문서:BIGG

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Bewilderingly Incomprehensibly Ginormous Googolism

1. 개요2. [[커누스 윗화살표 표기법]]3. 만드는 방법
3.1. Minor Faxul 단계3.2. Major Faxul 단계
3.2.1. Giaxul 단계3.2.2. Hugexul 단계3.2.3. Enormaxul 단계3.2.4. Destruxul 단계3.2.5. Extremexul 단계3.2.6. Gigantixul 단계
3.3. Mammoth Faxul 단계
3.3.1. Nucleaxul 단계3.3.2. '''BIGG'''
4. 관련 문서


1. 개요

1998년생인 로렌스 홀롬[1]이 2013년 4월에 정의한 큰 수. 이 수를 정의했을 때의 나이가 10대 중반이니까 더 큰 수를 만들 가능성이 충분하지만 앞으로 자신이 정의한 수들 중 가장 큰 수가 BIGG가 되도록 그 정의를 계속 바꿔나갈 것이라고 한다.[2]

2015년 5월 현재는 로렌스 홀롬이 홈페이지를 리뉴얼했고 이전의 정의는 이전 홈페이지의 여기나 여기에 있다. 이 항목을 작성하는 데에는 Googology Wiki에 적혀있는 Hyperfactorial Array Notation 관련 항목들을 참조했다(그 중 Faxul 페이지는 여기). 새 홈페이지에서는 이름을 또 갈아엎었다.

2. 커누스 윗화살표 표기법

이 수를 설명하려면 윗화살표 표기법에 대한 설명이 필요하다. 윗화살표 표기법은 그레이엄 수에서도 사용되고 있으니 서로 참조하면 편할 것이다. 덧셈을 반복하면 곱셈, 곱셈을 반복하면 거듭제곱이 된다. 같은 방법으로 거듭제곱의 반복을 생각할 수 있다. 이를 테트레이션(tetration)이라고 하고 왼쪽 위 첨자([math( ^b a)])나 윗화살표 두 개([math(a ↑↑ b)])로 나타낸다. 예를 들어서 [math(3↑↑3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987)]. 똑같이 테트레이션의 반복(펜테이션, pentation)을 생각할 수 있고 이것은 윗화살표 세 개로 나타낸다. 예를 들어 [math(3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7625597484987)]. 이렇게 끝없이 계속할 수 있다.

3. 만드는 방법

다음 과정을 거쳐서 BIGG을 만들 수 있다.

