분류
1. 개요
Gaussian integral
파일:namu_가우스적분_개요.svg
가우스 함수 [math(f(x)=e^{-x^{2}})]의 실수 전체값에 대한 이상적분이며, 그 값은 아래와 같다.
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x=sqrt{pi} )]
파일:namu_가우스적분_개요.svg
가우스 함수 [math(f(x)=e^{-x^{2}})]의 실수 전체값에 대한 이상적분이며, 그 값은 아래와 같다.
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x=sqrt{pi} )]
2. 상세
2.1. 값 유도
2.1.1. 방법 1: 극좌표계 변환
위 적분의 값은 극좌표계를 통한 적분으로 구할 수 있다. 우선적으로 우리는 다음과 같은 중적분을 고려하자.
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^{2}},{rm d}y biggr) =int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}e^{-y^{2}},{rm d}x{rm d}y )]
그런데, [math(x)], [math(y)]는 적분 시 사라지는 더미변수로써 위 값은
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^{2}},{rm d}y biggr)=biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)^{2} )]
으로 생각할 수 있다. 적분을 간단히하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-(x^{2}+y^{2})},{rm d}x{rm d}y )]
이것을 극좌표계로 변환하면, [math({rm d}x{rm d}y to r, {rm d}r {rm d}theta)], [math(x^2+y^2 to r^{2})]으로 쓸 수 있고, 적분 구간은 [math(0 leq r leq infty)], [math(0 leq theta leq 2pi)]이 됨에 따라
[math(displaystyle begin{aligned} &int_{0}^{2pi} int_{0}^{infty} r e^{-r^{2}},{rm d}r {rm d}theta \&= int_{0}^{2pi} dtheta int_{0}^{infty} r e^{-r^{2}},{rm d}r \ &= 2pi biggl[ -frac{e^{-x^2}}{2} biggr]_{0}^{infty} \ &=2pi biggl[0-biggl(-frac{1}{2} biggr) biggr] \&=pi end{aligned} )]
이상에서
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)^{2} =pi )]
임에 따라
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x=sqrt{pi} )]
이 증명된다. 적분값을 양수로 취하는 것은 모든 실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(x)=e^{-x^2}>0)]이어서 정적분의 값 또한 양수이어야 하기 때문이다. 직관적으로 아주 당연한 사실이다.
참고적으로 [math(f(x)=e^{-x^2})]에 대하여 [math(f(x)=f(-x))][1]는 짝함수(우함수; even function)임을 알 수 있다.]가 성립하므로
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x=int_{-infty}^{0} e^{-x^{2}},{rm d}x=frac{sqrt{pi}}{2} )]
임을 알 수 있다.
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^{2}},{rm d}y biggr) =int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}e^{-y^{2}},{rm d}x{rm d}y )]
그런데, [math(x)], [math(y)]는 적분 시 사라지는 더미변수로써 위 값은
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^{2}},{rm d}y biggr)=biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)^{2} )]
으로 생각할 수 있다. 적분을 간단히하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-(x^{2}+y^{2})},{rm d}x{rm d}y )]
이것을 극좌표계로 변환하면, [math({rm d}x{rm d}y to r, {rm d}r {rm d}theta)], [math(x^2+y^2 to r^{2})]으로 쓸 수 있고, 적분 구간은 [math(0 leq r leq infty)], [math(0 leq theta leq 2pi)]이 됨에 따라
[math(displaystyle begin{aligned} &int_{0}^{2pi} int_{0}^{infty} r e^{-r^{2}},{rm d}r {rm d}theta \&= int_{0}^{2pi} dtheta int_{0}^{infty} r e^{-r^{2}},{rm d}r \ &= 2pi biggl[ -frac{e^{-x^2}}{2} biggr]_{0}^{infty} \ &=2pi biggl[0-biggl(-frac{1}{2} biggr) biggr] \&=pi end{aligned} )]
이상에서
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x biggr)^{2} =pi )]
임에 따라
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x=sqrt{pi} )]
이 증명된다. 적분값을 양수로 취하는 것은 모든 실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(x)=e^{-x^2}>0)]이어서 정적분의 값 또한 양수이어야 하기 때문이다. 직관적으로 아주 당연한 사실이다.
참고적으로 [math(f(x)=e^{-x^2})]에 대하여 [math(f(x)=f(-x))][1]는 짝함수(우함수; even function)임을 알 수 있다.]가 성립하므로
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x^{2}},{rm d}x=int_{-infty}^{0} e^{-x^{2}},{rm d}x=frac{sqrt{pi}}{2} )]
임을 알 수 있다.
2.1.2.
