1. 개요
2. 정의
불완전 감마 함수에서 [math(b=0)]인 경우에 해당한다.
감마 함수와 같이 특수 함수로 묶이는 함수들은 정의가 접근 방향에 따라 여러 가지인데, 역시 제일 중요한 발원적 정의는 '계승 함수의 성질을 그대로 가지면서 [math(0)]보다 큰 영역에서 그래프가 아래로 볼록한 꼴인 함수'이다. 만족하는 함수꼴은 다음과 같다.
감마 함수와 같이 특수 함수로 묶이는 함수들은 정의가 접근 방향에 따라 여러 가지인데, 역시 제일 중요한 발원적 정의는 '계승 함수의 성질을 그대로 가지면서 [math(0)]보다 큰 영역에서 그래프가 아래로 볼록한 꼴인 함수'이다. 만족하는 함수꼴은 다음과 같다.
적분꼴 [2]의 실수부가 양수일 때만 수렴하는 이상 적분이나, 밑의 세 식은 [math(z)]가 [math(0)] 이하의 정수가 아니면 무조건 수렴한다.]
| [math(displaystyle Gamma(z)=int_0^infty x^{z-1}e^{-x}mathrm{d}x)]
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오일러 무한곱꼴
| [math(displaystyle Gamma(z)=frac 1z prod_{n=1}^infty frac{left(1+dfrac 1n right)^z}{1+dfrac zn})]
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단순항꼴
| [math(displaystyle Gamma(z)=lim_{ntoinfty}frac{n!cdot n^z}{displaystyle prod_{i=0}^n (z+i)})]
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바이어슈트라스꼴
| [math(displaystyle Gamma(z)=frac 1z e^{-gamma z}prod_{n=1}^inftyfrac{e^{frac zn}}{1+dfrac zn})]
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그렇게 안 보이지만 저 넷은 서로가 서로를 유도할 수 있는 동치 관계다. [math(displaystyle prod)]는 계속 곱해나가라는 뜻이고, [math(gamma)]는 값이 [math(0.577216...)]인 오일러-마스케로니 상수[3] 함수 아래의 넓이와 직사각형들 넓이의 합의 차다. 참고로 이 상수가 유리수인지 무리수인지는 아직도 밝혀내지 못했다.]다.
3. 역사
오늘날에는 적분 꼴의 정의식이 가장 널리 알려져있지만, 역사적으로는 오일러 무한곱 꼴이 먼저 발견되었다.[4]이 아닌 실수 [math(n)]이었으나, 추후 연구를 통해 복소수로 확장할 수 있다는 점이 밝혀지게 된다.] 정의역이 [math(0)] 이상의 정수로 한정되어있던 팩토리얼을 실수로 확장하고자 하는 논의가 1720년대에 다니엘 베르누이[5]와 크리스티안 골드바흐[6]를 중심으로 이루어졌는데, 십년도 채 되지 않아 이 문제는 오일러에 의해 해결되었고, 1729년 10월 13일 오일러가 골드바흐에게 보낸 편지에 그 기록이 남아있다. 실제로 오일러 무한곱 꼴은 적분과는 무관하게 극한에 대한 고등학교 수준의 지식만 있으면 쉽게 유도할 수 있다.
먼저 [math(dfrac{left(k+1right)^n}{displaystyle prod_{i=1}^n (k+i)})]에 대해 [math(ktoinfty)]일 때의 극한값을 구해보자. 해당 식은 다음과 같이 변형할 수 있으며
먼저 [math(dfrac{left(k+1right)^n}{displaystyle prod_{i=1}^n (k+i)})]에 대해 [math(ktoinfty)]일 때의 극한값을 구해보자. 해당 식은 다음과 같이 변형할 수 있으며
[math(dfrac{left(k+1right)^n}{displaystyle prod_{i=1}^n (k+i)}=dfrac{left(k+1right)^n}{displaystyle prod_{i=1}^n left{kleft(1+frac ik right)right}}=dfrac{left(k+1right)^n}{displaystyle k^n prod_{i=1}^n left(1+frac ik right)}=dfrac{left(1+dfrac 1k right)^n}{displaystyle prod_{i=1}^n left(1+frac ik right)})]
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[math(k to infty)]일 때 분자 분모가 각각 [math(1)]로 수렴하므로 위 식은 [math(1)]에 수렴함을 알 수 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.
[math(displaystyle lim_{ktoinfty}frac{n!left(k+1right)^n}{displaystyle prod_{i=1}^n (k+i)}=n!)]
