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1. 개요
2. 정의 및 설명
- [math( f_0(n) = n+1 )]
- 서수 [math( alpha )]에 대해 [math( f_{alpha +1}(n) = f_{alpha}^n (n) )]
- [math( alpha )]가 극서수라면 [math( f_{alpha}(n) = f_{alpha [n]}(n) )]
이해를 돕기 위해서 정의를 풀어서 다시 쓰면 다음과 같다.
- 서수 0에 해당하는 함수는 '다음 수'라는 연산이다.
- 서수가 다른 서수 [math(alpha)]의 다음 서수인 경우, [math(alpha)]에 대응하는 함수를 [math(n)]번 합성한다.
- 서수가 더 작은 서수들의 극한서수인 경우, 그 서수를 정의하는 더 작은 서수들의 수열(fundamental sequence)에서 [math(n)]번째 서수를 대입한다.
각 단계는 하나의 함수를 가리킨다. 정의 (2)에 의해서 같은 단계의 함수에 더 큰 수를 집어넣는 것보다 단계를 높이는 것이 결과값을 훨씬 크게 만든다. 서수가 조금만 커져도 우주 원자 수 정도는 가뿐히 넘는다. 대신 1, 2를 대입한다면 매우 큰 가산서수를 가져와도 값이 3을 넘지 못하는 경우가 있기 때문에 높은 단계의 크기를 체감하고 싶을 때에는 보통 [math(n)]에 3을 대입하는 경우가 많다.
3. 계산 예시
정의에 의해 서수 0에 해당하는 함수는 '다음 수'라는 연산이다. [math( f_0(n) = n+1, f_0(100)=101 )]
서수 1에 해당하는 함수는 '다음 수'를 [math(n)]번 반복한 것이므로 [math( n+n=2n )]이다. [math( f_1(n) = 2n, f_1(100)=200 )]
서수 2에 해당하는 함수는 2배하기를 [math(n)]번 반복하는 것이므로[1]을 [math(n)]번 더하는게 아니라 '자기 자신을 더하는 것'을 [math(n)]번 반복하는 것임에 유의해야 한다.] [math(2 times 2 times ... times 2 times n = n times 2^n)]이다. [math(f_2(n) = n times 2^n, f_2(100)=100 times 2^{100} sim 1.267)]구
서수 3에 해당하는 함수는 [math( n times 2^n, (n times 2^n) times 2^{(n times 2^n)}, ... )] 이런식으로 [math(n)]번 합성하는 것이다.[2]은 [math((3×2^3)×2^{(3×2^3)})×2^{((3×2^3)×2^{(3×2^3)})}))]과 같고 이는 [math(24×2^{24}×2^{24×2^{24}})] 이므로 약 [math(6.89×10^{121210694})]이다.]줄임표를 사용하지 않고 정확하게 나타내기는 힘들고 근삿값은 [math( (2^n)^{(2^n)^{...^{(2^n)}}} )]으로 [math( 2^n uparrow uparrow n )]과 같다. [math( uparrow uparrow )]의 의미는 커누스 윗화살표 표기법 참고.
서수 4에 해당하는 함수는 위의 함수를 [math( n )]번 합성한 것이므로 근삿값으로 [math( 2 uparrow uparrow 2 uparrow uparrow.. uparrow uparrow n )]이고 이것은 [math( 2 uparrow uparrow uparrow n)]보다 크다.
서수 5에 해당하는 함수는 위의 함수를 [math(n)]번 합성한 것이므로 근삿값으로 [math(2 uparrow uparrow uparrow 2 uparrow uparrow uparrow 2 uparrow uparrow uparrow ... uparrow uparrow uparrow n)]이고 이것은 [math(2 uparrow uparrow uparrow uparrow n)]보다 크다. 즉 유한 서수 [math(a+1)]에 대한 함수는 대략 크누스의 윗 화살표 표기법으로 화살표가 [math(a)]개 있는 것과 비슷하다. (화살표 앞뒤에 붙는 수의 크기는 2 이상이기만 하면 크게 중요하지 않다.)
그러면 윗화살표 표기법만 가지고 모든 단계를 근사할 수 있을까? 아니다. 아직 정의 (3)은 쓰지도 않았다. 여기서 가장 작은 극서수인 [math(omega)]가 등장한다.