3.1. Minor Faxul 단계

  • [math(mathrm{Faxul} = 200! = 200 times 199 times 198 times 197 times 196 times 195 times ... times 3 times 2)] = 788657867364790503552363213932185062295135977687173263294742533244359449963403342920304284011984623904177212138919638830257642790242637105061926624952829931113462857270763317237396988943922445621451664240254033291864131227428294853277524242407573903240321257405579568660226031904170324062351700858796178922222789623703897374720000000000000000000000000000000000000000000000000(약 7.8866×10374)으로 200부터 2까지 곱한 수다.
    • [math(mathrm{Kilofaxul} = (mathrm{Faxul})!)], [math(mathrm{Megafaxul} = (mathrm{Kilofaxul})!)], [math(mathrm{Gigafaxul} = (mathrm{Megafaxul})!)], ... 또한 정의되어 있다.
  • [math(mathrm{Expofaxul} = 200!1 = 200 uparrow 199 uparrow 198 uparrow 197 uparrow 196 uparrow 195 uparrow ... uparrow 3 uparrow 2)]
    Expofaxul은 Faxul에서 곱셈을 거듭제곱(exponential)으로 바꾼 수다.
  • [math(mathrm{Tetrofaxul} = 200!2 = 200 uparrowuparrow 199 uparrowuparrow 198 uparrowuparrow 197 uparrowuparrow 196 uparrowuparrow 195 uparrowuparrow ... uparrowuparrow 3 uparrowuparrow 2)]
    Expofaxul에서 거듭제곱을 테트레이션으로 바꾸면 Tetrofaxul이 된다.
  • [math(mathrm{Pentofaxul} = 200!3 = 200 uparrowuparrowuparrow 199 uparrowuparrowuparrow 198 uparrowuparrowuparrow 197 uparrowuparrowuparrow 196 uparrowuparrowuparrow 195 uparrowuparrowuparrow ... uparrowuparrowuparrow 3 uparrowuparrowuparrow 2)]
    Tetrofaxul에서 한 발 더 나가서 윗화살표 세 개(펜테이션)를 사용하면 Pentofaxul이 된다.
  • 위와 같이 [math(n!m = n uparrow^m (n-1) uparrow^m (n-2) uparrow^m (n-3) uparrow^m ... uparrow^m 3 uparrow^m 2)] (단, ↑n은 윗화살표가 n개를 의미함)으로 정의한다.
  • [math(mathrm{Hyperfaxul} = 200!200 = 200![1])]
    Hyperfaxul은 200부터 2까지의 수에 각각 윗화살표 200개씩을 넣은 수다. 역시 [math((200!200)!200)], [math(((200!200)!200)!200)], ...도 있을 수 있다. 여기서 [math((...(200!200)...!200)!200)]처럼 이것을 200번 중첩한 수, 즉 200이 201개 있는 수를 [math(200![2])]라고 하자.
  • [math(200![2] = (...(((((200![1])![1])![1])![1])![1])...)![1] = (...(200!200)...!200)!200)] (각각 200번)
    여기부터 그레이엄 수보다 큰 수가 등장하기 시작한다. 벌써? 이와 같이 바로 전 단계를 200번 중첩시키면 다음 단계로 간다.
  • [math(200![3] = (...(((((200![2])![2])![2])![2])![2])...)![2])] (200번)
  • [math(200![4] = (...(((((200![3])![3])![3])![3])![3])...)![3])] (200번)
    이렇게 해서 [math(200![200])]에 도달하면...

3.2. Major Faxul 단계

3.2.1. Giaxul 단계

  • [math(Giaxul = 200![200] = 200![200, 1] = 200![1, 2])]
    이제 대괄호 안에 들어가는 수들의 개수를 늘릴 수 있다. 뒤에 1을 붙이고, 대괄호 안의 첫째 항이 200이 되면 둘째 항을 1 올린다.
  • [math(Giabixul = 200![200, 200] = 200![1, 201])]
    하지만 이런 식으로만 개수를 늘린다면 수를 아무리 많이 추가해도 대괄호 안의 수 하나를 200진법으로 나타내는 정도밖에 안 된다. 따라서 셋째 항을 추가할 때부터는 한 항을 1 올리기 위해서는 바로 전 항이 '그 항-1까지 도달하기 위한 연산횟수' 정도가 될 때 항을 1 올린다. (여기서 괄호 안에 괄호가 들어가면서 매우 큰 수가 되는데, 자세히 설명하지는 않고 넘어간다.)
  • [math(Giatrixul = 200![200, 200, 200])]
    앞부분만 계산을 해보면 [math(200![200, 200, 200] = (200![199])![1, 200, 200] = (200![199])![[1, 1, 200], 199, 200] = ...)] 이 부근에서 아주 커진다.
  • [math(Giaquaxul = 200![200, 200, 200, 200])]
    그리고 예상했겠지만 200을 200번 쓸 수도 있다.

3.2.2. Hugexul 단계

  • [math(Hugexul = 200![200, 200, 200, 200, 200, ..., 200])] (200개) = [math(200![200(1)200])]
    여기에서 [math(200![200(1)200, 200])] 등을 생각할 수 있다. 역시 뒤에 오는 200이 200개가 되면...
  • [math(Hugebixul = 200![200(1)200(1)200])]
  • [math(Hugetrixul = 200![200(1)200(1)200(1)200])]
    또한 200이 200개, (1)이 199개 들어간 수를 생각할 수 있다.

3.2.3. Enormaxul 단계

  • [math(Enormaxul = 200![200(2)200])]
    위의 Hugexul과 같이 [math(200![200(2)200, 200])] 등을 생각할 수 있다.
  • [math(Enormabixul = 200![200(2)200(2)200])]
  • [math(Enormatrixul = 200![200(2)200(2)200(2)200])]
    역시 똑같은 과정을 거쳐서 [math(200![200(3)200])], [math(200![200(4)200])], ... 등을 만들 수 있고, 계속 올라가면...