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여기서 [math(displaystyle prod_{i=1}^n (k+i)=frac{(k+n)!}{k!})]이므로 위 식은 팩토리얼과 지수함수만으로 정리할 수 있다.
[math(displaystyle lim_{ktoinfty}frac{k!,n!left(k+1right)^n}{(k+n)!}=lim_{ktoinfty}frac{k!left(k+1right)^n}{dfrac{(k+n)!}{n!}}=n!)]
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그런데 [math(displaystyle frac{(k+n)!}{n!}=prod_{i=1}^k (i+n)=prod_{i=1}^k left{ i left(1+frac ni right)right} = k! prod_{i=1}^k left(1+frac ni right))], [math(displaystyle k+1 = prod_{i=1}^k frac{i+1}i = prod_{i=1}^k left(1+frac 1iright))]이므로
[math(displaystyle n!=lim_{ktoinfty}frac{k!left(k+1right)^n}{dfrac{(k+n)!}{n!}} = lim_{k to infty} frac{displaystyle cancel{k!} prod_{i=1}^k left( 1+frac 1i right)^n}{displaystyle cancel{k!} prod_{i=1}^k left(1+frac ni right)} = lim_{k to infty} prod_{i=1}^k frac{left(1+dfrac 1i right)^n}{1+dfrac ni} = prod_{k=1}^infty frac{left(1+dfrac 1k right)^n}{1+dfrac nk})]
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가 되며 위 식에서 양변을 [math(n)]으로 나눈 형태가 바로 오일러 무한곱꼴이다.
이후 반년도 채 되지 않은 1730년 1월 8일에 오일러는 골드바흐에게 다시 편지를 보내 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 보였다. 이것이 적분꼴로 정의된 팩토리얼의 최초 형태이며 부분적분을 이용하면 우변으로부터 좌변을 쉽게 유도할 수 있다.[7]
이후 반년도 채 되지 않은 1730년 1월 8일에 오일러는 골드바흐에게 다시 편지를 보내 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 보였다. 이것이 적분꼴로 정의된 팩토리얼의 최초 형태이며 부분적분을 이용하면 우변으로부터 좌변을 쉽게 유도할 수 있다.[7]
[math(displaystyle n!=int_0^1 left(-ln tright)^n mathrm{d}t)]
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[math(-ln t=x)]로 치환하면 [math(t=e^{-x})], [math(mathrm{d}t=-e^{-x}mathrm{d}x)], [math(begin{cases} t to 0 Rightarrow x to infty \ t to 1 Rightarrow x to 0 end{cases})]이므로
[math(displaystyle n!=int_0^1 left(-ln tright)^n mathrm{d}t = -int_infty^0 x^n e^{-x}mathrm{d}x = int_0^infty x^n e^{-x}mathrm{d}x \ therefore Gamma(n)=(n-1)! = int_0^infty x^{n-1} e^{-x}mathrm{d}x)]
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19세기에 들어서, 가우스는 오일러 무한곱꼴을 다음과 같이 고쳐썼다.[8]에 [math(z)]를, [math(k)]에 [math(n)]을 대입해보면 알 수 있듯이 아래 식은 감마 함수의 단순항꼴이다.]
[math(displaystyle (n-1)! = lim_{k to infty} frac{k!,k^n}{displaystyle prod_{i=0}^k (n+i)})]
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[math(displaystyle prod_{i=0}^k (n+i)=frac{(n+k)!}{(n-1)!})]이므로 위 식은
[math(displaystyle (n-1)! = lim_{k to infty} frac{k! left(n-1right)!,k^n}{(n+k)!})]
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로 변형할 수 있는데 이는 오일러 무한곱꼴 유도할 때 처음에 썼던 극한값
[math(displaystyle lim_{ktoinfty}frac{left(k+1right)^n}{displaystyle prod_{i=1}^n (k+i)}=lim_{ktoinfty}frac{left(k+1right)^n}{dfrac{(k+n)!}{k!}}=lim_{ktoinfty}frac{k!left(k+1right)^n}{(k+n)!})]
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에서 분자의 [math(left(k+1right)^n)]을 [math(k^n)]으로 바꿔도 위 값이 여전히 [math(1)]에 수렴함을 의미[9]으로 바꿔보면 바로 알 수 있다.]하며, 오일러 무한곱꼴을 좀 더 간단하게 나타낸 형태라고 볼 수 있다.