서수 [math(omega)]에 해당하는 함수는 정의(3)에 의해 [math(omega)]에 n을 대입해서 n단계 함수가 된다. [math(omega)]의 fundamental sequence의 [math(n)]번째 항은 [math(n)]이기 때문이다. 즉 [math(f_{omega}(100)=f_{100}(100))]이다.
서수 [math(omega+1)] 에 해당하는 함수 [math(f_{omega+1}(n))]은 절대 [math(f_{n+1}(n))]가 아니다. [math(omega+1)]은 극서수가 아니기 때문에 정의 (2)에 의하여 [math(f_{omega+1}(n))]은 [math(f_{omega}(n))]를 [math(n)]번 중첩하는 것인데, [math(f_{100}(100))]을 계산해서 나오는 엄청 큰 수를 [math(A)]라고 하면 서수 [math(A)]에 해당하는 함수인 [math(f_A(A))]를 계산해야 하고 그 결과를 또 단계에 넣고 하는 것을 100번 반복해야 [math(f_{omega+1}(100))]이 나온다.
[math(f_{omega2}(n))]는 [math(omega2)]가 서수의 수열 [math(omega+1, omega+2, cdots)]로 정의되기 때문에, 정의 (3)에 의해 [math(f_{omega+n}(n))]와 같다.[3]라고 쓰면 안된다. 서수 연산에서는 교환법칙이 성립하지 않아서, [math( 2 times omega)]와 [math( omega)]가 같다.] 이를 반복하면 [math(f_{omega (m+1)}(n))]는 [math(f_{omega m+n})]가 된다.
[math(f_{omega^2}(n))]는 같은 원리로 정의 (3)을 사용하여 [math(f_{omega n}(n))]가 되고, [math(f_{omega^omega}(n))]는 [math(f_{omega^n}(n))]이 된다.
이제 몇몇 큰 수들을 이 표기법으로 어떻게 나타낼 수 있는지 알아보자.
구골의 경우, 약간의 계산을 거치면 [math(f_{2}(323)=323times2^{323}lt10^{100}lt324times2^{324}=f_{2}(324))]임을 알 수 있다. 하지만 서수 3에 대한 함수로는 [math(f_{3}(2)=2048lt10^{100}lt f_{3}(3))]이 되어, 비교하는 의미가 없어진다.
스큐스 수의 경우, 대략 [math(f_3(4)lt e^{e^{e^{79}}}lt f_3(5)lt f_4(2))]이다.
그레이엄 수의 경우, 윗 화살표가 [math(g_{63})]개이므로 유한 서수로 나타내기에는 너무 크다. 대신, [math(g_{1}=3uparrowuparrowuparrowuparrow3lt f_{64}(64))]에서 시작하여 [math(g_{2}lt f_{f_{64}(64)}(f_{64}(64)))]를 보이고, 이 과정을 64번 반복하면 [math(g_{64}lt f_{omega+1}(64))]인 것을 알 수 있다.[4]로 근사할 수 있다.]
이처럼 큰 수들은 그 크기에 "대응"하는 서수를 가지는 경우가 많기 때문에, 큰 수들의 크기를 편리하게 비교할 수 있다.
서수 1에 해당하는 함수는 '다음 수'를 [math(n)]번 반복한 것이므로 [math( n+n=2n )]이다. [math( f_1(n) = 2n, f_1(100)=200 )]
서수 2에 해당하는 함수는 2배하기를 [math(n)]번 반복하는 것이므로[1]을 [math(n)]번 더하는게 아니라 '자기 자신을 더하는 것'을 [math(n)]번 반복하는 것임에 유의해야 한다.] [math(2 times 2 times ... times 2 times n = n times 2^n)]이다. [math(f_2(n) = n times 2^n, f_2(100)=100 times 2^{100} sim 1.267)]구
서수 3에 해당하는 함수는 [math( n times 2^n, (n times 2^n) times 2^{(n times 2^n)}, ... )] 이런식으로 [math(n)]번 합성하는 것이다.[2]은 [math((3×2^3)×2^{(3×2^3)})×2^{((3×2^3)×2^{(3×2^3)})}))]과 같고 이는 [math(24×2^{24}×2^{24×2^{24}})] 이므로 약 [math(6.89×10^{121210694})]이다.]줄임표를 사용하지 않고 정확하게 나타내기는 힘들고 근삿값은 [math( (2^n)^{(2^n)^{...^{(2^n)}}} )]으로 [math( 2^n uparrow uparrow n )]과 같다. [math( uparrow uparrow )]의 의미는 커누스 윗화살표 표기법 참고.
