1학년의 꿈(Freshman's Dream) 은
곱셈 공식 을 쓸 때 가장 자주 하는 실수를 이론적으로 정리한 것이다.
( x + y ) n = x n + y n (x+y)^n = x^n+y^n ( x + y ) n = x n + y n 를 만족하는 임의의 실수
n , x , y n, x, y n , x , y 는 자명한 조건인
n = 1 ∨ x + y = 0 ∧ n ≡ 1 m o d 2 ∨ x y = 0 n =1 \vee x+y =0 \wedge n \equiv 1 \bmod 2 \vee xy =0 n = 1 ∨ x + y = 0 ∧ n ≡ 1 mod 2 ∨ x y = 0 를 만족하는 수 이외에는 없다.
1과 가까운 두 수인 0, 2로 예를 들면
( x + y ) 0 ≠ x 0 + y 0 ⇔ 1 ≠ 2 (x+y)^0 \neq x^0+y^0 \Leftrightarrow 1 \neq 2 ( x + y ) 0 = x 0 + y 0 ⇔ 1 = 2 ( x + y ) 2 ≠ x 2 + y 2 ⇔ x 2 + 2 x y + y 2 ≠ x 2 + y 2 (x+y)^2 \neq x^2+y^2 \Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 \neq x^2+y^2 ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 ⇔ x 2 + 2 x y + y 2 = x 2 + y 2 1 x + y ≠ 1 x + 1 y ⇔ ( x + y ) − 1 ≠ x − 1 + y − 1 \dfrac{1}{x+y} \neq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \Leftrightarrow (x+y)^{-1} \neq x^{-1} + y^{-1} x + y 1 = x 1 + y 1 ⇔ ( x + y ) − 1 = x − 1 + y − 1 x + y ≠ x + y ⇔ ( x + y ) 1 / 2 ≠ x 1 / 2 + y 1 / 2 \sqrt{x+y} \neq \sqrt{x}+\sqrt{y} \Leftrightarrow (x+y)^{1/2} \neq x^{1/2} + y^{1/2} x + y = x + y ⇔ ( x + y ) 1/2 = x 1/2 + y 1/2 이것을 모든
실수 로 확장해서 자명한 해인
n = 1 n =1 n = 1 혹은
x + y = 0 , x y = 0 x+y=0,\,xy=0 x + y = 0 , x y = 0 이 성립하는 수 이외에는 없음이 증명되어 있다.
그럼
복소수 는 어떨까?
드 무아브르 공식 의 존재로 안 된다. 복소수 지수는
e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta e i θ = cos θ + i sin θ 로 정의되는데,
( e i θ ) n = cos n θ + i sin n θ ≠ [ cos θ ] n + i [ sin θ ] n \left(e^{i\theta}\right)^n = \cos n \theta + i \sin n\theta \neq [\cos \theta]^n + i [\sin \theta]^n ( e i θ ) n = cos n θ + i sin n θ = [ cos θ ] n + i [ sin θ ] n 이므로 복소수에서조차 일반적으로 등식이 성립되지 않는다.
충격적이게도 자명하지 않은 조건에서 이게 성립하는 경우가 있다.
[math(p in mathbb{P}) ]인
p p p 가 표수
인
체 에서
p p p 제곱을 하는 경우에 성립한다.
이항정리 에 의하여
∑ r = 0 p ( p r ) a r b p − r \displaystyle \sum_{r=0}^{p}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r} r = 0 ∑ p ( r p ) a r b p − r 이 성립하는데, 이 때,
( p r ) \displaystyle\binom{p}{r} ( r p ) 는 항상
자연수 이다. 그런데,
( p r ) = p ! r ! ( p − r ) ! \displaystyle\binom{p}{r}=\frac{p!}{r!(p-r)!} ( r p ) = r ! ( p − r )! p ! 이고, 위의 우변에서
0 < r < p 0<r<p 0 < r < p 이면, 분모는 소수
p p p 보다 작은 수들의 곱이므로 인수로
p p p 를 가질 수 없다. 그래서,
( p r ) \displaystyle\binom{p}{r} ( r p ) 은
p p p 의 배수가 되어서, 어떤 자연수
m m m 에 대하여
( p r ) = p m = ( 1 F + ⋯ + 1 F ) m = 0 F ⋅ m = 0 F \displaystyle\binom{p}{r}=pm=(1_{F}+\cdots+1_{F})m=0_{F}\cdot m=0_{F} ( r p ) = p m = ( 1 F + ⋯ + 1 F ) m = 0 F ⋅ m = 0 F 이 성립한다. 정리하면, 체
F F F 의 표수가
p > 0 p>0 p > 0 이면,
( a + b ) p = a p + ∑ r = 1 p − 1 ( p r ) a r b p − r + b p = a p + ( ∑ r = 1 p − 1 0 F ⋅ a r b p − r ) + b p = a p + b p \displaystyle \begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+\displaystyle\sum_{r=1}^{p-1}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\\&=a^{p}+\left(\sum_{r=1}^{p-1}0_{F}\cdot a^{r}b^{p-r}\right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} \end{aligned} ( a + b ) p = a p + r = 1 ∑ p − 1 ( r p ) a r b p − r + b p = a p + ( r = 1 ∑ p − 1 0 F ⋅ a r b p − r ) + b p = a p + b p 가 성립한다.
자매품으로 해석학 및 미적분학 계열의
2학년의 꿈 이 있다. 참고로 2학년의 꿈은 옳다. 아쉽게도 3학년의 꿈은 없다.