바이어슈트라스는 복소수로 확장된 단순항꼴에서 오일러-마스케로니 상수를 묶어내어 또다른 무한곱꼴을 유도했는데, 사실 그는 양이 아닌 정수에서 극을 갖는 감마 함수를 꺼려하여 감마 함수의 역수 [math(dfrac 1{Gamma(z)})]에 대한 무한곱꼴을 유도했던 것으로 알려져 있다. 물론 굳이 역수를 취하지 않아도 도출해 낼 수 있으며, 이 아이디어에 착안하여 그는 바이어슈트라스 곱 정리를 증명하는 데에 이른다.
바이어슈트라스는 복소수로 확장된 단순항꼴에서 오일러-마스케로니 상수를 묶어내어 또다른 무한곱꼴을 유도했는데, 사실 그는 양이 아닌 정수에서 극을 갖는 감마 함수를 꺼려하여 감마 함수의 역수 [math(dfrac 1{Gamma(z)})]에 대한 무한곱꼴을 유도했던 것으로 알려져 있다. 물론 굳이 역수를 취하지 않아도 도출해 낼 수 있으며, 이 아이디어에 착안하여 그는 바이어슈트라스 곱 정리를 증명하는 데에 이른다.
[math(begin{aligned} displaystyle Gamma(z)&=lim_{ntoinfty}frac{n!,n^z}{displaystyle prod_{i=0}^n (z+i)}=lim_{ntoinfty}frac 1z frac{n!,n^z}{displaystyle prod_{i=1}^n (z+i)} = lim_{n to infty} frac 1z frac{n!,e^{ln n^z}}{displaystyle prod_{i=1}^n left{ i left(1+dfrac zi right) right}} = lim_{n to infty} frac 1z frac{cancel{n!},e^{z ln n}}{displaystyle cancel{n!} prod_{i=1}^n left(1+dfrac zi right)} \ &= lim_{n to infty} frac 1z frac{e^{z ln n}}{displaystyle prod_{i=1}^n left(1+dfrac zi right)}=lim_{ntoinfty}frac 1z frac{e^{zln n}}{{displaystyle prodlimits_{i=1}^n e^{frac zi}}}frac{{displaystyle prodlimits_{i=1}^n e^{frac zi}}}{{displaystyle prod_{i=1}^n left(1+dfrac zi right)}}=lim_{n to infty} frac 1z frac{e^{z ln n}}{e^{z sumlimits_{i=1}^n frac 1i}} frac{displaystyle prod_{i=1}^n e^{frac zi}}{displaystyle prod_{i=1}^n left(1+dfrac zi right)} = lim_{n to infty} frac 1z e^{z left( ln n - sumlimits_{i=1}^n frac 1i right)} prod_{i=1}^n frac{e^{frac zi}}{1+dfrac zi} \ &= frac 1z e^{-gamma z} prod_{n=1}^infty frac{e^{frac zn}}{1+dfrac zn}end{aligned})]
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4. 성질
[math(Gamma(n)=(n-1)!)] ([math(n)]이 자연수일 경우)
[math(Gamma(n+1)=nGamma(n))]
[math(Gamma(1)=1)]
다만 [math(0)]과 [math(1)] 사이의 계산에는 감마 함수의 정의에 있는 적분을 계산해야 하며, 음수로 가면 더욱 골치 아파진다.[10] 간격으로 종유석과 석순을 교대로 그린다고 생각하면 된다.] 아래 그래프에도 나와 있겠지만 양이 아닌 정수에서는 감마 함수가 정의되지 않는데, 이는 [math((-1)!times 0=0!)]을 만족하는 [math((-1)!)]의 값이 존재하지 않기 때문이다. 좌변은 [math(0)], 우변은 [math(1)]이므로 얄짤없이 모순이다. [math((-1)!)]이 없으므로, 당연히 그보다 작은 정수의 계승 또한 존재하지 않는다.
[math([-5,,5])] 범위의 감마 함수 그래프
예를 들어, [math(Gamma(1+3)=3!=3times 2times 1=6)], [math(Gamma(1+5)=5!=5times 4times 3times 2times 1=120)]으로 양의 정수를 넣었을 때는 모두 양의 정수이지만, 소수인 [math(1.5)]를 넣으면 [math(Gamma(1+1.5)=1.5!=dfrac 34 Gammaleft(dfrac 12 right)=dfrac 34 sqrtpiapprox 1.32934)]인 무리수가 된다.
[math(i!=Gamma(1+i)approx 0.4980-0.1549i)]
복소수에 대한 감마 함수는 이렇게 정의된다. 오일러의 공식에서 유도할 수 있다.