서수 4에 해당하는 함수는 위의 함수를 [math( n )]번 합성한 것이므로 근삿값으로 [math( 2 uparrow uparrow 2 uparrow uparrow.. uparrow uparrow n )]이고 이것은 [math( 2 uparrow uparrow uparrow n)]보다 크다.
서수 5에 해당하는 함수는 위의 함수를 [math(n)]번 합성한 것이므로 근삿값으로 [math(2 uparrow uparrow uparrow 2 uparrow uparrow uparrow 2 uparrow uparrow uparrow ... uparrow uparrow uparrow n)]이고 이것은 [math(2 uparrow uparrow uparrow uparrow n)]보다 크다. 즉 유한 서수 [math(a+1)]에 대한 함수는 대략 크누스의 윗 화살표 표기법으로 화살표가 [math(a)]개 있는 것과 비슷하다. (화살표 앞뒤에 붙는 수의 크기는 2 이상이기만 하면 크게 중요하지 않다.)
그러면 윗화살표 표기법만 가지고 모든 단계를 근사할 수 있을까? 아니다. 아직 정의 (3)은 쓰지도 않았다. 여기서 가장 작은 극서수인 [math(omega)]가 등장한다.
서수 [math(omega)]에 해당하는 함수는 정의(3)에 의해 [math(omega)]에 n을 대입해서 n단계 함수가 된다. [math(omega)]의 fundamental sequence의 [math(n)]번째 항은 [math(n)]이기 때문이다. 즉 [math(f_{omega}(100)=f_{100}(100))]이다.
서수 [math(omega+1)] 에 해당하는 함수 [math(f_{omega+1}(n))]은 절대 [math(f_{n+1}(n))]가 아니다. [math(omega+1)]은 극서수가 아니기 때문에 정의 (2)에 의하여 [math(f_{omega+1}(n))]은 [math(f_{omega}(n))]를 [math(n)]번 중첩하는 것인데, [math(f_{100}(100))]을 계산해서 나오는 엄청 큰 수를 [math(A)]라고 하면 서수 [math(A)]에 해당하는 함수인 [math(f_A(A))]를 계산해야 하고 그 결과를 또 단계에 넣고 하는 것을 100번 반복해야 [math(f_{omega+1}(100))]이 나온다.
[math(f_{omega2}(n))]는 [math(omega2)]가 서수의 수열 [math(omega+1, omega+2, cdots)]로 정의되기 때문에, 정의 (3)에 의해 [math(f_{omega+n}(n))]와 같다.[3]라고 쓰면 안된다. 서수 연산에서는 교환법칙이 성립하지 않아서, [math( 2 times omega)]와 [math( omega)]가 같다.] 이를 반복하면 [math(f_{omega (m+1)}(n))]는 [math(f_{omega m+n})]가 된다.
[math(f_{omega^2}(n))]는 같은 원리로 정의 (3)을 사용하여 [math(f_{omega n}(n))]가 되고, [math(f_{omega^omega}(n))]는 [math(f_{omega^n}(n))]이 된다.
이제 몇몇 큰 수들을 이 표기법으로 어떻게 나타낼 수 있는지 알아보자.
구골의 경우, 약간의 계산을 거치면 [math(f_{2}(323)=323times2^{323}lt10^{100}lt324times2^{324}=f_{2}(324))]임을 알 수 있다. 하지만 서수 3에 대한 함수로는 [math(f_{3}(2)=2048lt10^{100}lt f_{3}(3))]이 되어, 비교하는 의미가 없어진다.
스큐스 수의 경우, 대략 [math(f_3(4)lt e^{e^{e^{79}}}lt f_3(5)lt f_4(2))]이다.
그레이엄 수의 경우, 윗 화살표가 [math(g_{63})]개이므로 유한 서수로 나타내기에는 너무 크다. 대신, [math(g_{1}=3uparrowuparrowuparrowuparrow3lt f_{64}(64))]에서 시작하여 [math(g_{2}lt f_{f_{64}(64)}(f_{64}(64)))]를 보이고, 이 과정을 64번 반복하면 [math(g_{64}lt f_{omega+1}(64))]인 것을 알 수 있다.[4]로 근사할 수 있다.]
