항등식

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1. 개요2. 예시
2.1. 삼각함수2.2. 지수2.3. 로그2.4. 미적분2.5. 벡터2.6. 미분류
3. 미정계수법4. 관련 문서

1. 개요[편집]

Identity ・ 恒等式

문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 ax+b=0ax+b=0같은 식도 a=b=0a=b=0라는 조건이 주어지면 항등식이 된다.[1] 조건을 항상 잘 확인하자.

f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 정의할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.

2. 예시[편집]

ee는 자연로그의 밑, ii는 허수단위이다.

2.1. 삼각함수[편집]

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \tan\theta= {\sin\theta \over \cos\theta}
  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta=1
  3. 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta
  4. 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1+\cot^2\theta=\csc^2\theta
  5. cos⁡x+isin⁡x=eix\cos x + i \sin x = e^{ix} (오일러 공식)
  6. sin⁡θ=−isinh⁡iθ\sin \theta = -i \sinh i \theta
  7. cos⁡θ=cosh⁡iθ\cos \theta = \cosh i \theta
  8. sin⁡x=eix−e−ix2i{\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}
  9. cos⁡x=eix+e−ix2{\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}
  10. tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−ieix−e−ixeix+e−ix{\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}}

2.2. 지수[편집]

  1. xa+b=xaxbx^{a+b} = x^ax^b
  2. xa−b=xaxb\displaystyle x^{a-b} = {x^a \over x^b} (단, xb≠0x^{b} \neq 0)
  3. (xa)b=xab\left(x^a\right)^b=x^{ab}
  4. (x⋅y)n=xn⋅yn\left(x\cdot y\right)^n=x^n\cdot y^n
  5. ex=sinh⁡x+cosh⁡xe^x = \sinh x + \cosh x

2.3. 로그[편집]

  1. log⁡ab=log⁡a+log⁡b\log{ab}=\log{a}+\log{b}
  2. log⁡ab=log⁡a−log⁡b\displaystyle \log{a \over b}=\log{a}-\log{b}
  3. log⁡an=nlog⁡a\log{a^n}=n\log{a}
  4. log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\displaystyle \log_{a}{b}={\log_{c}{b} \over \log_{c}{a}} (밑 변환 공식)
  5. log⁡ab=1log⁡ba\displaystyle \log_{a}{b}={1 \over \log_{b}{a}}
  6. log⁡ix=2iπlog⁡ex\displaystyle \log_i{x} = {2 \over i \pi} \log_e{x}
  7. li(x)=Ei∘log⁡e(x)\mathrm{li}(x) = \mathrm{Ei} \circ \log_e (x)[2]

2.4. 미적분[편집]

  1. ddxc=0\displaystyle {d \over dx} c = 0 (c는 상수)
  2. ddxxn=nxn−1↔∫xn=1n+1xn+1+c\displaystyle {d \over dx} x^n = n x^{n-1} \leftrightarrow \int x^n = {{1}\over {n+1}} x^{n+1}+c (c는 상수)
  3. ddxexp⁡x=exp⁡x\displaystyle {d \over dx} \exp x = \exp x
  4. ddxln⁡x=x−1\displaystyle {d \over dx} \ln x = x^{-1}
  5. ∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)\displaystyle \int^b_a f'(x)dx = f(b) - f(a) (단, 함수 f′f'이 닫힌 구간 [a,b]\left[a, b\right]에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참조.)
  6. ∫1e1xdx=ln⁡e−ln⁡1=1\displaystyle \int_{1}^{e}{1 \over x}dx = \ln e - \ln 1 =1
  7. ddxsin⁡x=cos⁡x\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x
  8. ddxcos⁡x=−sin⁡x\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x
  9. ddxtan⁡x=sec⁡2x\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x
  10. ddxsec⁡x=sec⁡tan⁡x\displaystyle \frac{d}{dx}\sec x=\sec\tan x
  11. ddxcot⁡x=−csc⁡2x\displaystyle \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x
  12. ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x\displaystyle \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x
  13. ddxsinh⁡x=cosh⁡x\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x
  14. ddxcosh⁡x=sinh⁡x\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x
  15. ddxtanh⁡x=sech2x\displaystyle \frac{d}{dx}\tanh x=\text{sech}^{2}x
  16. ddxsechx=−sechxtanh⁡x\displaystyle \frac{d}{dx}\text{sech} x=-\text{sech}x \tanh x
  17. ddxcothx=−csch2x\displaystyle \frac{d}{dx}\text{coth} x=-\text{csch}^{2} x
  18. ddxcschx=−cschxcothx\displaystyle \frac{d}{dx}\text{csch} x=-\text{csch} x \text{coth} x
  19. ddx∣x∣=sgn(x)↔∫sgn(x)=∣x∣+C\displaystyle \frac{d}{dx} |x| = \mathrm{sgn}\left(x\right) \leftrightarrow \int \mathrm{sgn}\left(x\right) = |x| + C[3]
  20. ddxsgn(x)=2δ(x)↔∫2δ(x)=2θ(x)+C=sgn(x)+1+C\displaystyle \frac{d}{dx} \mathrm{sgn}\left(x\right) = 2\delta\left(x\right) \leftrightarrow \int 2\delta\left(x\right) = 2 \theta \left(x\right) + C = \mathrm{sgn}\left(x\right) + 1 + C[4]

2.5. 벡터[편집]

  1. (a×b)×c=−(c⋅b)a+(c⋅a)b(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}
  2. a×(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b)\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
  3. a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}

2.6. 미분류[편집]

  1. nPr=Γ(n+1)Γ(n−r+1)=(n−r+1)Γ(n+1)Γ(n−r+2)=(n−r+1)⋅nPr−1{}_n\mathrm P_r = \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+1 \right)} = \left( n-r+1 \right) \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+2 \right)} = \left( n-r+1 \right) \cdot {}_n\mathrm P_{r-1}
    (단, ℜ(n+1),ℜ(n−r+1),ℜ(n−r+2)∉Z−N\Re(n+1), \Re(n-r+1), \Re(n-r+2) \notin \mathbb{Z} - \mathbb{N}[5])
  2. ℑ(a)=0   (a∈R)\Im(a)=0 \,\,\,(a \in \mathbb{R})[6]

3. 미정계수법[편집]

xx에 관한 등식 anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0이 xx에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 an=an−1=⋯=a1=a0=0a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=a_0=0이다. 비슷하게 anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=bnxn+bn−1xn−1+⋯+b1x+b0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0이 xx에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 a0=b0,a1=b1,⋯ ,an−1=bn−1,an=bna_0=b_0,a_1=b_1,\cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.
  1. 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
  2. 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[7] 방정식을 푸는 방법.
숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
생각해보라. (x−1)10(x-1)^{10} 같은 식을 누가 일일이 전개해서 볼까? 아마 용자들은 할지도 우리에겐 이항정리가 있다!

4. 관련 문서[편집]




[1] 이 조건을 '자명하다'라고 한다.[2] li(x)\mathrm{li}(x)는 로그 적분 함수, Ei(x)\mathrm{Ei}(x)는 지수 적분 함수이다.[3] sgn(x)\mathrm{sgn}\left(x\right)는 부호 함수이다.[4] δ(x)\delta\left(x\right)는 디랙 델타 함수, θ(x)\theta\left(x\right)는 헤비사이드 계단 함수이다.[5] 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 또는 음의 정수가 되어서는 안된다는 뜻이다.[6] 실수의 허수부는 무조건 0이라는 의미이다.[7] 보통 0이나 1을 대입한다.[8] 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는것이 목적이다.