1. 개요
원기둥(Cylinder)는 두 밑면이 합동 관계의 원이고, 한 밑면의 원주에서 다른 밑면까지의 가장 가까운 점까지의 선분을 포함한 3차원 입체도형이다. 이때, 해당 선분들의 집합은 원기둥의 옆면을 생성한다.
원기둥은 한 축을 중심으로 직사각형을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체의 일종이다. 그렇기 때문에 원기둥의 회전축과 평행한 평면으로 잘라내면 그 단면으로 직사각형을 얻고, 회전축과 수직인 평면으로 잘라내면 그 단면으로 원을 얻는다.
이 문서에서는 직원기둥에 대한 분석을 주력적으로 하였다. 따로 표기하지 않는 이상은 직원기둥에 대한 것이다.
원기둥은 한 축을 중심으로 직사각형을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체의 일종이다. 그렇기 때문에 원기둥의 회전축과 평행한 평면으로 잘라내면 그 단면으로 직사각형을 얻고, 회전축과 수직인 평면으로 잘라내면 그 단면으로 원을 얻는다.
이 문서에서는 직원기둥에 대한 분석을 주력적으로 하였다. 따로 표기하지 않는 이상은 직원기둥에 대한 것이다.
2. 상세
2.1. 원기둥의 구성 요소
- 밑면: 원기둥에서 서로 합동인 두 원. 위 그림에서는 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 두 개가 밑면이다.[2]
- 옆면: 원기둥에서 두 밑면을 감싸는 곡면.
- 높이: 원기둥에서 두 밑면 사이의 거리이다. 위 그림에서는 [math(h)]이다.
2.2. 원기둥의 전개도
파일:namu_원기둥_전개도.png
위 그림과 같이 옆면에 해당하는 직사각형 1개와 두 밑면에 해당하는 원 2개로 구성되어 있다. 해당 전개도로 밑면의 반지름의 길이가 [math(r)]이고, 높이가 [math(h)]인 원기둥을 만들 수 있다.
직사각형의 가로 길이는 곧 원을 감싼다는 것에 착안하면, [math(l=2pi r)]이 되어야 함을 쉽게 추측할 수 있다.
위 그림과 같이 옆면에 해당하는 직사각형 1개와 두 밑면에 해당하는 원 2개로 구성되어 있다. 해당 전개도로 밑면의 반지름의 길이가 [math(r)]이고, 높이가 [math(h)]인 원기둥을 만들 수 있다.
직사각형의 가로 길이는 곧 원을 감싼다는 것에 착안하면, [math(l=2pi r)]이 되어야 함을 쉽게 추측할 수 있다.
2.3. 원기둥의 겉넓이와 부피
2.3.1. 겉넓이
이것은 곧 위의 전개도의 넓이와 같으므로
[math(displaystyle 2 cdot pi r^{2}+2pi r cdot h=2pi r(r+h) )][3]
이다. [math(2 pi r =l)]임을 상기하면 이것을
[math(displaystyle l(r+h) )]
으로도 나타낼 수 있다.
[math(displaystyle 2 cdot pi r^{2}+2pi r cdot h=2pi r(r+h) )][3]
이다. [math(2 pi r =l)]임을 상기하면 이것을
[math(displaystyle l(r+h) )]
으로도 나타낼 수 있다.
2.3.2. 부피
원기둥의 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱과 같다. 즉,
[math(displaystyle pi r^{2}h )]
임을 알 수 있다.
[math(displaystyle pi r^{2}h )]
임을 알 수 있다.
2.4. 공간 좌표 상에서의 원기둥
공간 좌표 상에서 방정식을 통하여 원기둥은 두 밑면은 표현하지 못하고, 높이가 무한한 옆면만을 표현할 수 있다.
[math(z)]축이 회전축인 원기둥을 고려해보자. 원기둥을 [math(z=k)]평면으로 자르면, 밑면의 반지름의 길이 [math(r)]이 나오므로
[math(z = x^2+y^2-r^{2} )]
로 쓸 수 있다.
식이 왠지 익숙한데, 원의 방정식이 저기서 [math(z=0)]인 경우이다.
[math(z)]축이 회전축인 원기둥을 고려해보자. 원기둥을 [math(z=k)]평면으로 자르면, 밑면의 반지름의 길이 [math(r)]이 나오므로
[math(z = x^2+y^2-r^{2} )]
로 쓸 수 있다.
식이 왠지 익숙한데, 원의 방정식이 저기서 [math(z=0)]인 경우이다.