이처럼 큰 수들은 그 크기에 "대응"하는 서수를 가지는 경우가 많기 때문에, 큰 수들의 크기를 편리하게 비교할 수 있다.
4. 큰 수의 서열
- 서수 2에 대응: [math(f_2(3)=24)]에서 [math(f_3(3)approx2^{402000000})]까지.
- 서수 3에 대응: [math(f_3(3))]에서 [math(f_4(3))]까지. 테트레이션으로 쉽게 나타낼 수 있는 수들이 여기 대응된다.
- [math(omega)]에 대응: 아커만 함수, 커누스 윗화살표 표기법
- [math(omega2)]: BEAF에서 {a,b,n,2}
- [math(omega^2)]: 콘웨이 연쇄 화살표 표기법
- [math(omega^2+1)]: 피쉬 수1
- [math(omega^{omega^{omega}})]: BEAF에서 {a,b(0,1)2}
- [math(epsilon_0)]: 굿스타인 함수
5. FGH의 단계
5.1. 오메가 이전 단계
- [math(f_{0}(n) = n+1)]
- [math(f_{1}(n) = n+n = 2n)]
- [math(f_{2}(n) = f{_{1}^{n}}(n) = 2(2(...2(2n))) = 2^{n}n>2 uparrow n = 2^{n})]
- [math(f_{3}(n) approx 2^{n} uparrow uparrow n > 2 uparrow uparrow n)]
- [math(f_{4}(n) approx f_{3}(n) uparrowuparrowuparrow n geq (2^{n} uparrow uparrow n) uparrowuparrowuparrow n)]
- [math(f_{m}(n) approx f_{m-1}(n) uparrow^{m-1} n geq ((...(2uparrow n)uparrow^2n)uparrow^3n)...)uparrow^{m-1} n)] [8]은 윗방향 화살표가 [math(m-1)]개 있다는 뜻이다.]
5.2. 오메가 단계 1(선형~다항식 단계)
- [math(f_{ω}(n)approx f_{n-1}(n) uparrow^{n-1} n geq ((...(2uparrow n)uparrow^2n)uparrow^3n)...)uparrow^{n-1} n)]
- [math(f_{ω+1}(n)=underbrace {f_{ω}(f_{ω}(f_{ω}(...f_{ω}(n)...)))}_{n})]
- [math(f_{ω+a+1}(n)=underbrace {f_{ω+a}(f_{ω+a}(f_{ω+a}(...f_{ω+a}(n)...)))}_{n})]
- [math(f_{ω2}(n)=f_{ω+ω}(n)=f_{ω+n}(n))]
- [math(f_{ω3}(n)=f_{ω2+ω}(n)=f_{ω2+n}(n)=underbrace {f_{ω2+n-1}(f_{ω2+n-1}(f_{ω2+n-1}(...f_{ω2+n-1}(n)...)))}_{n})]
5.3. 오메가 단계 2(지수화 단계 이상)
- [math(f_{ω^2}(n)=f_{ωω}(n)=f_{ωn}(n)=f_{ω(n-1)+ω}(n))]
- [math(f_{ω^3}(n)=f_{ω^2×ω}(n)=f_{ω^2×n}(n)=f_{ω^2×(n-1)+ω^2}(n))]
- [math(f_{ω^ω}(n)=f_{ω^n}(n)=f_{ω^{n-1}×ω}(n)=f_{ω^{n-1}×n}(n)=f_{ω^{n-1}×(n-1)+ω^{n-1}}(n))]
- [math(f_{ω^{ω+1}}(n)=f_{ω^ω×ω}(n)=f_{ω^ω×n}(n)=f_{ω^ω×(n-1)+ω^ω}(n))]
- [math(f_{ω^{ω2}}(n)=f_{ω^{ω+ω}}(n)=f_{ω^{ω+n}}(n)=f_{ω^{ω+(n-1)}×ω}(n)=f_{ω^{ω+(n-1)}×n}(n)=f_{ω^{ω+(n-1)}×(n-1)+ω^{ω+(n-1)}}(n))]
- [math(f_{ω^{ω^2}}(n)=f_{ω^{ωω}}(n)=f_{ω^{ωn}}(n)=f_{ω^{ω(n-1)+ω}}(n))]
- [math(f_{ω^{ω^ω}}(n)=f_{ω^{ω^n}}(n)=f_{ω^{ω^{n-1}×ω}}(n))]
5.4. 엡실론 단계
[math(epsilon_0)]은 [math({1,ω,ω^ω,ω^{ω^ω},cdots})]의 극서수이고, [math(epsilon_{a+1})]은 [math({epsilon_a+1,ω^{epsilon_a+1},ω^{ω^{epsilon_a+1}},cdots})]의 극서수이다.
