[[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:대수학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 double radical · [[二]][[重]][[根]][[號]]}}} [[근호]] 안에 근호가 하나 더 있는 것. 근호가 총 세 개 이상이면 다중근호([[多]][[重]][[根]][[號]])라고 한다. == 표기 == 근호 안에 또 다른 근호를 표기할 때는, 일반적으로 모든 근호를 [math(\sqrt{1+2\sqrt{2}})]처럼 우측으로 몰아서 표기한다. 꼭 이렇게 해야 수학적으로 옳은 것은 아니며, 다중근호일 때도 마찬가지이다. == 공식 == 이중근호로 된 식을 바로 계산하기는 쉽지 않으므로 단일근호로 바꿀 필요가 있다. 아래의 공식으로 이중근호를 풀어낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}-\sqrt{b} \qquad (a>b) \end{aligned} )] }}} 증명은 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{a}-\sqrt{b} \qquad (\because \,a>b) \end{aligned} )] }}} 위 증명에서는 다음의 [[곱셈 공식]]을 사용했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \end{aligned} )] }}} 또한 이중근호가 씌인 항에 대해서 [[1학년의 꿈|아래의 주의사항]]이 있다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sqrt{\sqrt{a\pm b}}\neq\sqrt{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}} \neq\sqrt{\sqrt{a}}\pm\sqrt{\sqrt{b}})] }}} == 다중근호 == 이중근호뿐만 아니라 삼중근호, 사중근호, [math(\cdots)]도 얼마든지 식으로 나타낼 수 있다. 삼중근호를 단일근호로 바꾸려면, 먼저 삼중근호 안에 있는 이중근호를 위의 공식을 이용하여 단일근호로 바꾼다. 이렇게 하여 얻어진 이중근호 식에, 다시 공식을 적용하여 단일근호로 바꾸면 된다. 몇 개의 근호가 중첩되어 있건 이런 식으로 하면 된다. 다중근호가 들어간 대표적인 식으로 [[카를 프리드리히 가우스]]가 구한 정십칠각형의 [[삼각함수|코사인]] 값이 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(16 \cos{ \left(\dfrac{2}{17} \pi \right)} = - 1 + \sqrt {17} + \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} + 2 \sqrt {17 + 3 \sqrt {17} - \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} - 2 \sqrt {34 + 2 \sqrt {17}} })] }}} == 국가별 교육과정 == === [[대한민국]] === [[2007 개정 교육과정]]에서 고1 과정에 이중근호를 포함하는 등, 계속 이중근호를 가르치고 있었으나 [[2009 개정 교육과정]]부터 전면 삭제되었다. === [[일본]] === [[수학Ⅰ(일본)|수학Ⅰ]]의 1단원에 속하는 〈식의 계산〉 부분에서 다룬다. 따라서 일본 대학 유학을 준비하는 한국인은 입시를 위해 이중근호를 공부해야 한다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[제곱근]] * [[근호]]