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역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬(adjoint matrix)와는 이름이 같지만, 아무 상관도 없다. 역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬은 고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)이라 불린다.
1. 수반 연산자(adjoint operator)의 정의
체 [math(F)] 위의 벡터 공간 [math(V)]와 그 위의 내적 [math(left(cdotmidcdotright))] , 선형 연산자 [math(T)]를 생각하자. [math(V)] 위의 선형 연산자 [math(U)]가 [math(T)]의 수반 연산자(adjoint operator)라 함은 다음이 성립하는 것이다.
- 자명하게, [math(T)]가 수반 연산자를 가지면, [math(T^{*})] 역시 그러하며 [math(T=T^{**})]이다.
- [math(T)], [math(U)]가 수반 연산자를 가지면, [math(TU)] 역시 그러하며 [math(left(TUright)^{*}=U^{*}T^{*})]이다.
유한 차원 벡터 공간에서는, 모든 선형 연산자는 수반 연산자를 갖는다. 그러나 무한 차원 벡터 공간에서는 경우마다 다르다. [math(T)]가 수반 연산자를 갖는 경우, [math(T^{*})]라 표현한다.
내적을 보통, [math(F=mathbb{R},mathbb{C})]에서 다루므로, 수반 연산자도 [math(F=mathbb{R},mathbb{C})]에서 다루는 것이 일반적이다.
2. 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성
그람-슈미트 과정에 의하면, [math(V)]의 기저 [math(mathcal{B}=left{ epsilon_{i}:1leq ileq nright} )]가 존재하여, 임의의 [math(u,vin V)]에 대해, [math(left(umid vright)=left[uright]_{mathcal{B}}^{*}left[vright]_{mathcal{B}})]이다. 이것을 이용하면 다음을 얻는다. [math(left(umid Tvright)=left[uright]_{mathcal{B}}^{*}left[Tvright]_{mathcal{B}}=left[uright]_{mathcal{B}}^{*}left(left[Tright]_{mathcal{B}}left[vright]_{mathcal{B}}right)=left(left[uright]_{mathcal{B}}^{*}left[Tright]_{mathcal{B}}right)left[vright]_{mathcal{B}}=left(left[Tright]_{mathcal{B}}^{*}left[uright]_{mathcal{B}}right)^{*}left[vright]_{mathcal{B}})]이다. [math(left[Tright]_{mathcal{B}}^{*})]에 해당하는 선형 변환을 [math(U)]라 하면,
[math(left(left[Tright]_{mathcal{B}}^{*}left[uright]_{mathcal{B}}right)^{*}left[vright]_{mathcal{B}}=left[Uuright]_{mathcal{B}}^{*}left[vright]_{mathcal{B}}=left(Uumid vright))]이다. 따라서, [math(T^{*})]는 [math(T^{*}=U)]로 존재한다.
이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.
다음을 쉽게 보일 수 있다.
[math(left(left[Tright]_{mathcal{B}}^{*}left[uright]_{mathcal{B}}right)^{*}left[vright]_{mathcal{B}}=left[Uuright]_{mathcal{B}}^{*}left[vright]_{mathcal{B}}=left(Uumid vright))]이다. 따라서, [math(T^{*})]는 [math(T^{*}=U)]로 존재한다.
이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.
다음을 쉽게 보일 수 있다.
[math(T)]를 임의의 선형 연산자라 하자. [math(W)]가 [math(T)]의 불변부분공간이면, [math(W^{perp})]는 [math(T^{*})]의 불변부분공간이다.
3. 자기 수반(self-adjoint) 연산자
[math(T)]의 수반 연산자가 [math(T^{*}=T)]이면 자기 수반 연산자(self-adjoint)라 한다.
4. 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들
군(대수학) 문서 참조. [math(text{GL}_{n})]는 n×n 가역행렬을 모은 일반선형군(General Linear Group)이며, [math(text{SL}_{n})]는 그 중 행렬식이 1인 행렬을 모은 특수선형군(Special Linear Group)이다.
- [math(F=mathbb{R})]
[math(F=mathbb{R})]일 때는, 켤레를 취해주는 과정이 무의미하므로, [math(^{*})]대신 전치인 [math(^{t})]를 쓴다.[4]- 직교군(orthogonal group) [math(text{O}left(nright):=left{ Aintext{GL}_{n}left(mathbb{R}right):A^{t}A=Iright})]
직교군에 속하는 행렬들을 직교행렬(orthogonal matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 내적을 보존해준다. - 특수 직교군(special orthogonal group) [math(text{SO}left(nright):=left{ Aintext{SL}_{n}left(mathbb{R}right):A^{t}A=Iright})]
- 자기 수반 행렬 [math(left{ Aintext{GL}_{n}left(mathbb{R}right):A^{t}=Aright})]
대칭행렬(symmetric matrix)이라고도 부른다.
