곱셈 공식

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1. 개요2. 공식
2.1. 인수분해 공식
3. 집합과 확률에서 곱셈 공식4. 관련 문서

1. 개요[편집]

다항식을 전개할 때 자주 나오는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 (a+b)(a−b) \left(a+b\right)\left(a-b\right) 는 (a+b)(a−b)=a2−ab+ba−b2=a2−b2 \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 와 같이 분배법칙을 써서 전개한 다음 교환법칙, 결합법칙 등을 써서 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 (a+b)(a−b)=a2−b2 \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 은 자주 나오는 꼴[1]이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다. 곱셈 공식은 일종의 항등식임은 물론이다.

반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 64×56과 602 - 42 의 계산식이 그 예.

형돈이와 대준이가 이를 주제로 <중2 수학은 이걸로 끝났다>라는 노래를 내놓았다. 뮤직비디오에 연습 문제가 나온다. 수준 때문에 이차식이 되는 것만 나온다. 근데 교육과정이 바뀌어서 '중3 수학은 이걸로 끝났다'로 제목을 바꿔야 할지도?

페이커도 곱셈공식의 중요성을 알고 있다. #

또한, 곱셈공식은 기하학적으로 접근했을 때 정말 간단하고 오랫동안 외울 수 있다. 왜냐면, 2차 완전제곱은 기본적으로 정사각형과 직사각형의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 구체적으로, 이차 완전제곱인 (a+b)2=a2+2ab+b2 \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2 은 아래 움짤처럼 나타낼 수 있다.
파일:완전제곱식_기하학.gif
이 움짤에 대한 설명


세제곱은 아래 움짤처럼 부피의 합으로 로 볼 수 있을 것이다.
파일:세제곱.gif 이 움짤에 대한 설명

2. 공식[편집]

다음은 대표적인 곱셈 공식이다.
(a+b)2=a2+2ab+b2 \left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2 \left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(a+b)(a−b)=a2−b2 \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab \left(x+a\right)\left(x+b\right) = x^2 + \left(a+b\right)x + ab
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) = acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd
x2+y2=(x+y)2−2xy=(x−y)2+2xy x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2xy
(x−y)2=(x+y)2−4xy (x-y)^2 = (x+y)^2-4xy
(x+y)2=(x−y)2+4xy (x+y)^2 = (x-y)^2+4xy
x2+1x2=(x+1x)2−2 \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2-2
x2+1x2=(x−1x)2+2 \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = (x -\frac{1}{x})^2+2

여기까지가 중학교 과정이다. 2015 개정 교육과정 기준으로 중학교 3학년 1학기 과정에 나온다.[2] 2009 개정 교육과정에서는 2학년 1학기 과정에서 이 공식들을 배웠으나, 이번에 인수분해와 함께 연계시키기 위해서 3학년으로 올린 듯.[3]

이 아래부터는 고등 수학 (상)에서 배우게 된다.
(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc \left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right) = x^3 + \left(a+b+c\right)x^2 + \left(ab+bc+ca\right)x + abc
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca \left(a+b+c\right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2bc + 2ca
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 \left(a+b\right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \left(a-b\right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3,(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3 \left(a+b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^3 + b^3, \left(a-b\right)\left(a^2 + ab + b^2\right) = a^3 - b^3
(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=a3+b3+c3−3abc \left(a+b+c\right)\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\right) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc [4][5]
12(a+b+c)((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2)=a3+b3+c3−3abc\frac{1}{2}\left(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)=a^3+b^3+c^3-3abc [6]
(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)=a4+a2b2+b4 \left(a^2 + ab + b^2\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^4 + a^2b^2 + b^4
이거 외우다가 중학교때 외운 공식은 까먹는다 카더라[7]

의외의 사실이지만 초등학교 수학에서 −1-1제곱에 대한 곱셈 공식을 가장 먼저 배운다. 눈썰미가 좋은 사람이라면 이것의 정체가 통분임을 알았을 것이다.
(a±b)−1=±(a±b)(ab)−1=±a±bab(a \pm b)^{-1} = \pm (a \pm b)(ab)^{-1} = \pm \dfrac{a \pm b}{ab}

2.1. 인수분해 공식[편집]


곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾼 것이다.
예시는 다음과 같다.
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = \left(a+b\right)^2
a2−2ab+b2=(a−b)2 a^2 - 2ab + b^2 = \left(a-b\right)^2
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2 + \left(a+b\right)x + ab = \left(x+a\right)\left(x+b\right)
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd = \left(ax+b\right)\left(cx+d\right)

고등학교 과정의 인수분해 공식 또한 비슷하게 할 수 있다.

3. 집합과 확률에서 곱셈 공식[편집]

파일:조건부 확률.png
P(A∣B)=P(B∩A)P(B) P(A|B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)}
P(A∩B)=P(A∣B)P(B)=P(B∩A)=P(B∣A)P(A) P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B \cap A) = P(B|A)P(A)

A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B)
파일:전체 확률의 법칙.png
정의) A1,A2A_1, A_2는 AA의 파티션(서로 상호 배타적이고 합하면 AA가 나오는 집합)이다.
P(B) P(B)
=P(B∩A) = P(B \cap A)
=P(B∩A1)+P(B∩A2) = P(B \cap A_1) + P(B∩A_2)
=P(B∣A1)P(A1)+P(B∣A2)P(A2) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)
P(A1∣B) P(A_1|B)
=P(B∩A1)P(B)\displaystyle = \frac{P(B \cap A_1)}{P(B)}
=P(B∣A1)P(A1)P(B)\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}
=P(B∣A1)P(A1)P(B∣A1)P(A1)+P(B∣A2)P(A2)\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)}

4. 관련 문서[편집]

[1] 특히 복소수의 절댓값, 복소 벡터의 내적을 구할 때 필수적이다.[2] 2018학년도 중학교 신입생부터 적용[3] 그 대신 피타고라스 정리가 2학년으로 내려왔다. 다만 무리수를 배우지 않았다는 점을 들어 자연수 범위에서의 피타고라스 수만을 다룬다. 이렇게 한 이유는 중2 나이대에 피타고라스 정리를 배우는 다른 나라들과 달리 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배워 국제적으로 학력을 비교 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다.[4] −3abc-3abc를 이항시켜서 외워도 좋다.[5] 이게 중요한 것이, a+b+c=0a+b+c=0이라면 3abc=a3+b3+c33abc=a^3+b^3+c^3이 된다.[6] 위의 식에서 변형한 모습이다. 이 형태의 곱셈공식은 주로 a3+b3+c3−3abc=0a^3+b^3+c^3-3abc=0이라는 조건과 함께 나와서 a=b=ca=b=c를 알아내는데 쓰인다.[7] 어차피 고등수학 참고서에서 중학교때 공식을 한번 더 언급해준다.