함수들이 대칭성을 가지고 있다.

3.1. 홀함수

* [math(mathrm{sgn}(x))]

3.2. 짝함수

* [math(c)]

[math(|x|)]
[math(cos(x))]
[math(sec(x))]
[math(dfrac{sin x}x)]
[math(cosh(x))]
[math(mathrm{sech}(x))]
[math((Re circ mathrm{Ci})(x))][iπ] 범위에서는 [math(ipi)]가 더해지므로 짝함수로 만드려면 실수부를 취해야 한다.]
[math((Re circ mathrm{Chi})(x))][iπ]
[math((Re circ mathrm{Log})(x))][iπ]
[math(displaystyle e^{-x^2})]
[math(delta(x))]
[math(P_{2n}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)
[math(H_{2n}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)
[math(bold{1}_{mathbb Z}(x))]
[math(bold{1}_{mathbb Q}(x))]
[math(bold{1}_{mathbb I}(x))]
[math(bold{1}_{mathbb R}(x))]
[math(mathrm{tri}(x))]
[math(mathrm{rect}(x))]
[math(Psi(x))]

4. 성질

[math(f(-x)=f(x))]에서 점 [math((x,,y))]가 그래프 위의 점이면 점 [math((-x,,y))]도 그래프 위의 점이기 때문에 짝함수의 그래프는 [math(y)]축에 대하여 대칭이고, [math(f(-x)=-f(x))]에서 점 [math((x,,y))]가 그래프 위의 점이면 점 [math((-x,,-y))]도 그래프 위의 점이기 때문에 홀함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

수에서의 홀짝과는 특성이 다른데, 이는 다음과 같다.

홀함수×홀함수=짝함수, 홀함수÷홀함수=짝함수
홀함수×짝함수=홀함수, 홀함수÷짝함수=홀함수, 짝함수÷홀함수=홀함수
짝함수×짝함수=짝함수, 짝함수÷짝함수=짝함수

홀함수를 [math(a)]가 홀수인 멱함수에, 짝함수를 [math(a)]가 짝수인 멱함수에 대응시키면 지수법칙에 따라 위의 곱하기(×)가 홀수(*)짝수 연산의 더하기(+)에, 나누기(÷)가 홀수(*)짝수 연산의 빼기(-)에 대응하는 것이라 생각하면 이해하기 쉽다.

합성함수의 경우, 홀함수[math(circ)]짝함수이든 짝함수[math(circ)]홀함수이든 무조건 짝함수가 된다. 그런데, 홀함수끼리 합성하면 홀함수가 된다. 함수의 합성을 일종의 곱셈으로 이해하면, 짝수를 임의의 자연수에 곱하면 짝수가 되고, 홀수 곱하기 홀수는 홀수가 되는 점에 대응시켜보면 쉽게 이해할 수 있다.

정의역이 <math>x=0</math>에 대해 좌우대칭인 임의의 함수를 아래와 같이 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

<math>f(x)=dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+dfrac{f(x)-f(-x)}{2}</math>

4.1. 미적분

홀함수를 미분하면 짝함수가 되고, 짝함수를 미분하면 홀함수가 된다. 부정적분의 경우 홀함수를 적분하면 짝함수가 되지만, 반대로 짝함수를 적분하는 경우에는 적분상수의 존재 때문에 반드시 홀함수가 되리라는 보장이 없다. 단, [math(y)]축 위의 한 점에 대하여 [math(y)]절편을 [math(C)]([math(C)]: 적분상수)로 갖는, [math((0, C))] 좌표에 점대칭인 그래프를 갖는다.

4.1.1. 정적분

대칭함수의 성질을 가장 잘 활용하는 곳은 다름 아닌 정적분인데, 이는 함수의 그래프가 대칭인 특성상 적분식이 간단해지기 때문이다.

적분구간 [math([-a,,a])] (단, [math(a>0)])에 대해서 다음이 성립한다.

홀함수 : [math(displaystyle int_{-a}^a f(x) ,mathrm{d}x = 0)]
짝함수 : [math(displaystyle int_{-a}^a f(x) ,mathrm{d}x = 2 int_0^a f(x) ,mathrm{d}x = 2 int_{-a}^0 f(x) ,mathrm{d}x)]

홀함수는 특성상 정적분 값은 0이 된다.[10][11] 그래서 정적분이 넓이를 구하기 위한 것이라면 절댓값을 취해 홀함수 부분은 0으로 날려버리고 짝함수 부분만 남긴 다음 위 대칭을 이용해 적분하면 편하다.

4.2. 역함수

홀함수의 역함수는 직선 [math(y=x)]를 중심으로 선대칭을 한 홀함수가 된다.
짝함수의 역함수는 [math(x)]축을 기준으로 선대칭을 이루는 음함수가 된다.

[1] Symmetric Function이라는 것도 있기는 하지만 이것은 각 변수의 자리를 바꿔도 성립하는 다변수함수라는 다른 뜻이다.[2] 과거엔 기함수(奇函數)[3] 과거엔 우함수(偶函數)[iπ] ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 ^4.5 ^4.6 [math(x < 0)[10] 그래서 홀함수의 [math((-infty, infty))] 구간열 적분을 구하는 것은 거의 금기 수준이다.[11] 단, 디리클레 함수는 홀함수가 아님에도 대칭 정적분 값이 0이다.