분류
1. 개요
2. 직교기저와 정규직교기저
기저의 모든 성분벡터들이 직교일 때, 그 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 한다. 또, 직교기저의 모든 성분벡터들의 노름이 1일 때, 그 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.
3. 구체적인 과정
유한차원 내적 공간[math(left(V,left<cdot, cdotright>right))]의 기저 [math(left{v_{1},ldots,v_{n}right})]를 생각하자.
- [math(displaystyle u_{i}:=v_{i}-{displaystyle sum_{j<i}}frac{left<v_{i}, u_{j}right>}{left<u_{j}, u_{j}right>}u_{j})]
- [math(displaystyle w_{i}:=frac{u_i}{sqrt{left<u_{i}, u_{i}right>}})]
여기서, [math(left{u_{1},ldots,u_{k}right})]가 직교 기저라는 것은, 귀납적으로 보일 수 있다. [math(w_{j})]의 크기는 [math(1)]이므로, [math(left{w_{1},ldots,w_{n}right})]는 정규직교 기저이다.
4. 응용
- 임의의 [math(Ain text{GL}_{n}left(mathbb{C}right))]에 대해, [math(Uin text{U}left(nright))]가 존재하여[3], [math(AU^{-1})]은 하삼각행렬(lower triangular matrix)[4]인 행렬]이다.
[math(A=left(v_{1}ldots v_{n}right)in text{GL}_{n}left(mathbb{C}right))]의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터 [math(w_{i})]를 이용하여, [math(U=left(w_{1}ldots w_{n}right))]라 하자. 그러면 첫번째에 의해, [math(AU^{-1})]는 하삼각행렬임을 알 수 있다.
- 그람 슈미트 과정에서 QR Decomposition을 유도할 수 있다.