정규분포나 제타 함수와도 관련이 있다. 변수를 치환하거나 특정 연산을 취하면 결과로 튀어나온다.
예를 들어, [math(Gamma(1+3)=3!=3times 2times 1=6)], [math(Gamma(1+5)=5!=5times 4times 3times 2times 1=120)]으로 양의 정수를 넣었을 때는 모두 양의 정수이지만, 소수인 [math(1.5)]를 넣으면 [math(Gamma(1+1.5)=1.5!=dfrac 34 Gammaleft(dfrac 12 right)=dfrac 34 sqrtpiapprox 1.32934)]인 무리수가 된다.
[math(i!=Gamma(1+i)approx 0.4980-0.1549i)]
복소수에 대한 감마 함수는 이렇게 정의된다. 오일러의 공식에서 유도할 수 있다.
정규분포나 제타 함수와도 관련이 있다. 변수를 치환하거나 특정 연산을 취하면 결과로 튀어나온다.
4.1. 반사 공식
정수가 아닌 [math(z)]에 대하여, [math(Gamma(z)Gamma(1-z)=dfrac{pi}{sin,(zpi)})]
4.2. 르장드르의 2배 공식
[math(Gamma(2z)=dfrac{2^{2z-1}}{sqrtpi}Gamma(z)Gammabiggl(z+dfrac 12 biggr))]
말 그대로 2배 공식이다. 마치 삼각함수의 배각 공식과 비슷한 맥락이라 생각하면 된다.
4.3. 스털링 공식
감마 함수 자체는 기본적인 초등함수로 나타낼 수 없지만, 만일 z의 값이 커질 경우 다음과 같은 형태로 근사시킬 수 있다.
[math(Gamma(z+1)simsqrt{2pi z}left(dfrac zeright)^z)]
[math(z)]가 한없이 커질수록 점점 원래 함수에 가깝게 된다. 점근 급수(Asymptotic series)에 대해 참조해 볼 것.
위 식을 잘 이용하면
[math(ln N!=Nln N-N+O(ln N))]
임을 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 증명해냈다.
위 식을 잘 이용하면
[math(ln N!=Nln N-N+O(ln N))]
임을 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 증명해냈다.
5. 미적분
[math(lnGamma(z))]의 [math(n)]계 도함수들을 폴리감마 함수(Polygamma Functions)라고 하며, 많은 서적들에서는 보통 [math(psi_n(z))]으로 표기한다.
[math(psi_n(z)=dfrac{mathrm{d}^{n+1}}{mathrm{d}z^{n+1}}lnGamma(z))]
특히
[math(displaystyle begin{aligned} psi(z) &equiv psi_0(z) = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z} lnGamma(z) = dfrac{Gamma'(z)}{Gamma(z)} \
psi_1(z) &= dfrac{mathrm{d}^{2}}{mathrm{d}z^{2}} lnGamma(z) = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z} biggl(dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z} lnGamma(z)biggr) = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z}psi(z)
end{aligned} )]
를 각각 다이감마 함수(Digamma function), 트라이감마 함수(Trigamma function)라고 하고, 다이감마 함수의 식으로부터 감마 함수의 도함수를 도출할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} psi(z) &equiv psi_0(z) = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z} lnGamma(z) = dfrac{Gamma'(z)}{Gamma(z)} \
psi_1(z) &= dfrac{mathrm{d}^{2}}{mathrm{d}z^{2}} lnGamma(z) = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z} biggl(dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z} lnGamma(z)biggr) = dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}z}psi(z)
end{aligned} )]
를 각각 다이감마 함수(Digamma function), 트라이감마 함수(Trigamma function)라고 하고, 다이감마 함수의 식으로부터 감마 함수의 도함수를 도출할 수 있다.
[math(Gamma'(z)=Gamma(z)psi(z))]
[1] 적분꼴은 [math(z)[2] 적분꼴은 [math(z)[3] 간단히 말하면 [math(dfrac 1x)[4] 이때까지만 해도 정의역은 [math(0)[5] 베르누이 정리의 그 베르누이 맞다. 베르누이 수열을 발견한 야콥 베르누이와는 다른 인물이다.[6] 역시 골드바흐 추측의 그 골드바흐이다. 오일러와 친했던 것으로 알려져 있다.[7] 물론 당시 오일러는 편지에서 지수함수의 적분에 대한 특징과 극한, 로피탈의 정리를 통해 유도하는 방식으로 증명했다.[8] [math(n)[9] 상술한 극한값 증명 과정에서 분자를 [math(k^n)[10] 음수의 감마 함수 그래프는 [math(1)