문서:피쉬 수

분류

큰 수

1. 개요2. 정의3. 접근

3.1. 함수 B(m, n)3.2. S변환3.3. SS변환

4. 자매품5. 여담6. 관련 문서 및 사이트

1. 개요

ふぃっしゅ数
Fish number

일본 2ch에서 큰 수 만들기 배틀의 결과로 탄생한 큰 수. 대략 2002년 무렵에 탄생했으며, 이 수를 만든 사람은 휫슛슈(ふぃっしゅっしゅ)라는 아이디를 쓰는 2채널러.

유명한 큰 수인 그레이엄 수를 소개하는 과정에서 그레이엄 수보다 큰 수를 만들어보자는 취지에서 "가장 커다란 수를 제시하는 녀석이 우승"이라는 스레가 생겼고, 그 과정에서 휫슛슈라는 사람이 정의한 것. 그레이엄 수에 대한 오마주의 의미로, 특정한 자연수와 함수에서 얻어지는 변환을 63회 반복한 수로 정의되어 있다.

일본 인터넷 세계에서는 나름 그레이엄 수보다 큰 일본의 피쉬 수로 지명도가 있으나, 거대함 이외의 수학적인 의미는 없으며[1], 설명도 이해하기 어려운 편. 사실 단순히 크기만 놓고 따지면 이것보다 훨씬 큰 수도 많다. ~~1씩 더하기만 하면 된다.~~

2. 정의

피쉬 수는 또한 여러 버전이 있는데 대표적인 F1(피쉬 수 버전1)의 정의는 다음과 같다.[출처]

자연수-함수쌍에서 자연수-함수쌍으로의 사상 [math(S)]([math(S)]변환)를 아래와 같이 정의한다.
[math(S : [m, f(x)] to [g(m), g(x)])]
단 [math(g(x))]는 아래와 같이 정의된다.
[math(B(0, n) = f(n))]
[math(B(m+1, 0) = B(m, 1))]
[math(B(m+1, n+1) = B(m, B(m+1, n)))]
[math(g(x) = B(x, x))]

자연수-함수-[math(S)]변환쌍에서 자연수-함수-[math(S)]변환쌍으로의 사상 [math(SS)]를 아래와 같이 정의한다.
[math(SS : [m, f(x), S] to [n, g(x), S2])]
단 [math(S2)]와 [math(n, g(x))]는 순서대로 아래와 같이 정의된다.
[math(S2 = S^{f(m)})]
[math(S2 : [m, f(x)] to [n, g(x)])]

[math([3, x+1, S])]에 [math(SS)] 변환을 63번 반복하여 얻은 자연수를 피쉬 수([math(F_1)]), 함수를 피쉬 함수([math(F_1(x))])라 한다.

이 이외에도 6가지 버전이 더 존재한다.

3. 접근

다음은 피쉬 수의 계산 과정을 그나마 이해하기 쉽도록 풀어 쓴 것이다.

3.1. 함수 B(m, n)

위 정의의 [math(B(m, n))]을 조금 풀어 쓰면 다음과 같다.

[math(B(0, n) = f(n))]
[math(B(m, 0) = B(m-1, 1))]
[math(B(m, n) = B(m-1, B(m-1, ... B(m-1, 1) ... )))] (n+1번 중첩)

예를 들어 [math(f(x)=x+1)]일 때 [math(B(2, 2))]를 전개하면 다음과 같다.
[math(B(2, 2))]
[math(=B(1, B(1, B(1, 1))))]
[math(=B(1, B(1, B(0, B(0, 1)))))]
[math(=B(1, B(1, B(0, 2))))]
[math(=B(1, B(1, 3)))]
[math(=B(1, B(0, B(0, B(0, B(0, 1))))))]
[math(=...)]
[math(=7)]

위와 같이 [math(f(x)=x+1)]인 특수한 경우를 아커만 함수(Ackermann function)라고 하고, [math(Ack(m, n))]과 같이 표기한다.