*[math(f_{epsilon_0}(n)=f_{ω↑↑(n-1)}(n))]
*[math(f_{epsilon_{a+1}}(n)=f_{ω^{ω^{cdot^{cdot^{cdot^{epsilon_a+1}}}}}}(n))] ([math(ω)]가 [math(n-1)]개)[10]다음에 나오는 [math(+1)]의 위치에 유의한다.]
*[math(f_{epsilon_0}(n)=f_{ω↑↑(n-1)}(n))]
*[math(f_{epsilon_{a+1}}(n)=f_{ω^{ω^{cdot^{cdot^{cdot^{epsilon_a+1}}}}}}(n))] ([math(ω)]가 [math(n-1)]개)[10]다음에 나오는 [math(+1)]의 위치에 유의한다.]
5.5. 제타-에타 단계
- [math(f_{zeta_0}(n)=f_{epsilon_{epsilon_{._{._{._{epsilon_0}}}}}}(n))] ([math(epsilon)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{zeta_{a+1}}(n)=f_{epsilon_{epsilon_{._{._{._{zeta_a+1}}}}}}(n))] ([math(epsilon)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{eta_0}(n)=f_{zeta_{zeta_{._{._{._{zeta_0}}}}}}(n)=f_{zeta_{eta_0}}(n))] ([math(zeta)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{eta_{a+1}}(n)=f_{zeta_{zeta_{._{._{._{eta_a+1}}}}}}(n))] ([math(zeta)]가 [math(n-1)]개)
5.6. 베블런 함수 단계
그리스 문자는 무한하지 않기 때문에, 다음 단계로 나아가기 위해 앞의 극서수들을 일반화한 베블런 함수 [math(varphi(n))]을 사용한다.
1. [math(varphi_0(a)=omega^a )]
2. 서수 [math(alpha)]에 대해, [math(varphi_alpha(0)[n]=varphi^n_{alpha-1}(0))]
3. [math(varphi_alpha(m)[n]=varphi^n_{alpha-1}(varphi_alpha(m-1)+1))]
4. [math(alpha)]가 극서수라면, [math(varphi_alpha(0)[n]=varphi_n(0))]
5. [math(varphi_alpha(m)[n]=varphi_n(varphi_alpha(m-1)+1))]
2. 서수 [math(alpha)]에 대해, [math(varphi_alpha(0)[n]=varphi^n_{alpha-1}(0))]
3. [math(varphi_alpha(m)[n]=varphi^n_{alpha-1}(varphi_alpha(m-1)+1))]
4. [math(alpha)]가 극서수라면, [math(varphi_alpha(0)[n]=varphi_n(0))]
5. [math(varphi_alpha(m)[n]=varphi_n(varphi_alpha(m-1)+1))]
5.6.1. 일변수 파이 단계
- [math(f_{varphi_0(a)}(n)=f_{omega^a}(n))]
- [math(f_{varphi_1(a)}(n)=f_{epsilon_a}(n))]
- [math(f_{varphi_2(a)}(n)=f_{zeta_a}(n))]
- [math(f_{varphi_3(a)}(n)=f_{eta_a}(n))]
- [math(f_{varphi_4(0)}(n)=f_{eta_{eta_{._{._{._{eta_0}}}}}}(n))] ([math(eta)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{varphi_{alpha+1}(0)}(n)=f_{varphi_{alpha}(varphi_{alpha}(...varphi_{alpha}(0)...))}(n))] ([math(varphi_alpha)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{varphi_{alpha+1}(beta+1)}(n)=f_{varphi_{alpha}(varphi_{alpha}(...varphi_{alpha+1}(beta)...))}(n))] ([math(varphi_alpha)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{varphi_{alpha}(beta)}(n)=f_{varphi(alpha,beta)}(n))]
