[include(틀:다른 뜻1, other1=최고차항의 계수가 5인 다항함수, rd1=다항함수, paragraph1=4.6)] [include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 error function · [[誤]][[差]][[函]][[數]]}}} 오차함수는 특수함수와 [[초월함수]]의 한 종류로, 아래와 같은 적분식으로 정의된다. 기호로는 [math(\mathrm{erf}(x))]를 사용하며, 이는 영문명에서 따왔다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{erf}(x)\equiv\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t )] }}} 한편, 정의식 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(x)\right]=e^{-x^{2}} )] }}} 가 된다. 따라서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(x)+C )] }}} 즉, 가우스 함수의 역도함수는 오차함수를 상수배한 것임을 알 수 있다. 아래의 그림은 오차함수의 그래프를 나타낸 것이다. [[파일:namu_erf(x)_그래프.png|width=200&align=center]] === 특성 === * [math(\left|\mathrm{erf}(x)\right|<1)]을 만족한다. * 피적분함수가 [[우함수]]이므로, 이를 부정적분하고 적분상수를 0으로 정한 [math(\mathrm{erf}(x))]는 [[기함수]]가 된다. 이에 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{erf}(x)=-\mathrm{erf}(-x) )] }}} * [math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \mathrm{erf}(x)=0)], [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{erf}(x)=1)] , [math(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{erf}(x)=-1)]이 성립한다. * 모든 복소수 [math(z)]에 대하여 다음이 성립한다. (단, [math(z^{\ast})]는 [math(z)]의 켤레 복소수이다.) {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{erf}(z^{\ast})=\mathrm{erf}^{\ast}(z) )] }}} * 오차함수를 테일러 전개하면 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n z^{2n+1}}{n! \cdot(2n+1)} )] }}} * [[쌍곡선 함수]] 중 [math(y=\tanh{x})]의 그래프와 개형이 상당히 닮았고, 그 때문에 [[https://core.ac.uk/download/pdf/82669741.pdf|이걸 주제로 한 논문]]까지 나와 있을 정도다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [[파일:namu_compare_erf_tanh_new.png|width=260&align=center]] }}} == 연관된 함수 == === 여오차함수 === {{{+1 Complementary error function · [[餘]][[誤]][[差]][[函]][[數]]}}} 여오차함수는 [math(1)]에서 오차함수를 뺀 것으로 정의되는 함수로, 기호로는 [math(\mathrm{erfc}(x))]로 쓴다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{erfc}(x) \equiv 1-\mathrm{erf}(x) )] }}} 식의 형태를 보면 오차함수를 [math(x)]축에 대칭 이동한 후 [math(y)]축 방향으로 [math(+1)]만큼 이동한 것임을 알 수 있다. 한편, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t=1 )] }}} 임을 이용하면 아래와 같이 위 정의를 적분으로 표현할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{erfc}(x)&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{0}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} )] }}} 임을 얻는다. 아래의 그림은 여오차함수의 그래프를 나타낸 것이다. [[파일:namu_erfc(x)_그래프.png|width=200&align=center]] === [[정규 분포]]의 누적 분포 함수 === [include(틀:상세 내용, 문서명=정규 분포, 문단=1.2)] === 복소오차함수 === {{{+1 Imaginary error function · [[複]][[素]][[誤]][[差]][[函]][[數]]}}} 복소오차함수는 다음과 같이 정의되는 함수로, 기호로는 [math(\mathrm{erfi}(x))]로 쓴다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{erfi}(x) \equiv -i\,\mathrm{erf}(ix)=-\frac{2i}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{ix} e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t )] }}} 이 때, 적절한 변수 치환을 위해 [math(iv \equiv t)]라 놓으면 적분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{erfi}(x)&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-(iv)^{2}}\,\mathrm{d}v \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{v^{2}}\,\mathrm{d}v\end{aligned} )] }}} 로 쓸 수 있고, [math(t)], [math(v)]는 적분 연산 뒤 상쇄되는 더미 변수이므로 우리는 위 결과를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} )] }}} 로 쓸 수 있다. 또한, 위 식의 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(x)\right]&=e^{x^{2}} \\ \int e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x&=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(x)+C \end{aligned} )] }}} 임을 얻는다. 아래의 그림은 복소오차함수의 그래프를 나타낸 것이다. [[파일:namu_erfi(x)_그래프.png|width=190&align=center]] === [[프레넬 적분 함수]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=프레넬 적분 함수)] == 여담 == * 위에서 봤던 것 처럼 [math(f(x)=e^{\pm x^{2}})] 꼴의 함수는 역도함수가 초등함수로 표현되지 않기 때문에, 역도함수를 직접 그려보지 않는 이상은 그래프의 형태와 성질 모두 추론하기 어렵다. 이와 관련된 문제가 나오면 적분 연산 자체나 보기에서 주어진 식들을 응용하여 문제를 해결해야 할 수밖에 없다. 그렇기 때문에 수능에서 미적분 파트의 상위권 변별 문제에서 간간이 등장하는 함수이다.[* 실제로 2016년 9월 모의수능 수학 영역 가형 21번에서 이 함수가 나왔다.] * 실제로 [[지식iN]] 같은 데서 미적분 관련 질문들 중 [math(f(x)=e^{\pm x^{2}})] 꼴의 함수의 적분을 어떻게 하는지 물어보는 고등학생들의 질문이 간간이 보인다. * [[통계학]]에서는 매우 중요한 함수이다. 주로 [[정규 분포]]와 엮어서 등장하게 된다. [[물리학]]에서도 [[통계역학]] 파트에서 간간이 등장하는 함수이다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[가우스 적분]] * [[특수함수]] [[분류:비초등함수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]