계산 과정이 복잡하다 보니 계산해서 특정한 값이 정말 나오기는 하는 건지 의심스러울 수 있는데, 이는 수학적 귀납법으로 다음과 같이 증명할 수 있다.

[math(m=0)]이면 [math(B(0, n))]은 ([math(n)]의 값에 상관없이) [math(f(n))]의 값을 갖는다.
[math(B(x, n)=B(x-1, B(x-1, ... B(x-1, 1) ... )))]이므로 [math(m=x-1)]일 때 함숫값을 갖는다면 [math(m=x)]일 때도 함숫값을 갖는다.

이 함수는 [math(m)], [math(n)]의 값에 따라 그 결과가 기하급수적이라는 말로는 부족할 정도로 커지며, 특히 [math(m)]이 커질 때 그런 경향을 보인다. 예를 들어 [math(Ack(2, 4))]는 11이지만, [math(Ack(4, 2))]는 19729자리 수가 나온다.

이 아커만 함수 B(n,n)는 fgh로 [math(f_omega(n))]으로 근사할 수 있다.

3.2. S변환

[math(S)]변환은 다음과 같이 표현할 수 있다.

자연수와 함수의 쌍 [math([m, f(x)])]를 준비한다.
주어진 함수 [math(f(x))]로 [math(g(x)=B(x, x))]를 정의한다.
정의한 함수 [math(g(x))]로 [math(g(m))]을 계산한다.
위에서 계산하고 정의한 자연수와 함수의 쌍 [math([g(m), g(x)])]가 변환 결과이다.

시험 삼아 [math([3, x+1])]에 [math(S)]변환을 두 번 반복해 보자.

[math([g(3), g(x)])] = [math([Ack(3, 3), Ack(x, x)])]인데, [math(Ack(m, n) = 2 uparrow^{m-2} (n+3)-3)]임이 알려져 있으므로(#) 변환 결과는 [math([2^6 - 3, Ack(x, x)])] = [math([61, Ack(x, x)])]이 된다.

이를 한 번 더 변환하면 [math([61, Ack(x, x)])] = [math([g(61), g(x)])] = [math([B(61, 61), B(x, x)])]가 된다. 여기서 [math(B(m, n))]이 어떤 함수인지 짐작해 보기 위해 [math(B(2, 4))]를 전개해 보자.

[math(B(2, 4))]
[math(=B(1, B(1, B(1, B(1, B(1, 1))))))]
[math(=...)]
[math(=B(1, B(1, B(1, B(1, 61)))))]
[math(=B(1, B(1, B(1, B(0, B(0, B(0, ... B(0, 1) ... )))))))] ([math(B(0, n))]이 62회 중첩)
[math(=B(1, B(1, B(1, g^{62}(1)))))] ([math(B(0, n)=g(n))]이므로)
[math(=B(1, B(1, B(1, g^{61}(3)))))]
[math(=B(1, B(1, B(1, g^{60}(61)))))]
[math(=...)]

이 시점에서 이미 정상적인 계산이 불가능해진다. [math(Ack(4, 2))]도 이미 19729자리 수가 나오는 마당에 [math(g(61)=Ack(61, 61))]은... 게다가 이건 계산이 끝날 시점도 아니고, 계산 초반이다. 그리고, 원래 계산하려던 것이 [math(B(2, 4))]가 아니라 [math(B(61, 61))]이었음을 생각해 보자.

여담으로, 위에서 전개한 [math(B(2, 4))]의 값을 그나마 짧고 알아보기 쉽게 표현하자면 [math(g^{g^{g^{g^{62}(1)+1}(1)+1}(1)+1}(1))]이 된다.

3.3. SS변환

[math(SS)]변환을 간단히 표현하면 다음과 같다.

자연수, 함수, S변환의 쌍 [math([m, f(x), S])]를 준비한다.
새로운 변환 [math(S2)]를 '변환 [math(S)]를 [math(f(m))]번 반복하는 것'으로 정의한다.
주어진 자연수와 함수의 쌍 [math([m, f(x)])]에 방금 정의한 변환 [math(S2)]를 가해서 새로운 쌍 [math([n, g(x)])]를 얻는다.
위에서 계산하고 정의한 자연수, 함수, S변환의 쌍 [math([n, g(x), S2])]가 변환 결과이다.