5.6.2. 감마 단계
- [math(f_{Gamma_0}(n)=f_{varphi(1,0,0)}=f_{varphi_{varphi_{varphi_{...varphi_{0}(0)...}(0)}(0)}(0)}(n))] ([math(varphi)]가 [math(n-1)]개) [math(=f_{varphi(varphi(varphi(...varphi(0,0)...,0),0),0)})]) ([math(varphi)]가 [math(n-1)]개)
5.6.3. 다변수 파이 단계
- [math(f_{varphi(a,b,c...d,e+1)}(n)=f_{varphi(a,b,c...d-1,varphi(a,b,c...d-1,varphi(a,b,c...d-1,varphi(a,b,c...d,e)...))}(n))] ([math(varphi)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{varphi(a,b,c...d+1,0,0,0...0)}(n)=f_{varphi(a,b,c...d,varphi(a,b,c...d,varphi(a,b,c...d,...varphi(a,b,c...d,0,0,0...0)...)0,0...0)0,0...0)}(n))] ([math(varphi)]가 [math(n-1)]개)
- [math(f_{varphi(0,0,0....0,a,b,0,c)}(n)=f_{varphi(a,b,0,c)}(n))]
- [math(varphi(1,0,0,0))]을 아커만 서수라고 하고, [math(varphi(underbrace{1,0,0,...,0,0)}_omega)]를 작은 베블런 서수라고 한다.
5.7. 서수 붕괴 함수 단계
5.7.1. 바흐만의 프사이 함수 단계 1
- [math(f_{psi(0)}(n)=f_{epsilon_0}(n))]
- [math(f_{psi(1)}(n)=f_{epsilon_1}(n))]
- [math(f_{psi(omega)}(n)=f_{epsilon_omega}(n))]
- [math(f_{psi(Omega)}(n)=f_{zeta_0}(n))]
- [math(f_{psi(Omega+1)}(n)=f_{epsilon_{zeta_0+1}}(n))]
- [math(f_{psi(Omega+a)}(n)=f_{epsilon_{zeta_0+a}}(n))]
- [math(f_{psi(Omega2)}(n)=f_{psi(Omega+Omega)}(n)=f_{zeta_1}(n))]
- [math(f_{psi(Omega3)}(n)=f_{zeta_2}(n))]
- [math(f_{psi(Omega^2)}(n)=f_{psi(Omega×Omega)}(n)=f_{eta_0}(n)=f_{varphi_3(0)}(n))]
- [math(f_{psi({Omega^2}2)}(n)=f_{psi(Omega^2 +Omega^2)}=f_{eta_1}(n))]
- [math(f_{psi(Omega^3)}=f_{varphi_4(0)}(n))]
- [math(f_{psi(Omega^omega)}(n)=f_{varphi_omega(0)}(n)=f_{varphi(omega,0)}(n))]
- [math(f_{psi(Omega^Omega)}(n)=f_{varphi(1,0,0)}(n)=f_{Gamma_0}(n))]
- [math(f_{psi(Omega^{Omega^2})}(n)=f_{varphi(1,0,0,0)}(n))]
- [math(f_{psi(Omega^{Omega^omega})}(n)=f_{varphi(1,underbrace{0,0,...,0,0)}_omega}(n))]
더 나아가
- [math(f_{psi(Omega^{Omega^Omega})}(n))]
를 생각 할 수 있고, 이 밑첨자를 큰 베블런 서수(Large Veblen Ordinal)라고 한다.