3.2.4. Destruxul 단계

  • [math(Destruxul = 200![200(200)200])]
    이런 식으로 괄호 안의 200이 더 많이 올라갈 경우 괄호 안의 수 자체도 대괄호 안에 넣어서 표현할 수 있다.
  • [math(Destrucbixul = 200![200([200(200)200])200])]
    Googology Wiki에 따르면 여기서부터 그레이엄수 보다도 더 크다고 잘 알려진 TREE(3)의 하한값 보다도 더 큰 수가 나온다.
  • [math(Destructrixul = 200![200([200([200(200)200])200])200])]
    등을 생각할 수 있으며 이것을 200번 반복하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

3.2.5. Extremexul 단계

  • [math(Extremexul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200]])] 첨자 없이 참 멀리도 왔다.
    다시 뒤에 붙는 200의 개수를 늘릴 수 있다. 또??
  • [math(Extremebixul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200]])]
  • [math(Extremetrixul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200, 200]])]
    이런 식으로 계속해서 아래첨자 2를 늘릴 수 있다.

3.2.6. Gigantixul 단계

  • [math(Gigantixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200]])]
  • [math(Gigantibixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200]])]
  • [math(Gigantitrixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200, 200]])]
    이렇게 200바퀴 돌아서 첨자를 200으로 만들 수 있다.

3.3. Mammoth Faxul 단계

3.3.1. Nucleaxul 단계

  • [math(Nucleaxul = 200! _{200} 200)]
    또한 지금까지의 대장정을 다시 반복하면 이 아래첨자 200 밑에 아래첨자를 여럿 만들 수 있고,
  • [math(Nucleabixul = 200![[ _{[ _{200} 200]} 200]])]
    Googology Wiki에 따르면, TREE(3) 보다도 월등히 큰 SCG(13)의 하한값 보다도 더 큰 수가 나온다고 한다.
  • [math(Nucleatrixul = 200![[ _{[ _{[ _{200} 200]} 200]} 200]])]

3.3.2. BIGG

이런 식으로 200개를 만들면...
  • [math(BIGG = 200? = 200![[ _{<1(200)2>[200]}1]])]
드디어 BIGG가 된다.

이 BIGG은 현존하는 가장 큰 수들 중 하나이고, 그 그레이엄 수도 비교할 수 없을 만큼 아득하게 큰 수이다. 큰 수 나무위키 에서는 그레이엄 수 보다 훨씬 더 큰 수로 잘 알려진 TREE(3), 그보다도 훨씬 큰 SCG(13) 보다도 더 큰 수의 위치에 나타다 있다. 다만, 이렇게 인위적으로 창조된 수는 조금만 변형해도 그보다 얼마든지 더 큰 수를 만들어 낼 수 있다는 문제가 있다. 당장 위의 식에서 200 대신 300을 넣기만 해도 더 큰 수가 나오며, 200 대신 그레이엄 수를 넣으면 아득할 정도로 더 큰 수가 되어 버린다. 200대신 BIGG를 넣으면[3] 거의 무한대에 가까운 수가 될 것 같으나 애초에 무한대는 끝이 없다는 특징 때문에 사실상 무한대와 비교하자면 0이라고 봐도 무방하다. 아니 그냥 저 수에 1만 더해도 더 큰 수가 된다.

4. 관련 문서


[1] 큰 수에 관심있는 사람들이 모이는 구골로지 위키에서 활동하는 아마추어다. 어째서 이런 개인이 위키에 끄적거린 저명성 없는 항목이 계속 추가되는지 모르겠지만 어떤 공식적인 직함을 가진 수학자도 아니니 참고해서 관련 항목을 읽기 바란다.[2] 그러나 BIGG의 정의를 아무리 바꾸어 봤자 결국 계산 가능한 수이기 때문에 바쁜 비버 함수(이 함수는 그냥 계산 가능한 그 어떤 함수보다 더 빠르게 증가한다.)나 라요 수같은 계산 불가능한 수, 함수에 밀릴 수밖에 없다.[3] BIGG?= (200?)?