피쉬 수는 자연수-함수-[math(S)]변환쌍인 [math([3, x+1, S])]에 [math(SS)]변환을 63번 가해서 나온 자연수로, 피쉬 함수는 같은 과정을 거쳐서 나온 함수로 정의된다.

[math([3, x+1, S])]에 [math(SS)]변환을 가해 보자. [math(f(3)=4)]이므로 새로 정의할 [math(S2)]변환은 [math(S)]변환을 4번 반복하는 것으로 나타낼 수 있다. 하지만 [math([3, x+1])]에 S변환 2번부터 이미 답이 없다는 것을 생각하면... 게다가 1회 변환부터 답이 없는 [math(SS)]변환을 무려 63번이나 반복해야 피쉬 수가 나온다. ~~생각하는 것을 그만두었다.~~

4. 자매품

이 수 자체로도 이미 크고 아름다운데, 현재 시점에서는 자매품이 무려 7개나 있다(...) 다음 내용은 Googology Wiki(큰 수 위키)의 내용을 참고하여 작성하였다.

1번째 피쉬 수(Fish number 1): 이 문서의 정의~SS변환까지에서 다루고 있는 피쉬 수. Fast-growing hierarchy로 나타내면 [math(f_{omega^2+1}(63))] 정도의 값이 나온다.
2번째 피쉬 수(Fish number 2): 위의 1번째 피쉬 수와 마찬가지로 2002년경에 나온 피쉬 수. 1번째 피쉬 수와 정의는 매우 비슷하나(초반은 아예 같다!), 약간의 차이가 있어 1번째 것보다는 값이 약간(?) 더 크게 나온다. Fast-growing hierarchy로 나타내면 [math(f_{omega^3}(63))] 정도의 값이 나온다.
3번째 피쉬 수(Fish number 3): 2002년경에 나온 피쉬 수.Fast-growing hierarchy로 나타내면 [math(f_{omega^{omega+1}63+1}(63))] 정도의 값이 나온다.
4번째 피쉬 수(Fish number 4): 2002년경에 나온 피쉬 수. 2번째로 큰 피쉬 수이며, 튜링 머신을 사용하여 크기가 이전보다 비약적으로 상승하였다.[4] 7번째 피쉬 수처럼 너무 커서 정확한 값을 계산하기는 어렵다.
5번째 피쉬 수(Fish number 5): 2003년경에 나온 피쉬 수.Fast-growing hierarchy로 나타내면 [math(f_{epsilon_0+1}(63))] 정도의 값이 나온다.
6번째 피쉬 수(Fish number 6): 2007년경에 나온 피쉬 수. Fast-growing hierarchy로 나타내면 [math(f_{zeta_0+1}(63))] 정도의 값이 나온다
7번째 피쉬 수(Fish number 7): 2013년에 나온 가장 큰 피쉬 수.

참고로 피쉬 수를 작은 수부터 나열하면, 1번째<2번째<3번째<5번째<6번째<<<4번째<7번째다. 참고로 볼드체는 값이 너무 커서 정확한 값의 형태로 정의되지 않은 수다.

5. 여담

만든 이의 설명에 따르면 이미 2회 변환에서 그레이엄 수보다 큰 결과값이 나온다.

만든 이가 온라인상에 거대수론이라는 논문 형태로 정리해 놓았다.

6. 관련 문서 및 사이트

[1] 그레이엄 수가 의미 있는 이유는 단순히 크기 때문이 아니라 '수학적 증명에 사용되는 수' 가운데 가장 크기 때문임을 상기할 것[출처] 해당 페이지의 'Definition of Fish number version 1 (F₁)' 문단[3] 그 무시무시한 fgh로도 근사가 불가능할 정도이다![4] 그 무시무시한 fgh로도 근사가 불가능할 정도이다!