5.7.2. 바흐만의 프사이 함수 단계 2
- [math(f_{psi_1(0)}(n)=f_{psi(epsilon_{Omega+1})}(n)=f_{psi(Omega^{Omega^{Omega^{^{.^{.^.}}}}})}(n))]
- [math(f_{psi_1(1)}(n)=f_{psi(epsilon_{Omega+2})}(n))]
- [math(f_{psi_1(Omega)}(n)=f_{psi(zeta_{Omega+1})}(n))]
- [math(f_{psi_1(Omega^2)}(n)=f_{psi(eta_{Omega+1})}(n))]
- [math(f_{psi_1(Omega^{Omega})}(n)=f_{psi(Gamma_{Omega+1})}(n))]
- [math(f_{psi_2(0)}(n)=f_{psi_1({epsilon_{Omega+1}})}(n)=f_{psi_1(Omega^{Omega^{Omega^{^{.^{.^.}}}}})}(n))]
- [math(f_{psi_{psi(0)}(0)}(n)=f_{psi_{epsilon_0}(0)}(n)=f_{psi_{omega^{omega^{omega^{.^{.^.}}}}}(0)}(n))]
- [math(f_{psi_{psi_1(0)}(0)}(n)=f_{psi_{psi(epsilon_{Omega+1})}(0)}(n)=f_{psi_{psi(Omega^{Omega^{.^{.^.}}})}(0)}(n))]
- [math(f_{psi_{psi_{psi(0)}(0)}(0)}(n)=f_{psi_{psi_{epsilon_0}(0)}(0)}(n))]
6. 왜 3이 기준인가?
[math(Gamma_0)]에 대해, [math(f_{Gamma_0}(2))]를 구해보자. 이 서수는 [math({1, varphi_1(0), varphi_{ varphi_1(0)}(0), varphi_{ varphi_{ varphi_1(0)}(0)}(0), cdots})]의 극서수이므로 이것은 [math(f_{varphi_1(0)}(2)=f_{epsilon_0}(2))]과 같다. [math(epsilon_0)]은 [math({1, omega, omega^omega, omega^{omega^omega} cdots})]의 극서수라서, 이것은 [math(f_{omega}(2))]와 같고, [math(f_{omega}(2)=f_{2}(2)=8)]이 된다. 이렇듯 많은 극서수를 정의하는 수열이 1부터 시작하므로, 2 이하의 수는 계산이 너무 쉽게 끝나게 된다. 만약 [math(Gamma_0+1)]과 같이 극서수가 아니라 따름서수라면 [math(f_{Gamma_0+1}(2)=f_{Gamma_0}(f_{Gamma_0}(2))=f_{Gamma_0}(8))]처럼 재귀를 통해 값이 3 이상이 되어 그나마 낫다.
나아가서 1을 넣으면 서수가 무엇이든 결과값이 2로 고정된다. fundamental sequence가 1로 시작하는 극서수[11]는 [math(omega+1)]로 시작한다. 그러나 이렇게 따름서수가 되더라도 [math(omega+1)]에서 [math(+1)]은 사라지고 값은 늘리지 못한채 더 작은 극서수(이 경우에는 [math(omega)])가 되어 끝내는 1이 된다.]인 [math(alpha)]에 대해 [math(f_alpha(1))]를 계산하면 [math(f_1(1)=f_0(1)=2)]가 된다. [math(alpha)]가 따름서수라도 한번만 재귀하게 되어 [math(f_{alpha}(1)=f_{alpha-1}(1))]이므로 재귀를 통해 값을 늘릴 수도 없다.
나아가서 1을 넣으면 서수가 무엇이든 결과값이 2로 고정된다. fundamental sequence가 1로 시작하는 극서수[11]는 [math(omega+1)]로 시작한다. 그러나 이렇게 따름서수가 되더라도 [math(omega+1)]에서 [math(+1)]은 사라지고 값은 늘리지 못한채 더 작은 극서수(이 경우에는 [math(omega)])가 되어 끝내는 1이 된다.]인 [math(alpha)]에 대해 [math(f_alpha(1))]를 계산하면 [math(f_1(1)=f_0(1)=2)]가 된다. [math(alpha)]가 따름서수라도 한번만 재귀하게 되어 [math(f_{alpha}(1)=f_{alpha-1}(1))]이므로 재귀를 통해 값을 늘릴 수도 없다.
7. 관련 항목
[1] [math(n)[2] 예를 들어 [math(f_3(3))[3] [math(2 times omega)[4] 더 정확히는 [math(f^{63}_{omega}(4))[5] 정작 유명한 TREE(3)은 정확한 크기가 측정되지 않았다.[6] 정작 유명한 TREE(3)은 정확한 크기가 측정되지 않았다.[7] 여기서 [math(uparrow^{m-1})[8] 여기서 [math(uparrow^{m-1})[9] [math(epsilon_a)[10] [math(epsilon_a)[11] 그렇지 않은 극서수도 있다. 예를 들어 [math(omega2)