- [math(F=mathbb{C})]
- 유니타리군(unitary group) [math(text{U}left(nright):=left{ Aintext{GL}_{n}left(mathbb{C}right):A^{*}A=Iright})]
유니타리군에 속하는 행렬들을 유니타리 행렬(unitary matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 에르미트 내적(Hermitian inner product)을 보존해준다. - 특수 유니타리군(special unitary group) [math(text{SU}left(nright):=left{ Aintext{SL}_{n}left(mathbb{C}right):A^{*}A=Iright})][6]로 표현하기도 한다.]
- 에르미트 행렬(Hermitian matrix) [math(left{ Aintext{GL}_{n}left(mathbb{C}right):A^{*}=Aright})]
5. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)
5.1. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)[7]
유니타리 대각화(unitary diagonalization)는 행렬 [math(Ain M_{n}left(Fright))]를, 적절한 [math(Uintext{U}_{n})]와 대각행렬[8]인 행렬, 대각선의 성분은 [math(0)]이어도 좋다. ] [math(Din M_{n}left(mathbb{C}right))]를 찾아, [math(A=UDU^{*})]로 표현하는 일이다. [math(U^{*}=U^{-1})]이므로, 대각화의 일종으로, 더 강한 개념이다.
질문은 이것이다. 어떤 행렬이 유니타리 대각화 가능할 필요충분조건은 무엇인가? 자명하게, [math(A)]유니타리 대각화 가능이면, [math(A^{*}A=AA^{*})]이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.
질문은 이것이다. 어떤 행렬이 유니타리 대각화 가능할 필요충분조건은 무엇인가? 자명하게, [math(A)]유니타리 대각화 가능이면, [math(A^{*}A=AA^{*})]이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.
5.2. 정규 연산자(normal operator)
유한 차원 벡터 공간[math(V)] 상의 선형 변환 [math(T)]가 정규 연산자(normal operator)라 함은, [math(T^{*}T=TT^{*})]가 성립하는 것이다.
다음이 성립한다.
다음이 성립한다.
[math(T)]를 정규 연산자라 하자. 임의의 [math(cin mathbb{C})], [math(vin V)]에 대해, [math(Tv=cv)]이면, [math(T^{*}v=overline{c}v)]이다.
이것에서 다음을 얻는다.
[math(T)]를 정규 연산자, [math(mu)], [math(lambda)]를 [math(T)]의 서로 다른 고유치라 하자. 그러면, [math(W_{lambda}perp W_{mu})]이다.[11], [math(W_{lambda})]는, [math(mu)], [math(lambda)]에 해당하는 고유 공간이다. ]
여기서, 직교 분해 [math({displaystyle bigoplus_{lambdatext{:char. val.}}}W_{lambda}<V)]를 얻는다.[math(W:={displaystyle bigoplus_{lambdatext{:char. val.}}}W_{lambda})]에 대해, [math(W)]가 [math(T)]의 불변 부분 공간이다. 따라서, #s-1의 가장 마지막 명제를 적용하면, [math(W^{perp})]가 [math(T^{*})]의 불변부분공간이다. [math(left.T^{*}right|_{W^{perp}}:W^{perp}rightarrow W^{perp})]이다. [math(W^{perp}neqleftlangle emptysetrightrangle )]을 가정하면, [math(cin mathbb{C})], [math(0neq vin W^{perp})]가 존재하여, [math(T^{*}v=cv)]이다. 따라서, [math(Tv=overline{c}v)]이다. 따라서, [math(vin W)]인데 이는 모순이다. 따라서, [math(W^{perp}=0)]이다. 고로, [math(V=Wbigoplus W^{perp}={displaystyle bigoplus_{lambdatext{:char. val.}}}W_{lambda})]이다.
이상에서 본 것과 같이 정규 연산자와 유니타리 대각화 가능은 동치이다. [math(A=UDU^{*})]인 [math(Uintext{U}left(nright))]는 [math(W_{lambda})]의 직교 기저들로 구성해주면 된다. 보통 이를 정규연산자의 스펙트럼 정리(spectral theorem)라 부른다.
5.3. 따름 정리들
- 유니타리 행렬도 정규 연산자이므로 유니타리 대각화를 할 수 있고, 고유치는 절댓값 1의 복소수가 된다.
[1] 보통은 칼표를 쓴 [math(U=T^{dag})[2] 뭘 사용해도 상관은 없다. [3] 리 대수(Lie algebra)에서는 블랙 레터를 쓴 [math(mathfrak{su} left(nright))[4] 뭘 사용해도 상관은 없다. [5] 리 대수(Lie algebra)에서는 블랙 레터를 쓴 [math(mathfrak{su} left(nright))[6] 리 대수(Lie algebra)에서는 블랙 레터를 쓴 [math(mathfrak{su} left(nright))[7] 실행렬의 경우, 유니타리 개념이 직교 개념이 되므로, 직교 대각화(orthogonally diagonalization) 가능이라 부르면 된다. 이하의 논의에서도 유니타리를 모두 직교로 바꿔 읽으면 된다.[8] 대각선 외의 성분이 모두 [math(0)[9] [math(W_{mu})[10] [math(W_{mu})[11] [math(W_{mu})