1. 개요
2. 표기
근호 안에 또 다른 근호를 표기할 때는, 일반적으로 모든 근호를 [math(sqrt{1+2sqrt{2}})]처럼 우측으로 몰아서 표기한다. 꼭 이렇게 해야 수학적으로 옳은 것은 아니며, 다중근호일 때도 마찬가지이다.
3. 공식
이중근호로 된 식을 바로 계산하기는 쉽지 않으므로 단일근호로 바꿀 필요가 있다. 아래의 공식으로 이중근호를 풀어낼 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} sqrt{a+b+2sqrt{ab}}&=sqrt{a}+sqrt{b} \ sqrt{a+b-2sqrt{ab}}&=sqrt{a}-sqrt{b} qquad (a>b) end{aligned} )]
증명은 아래와 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} sqrt{a+b+2sqrt{ab}}&=sqrt{(sqrt{a})^2+2sqrt{a}sqrt{b}+(sqrt{b})^2} \ &=sqrt{(sqrt{a}+sqrt{b})^2} \ &=sqrt{a}+sqrt{b} \ sqrt{a+b-2sqrt{ab}}&=sqrt{(sqrt{a})^2-2sqrt{a}sqrt{b}+(sqrt{b})^2} \ &=sqrt{(sqrt{a}-sqrt{b})^2} \ &=sqrt{a}-sqrt{b} qquad (because ,a>b) end{aligned} )]
위 증명에서는 다음의 곱셈 공식을 사용했다.
[math(displaystyle begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 end{aligned} )]
또한 이중근호가 씌인 항에 대해서 아래의 주의사항이 있다:
[math(displaystyle sqrt{sqrt{apm b}}neqsqrt{sqrt{a}pmsqrt{b}} neqsqrt{sqrt{a}}pmsqrt{sqrt{b}})]
[math(displaystyle begin{aligned} sqrt{a+b+2sqrt{ab}}&=sqrt{a}+sqrt{b} \ sqrt{a+b-2sqrt{ab}}&=sqrt{a}-sqrt{b} qquad (a>b) end{aligned} )]
증명은 아래와 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} sqrt{a+b+2sqrt{ab}}&=sqrt{(sqrt{a})^2+2sqrt{a}sqrt{b}+(sqrt{b})^2} \ &=sqrt{(sqrt{a}+sqrt{b})^2} \ &=sqrt{a}+sqrt{b} \ sqrt{a+b-2sqrt{ab}}&=sqrt{(sqrt{a})^2-2sqrt{a}sqrt{b}+(sqrt{b})^2} \ &=sqrt{(sqrt{a}-sqrt{b})^2} \ &=sqrt{a}-sqrt{b} qquad (because ,a>b) end{aligned} )]
위 증명에서는 다음의 곱셈 공식을 사용했다.
[math(displaystyle begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 end{aligned} )]
또한 이중근호가 씌인 항에 대해서 아래의 주의사항이 있다:
[math(displaystyle sqrt{sqrt{apm b}}neqsqrt{sqrt{a}pmsqrt{b}} neqsqrt{sqrt{a}}pmsqrt{sqrt{b}})]
4. 다중근호
이중근호뿐만 아니라 삼중근호, 사중근호, [math(cdots)]도 얼마든지 식으로 나타낼 수 있다. 삼중근호를 단일근호로 바꾸려면, 먼저 삼중근호 안에 있는 이중근호를 위의 공식을 이용하여 단일근호로 바꾼다. 이렇게 하여 얻어진 이중근호 식에, 다시 공식을 적용하여 단일근호로 바꾸면 된다. 몇 개의 근호가 중첩되어 있건 이런 식으로 하면 된다.
다중근호가 들어간 대표적인 식으로 카를 프리드리히 가우스가 구한 정십칠각형의 코사인 값이 있다.
[math(16 cos{ left(dfrac{2}{17} pi right)} = - 1 + sqrt {17} + sqrt {34 - 2 sqrt {17}} + 2 sqrt {17 + 3 sqrt {17} - sqrt {34 - 2 sqrt {17}} - 2 sqrt {34 + 2 sqrt {17}} })]
다중근호가 들어간 대표적인 식으로 카를 프리드리히 가우스가 구한 정십칠각형의 코사인 값이 있다.
[math(16 cos{ left(dfrac{2}{17} pi right)} = - 1 + sqrt {17} + sqrt {34 - 2 sqrt {17}} + 2 sqrt {17 + 3 sqrt {17} - sqrt {34 - 2 sqrt {17}} - 2 sqrt {34 + 2 sqrt {17}} })]