함수 [math(f(x)=e^{-x^2})]을 [math(y)]축을 회전축으로 하여 회전하면 곡면 [math(f(x,,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})})]을 얻는다. 이 곡면과 [math(xy)]평면으로 둘러싸인 영역의 부피를 구해보자. 이때, [math(0<e^{-x^{2}} leq 1)]임을 상기하고,
[math(displaystyle e^{-x^2}=y to [x(y) ]^{2}=-ln{y} )]
로 부터 회전체의 부피 공식을 사용하면,
[math(displaystyle pi int_{0}^{1} [x(y) ]^{2},{rm d}y=pi )]
로 구해지게 된다. 한편, 곡면 [math(z=f(x,,y))]를 평면 [math(x=a)]로 잘라서 생기는 단면의 넓이를 적분해서도 구할 수 있으며, 그 단면의 넓이를 우선적으로 구하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-(y^2+a^2)},{rm d}y=e^{-a^2}int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y )]
이제 이 면적을 [math(a)]에 대해 적분하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-a^2} biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr) {rm d}a= biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-a^2},{rm d}a biggr) biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr) )]
그런데 [math(y)], [math(a)]는 각각 적분 시 상쇄되는 더미변수로써 이 값을
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-a^2},{rm d}a biggr) biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr)=biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr)^{2} )]
으로 생각해도 무방하다.
이상에서 해당 값과 회전체의 부피 공식을 이용해서 구한 부피는 같아야 하므로
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr)^{2}=pi )]
이에 방법 1과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
[math(displaystyle e^{-x^2}=y to [x(y) ]^{2}=-ln{y} )]
로 부터 회전체의 부피 공식을 사용하면,
[math(displaystyle pi int_{0}^{1} [x(y) ]^{2},{rm d}y=pi )]
로 구해지게 된다. 한편, 곡면 [math(z=f(x,,y))]를 평면 [math(x=a)]로 잘라서 생기는 단면의 넓이를 적분해서도 구할 수 있으며, 그 단면의 넓이를 우선적으로 구하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-(y^2+a^2)},{rm d}y=e^{-a^2}int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y )]
이제 이 면적을 [math(a)]에 대해 적분하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-a^2} biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr) {rm d}a= biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-a^2},{rm d}a biggr) biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr) )]
그런데 [math(y)], [math(a)]는 각각 적분 시 상쇄되는 더미변수로써 이 값을
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-a^2},{rm d}a biggr) biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr)=biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr)^{2} )]
으로 생각해도 무방하다.
이상에서 해당 값과 회전체의 부피 공식을 이용해서 구한 부피는 같아야 하므로
[math(displaystyle biggl( int_{-infty}^{infty} e^{-y^2},{rm d}y biggr)^{2}=pi )]
이에 방법 1과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
2.2. 오차함수(error function)
다음과 같은 함수를 고려해보도록 하자.
[math(displaystyle F(t)=frac{2}{sqrt{pi}}e^{-t^{2}} )]
이때,
[math(displaystyle begin{aligned} int_{0}^{infty} F(t),{rm d}t=1 end{aligned} )]
으로 규격화시킬 수 있고, 이때 적분의 상한을 변수로 한 함수
[math(displaystyle frac{2}{sqrt{pi}} int_{0}^{x} e^{-t^{2}},{rm d}t := mathrm{erf}(x) )]
을 오차함수(error function)라 정의한다. 자세한 사항은 해당 문서를 참조하자.
[math(displaystyle F(t)=frac{2}{sqrt{pi}}e^{-t^{2}} )]
이때,
[math(displaystyle begin{aligned} int_{0}^{infty} F(t),{rm d}t=1 end{aligned} )]
으로 규격화시킬 수 있고, 이때 적분의 상한을 변수로 한 함수
[math(displaystyle frac{2}{sqrt{pi}} int_{0}^{x} e^{-t^{2}},{rm d}t := mathrm{erf}(x) )]
을 오차함수(error function)라 정의한다. 자세한 사항은 해당 문서를 참조하자.
2.3. 연관된 적분
가우스 적분을 통하여 유도할 수 있으므로 그 결과만을 적는다. 단, [math(a>0)]인 상수이고, [math(n)]은 자연수이다.
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-infty}^{infty} e^{-ax^2},{rm d}x&=sqrt{frac{pi}{a}} \ int_{-infty}^{infty}e^{-ax^2+bx},{rm d}x&=e^{b^2/4a}sqrt{frac{pi}{a}} \ int_{0}^{infty} x^{n}e^{-ax^2},{rm d}x &=begin{cases}
dfrac{(n-1)!!}{2^{(n+2)/2}a^{n/2}} sqrt{dfrac{pi}{a}} & text{ for } n text{ even.} \ \
dfrac{[(n-1)/2]!}{2a^{(n+1)/2}} & text{ for } n text{ odd.}
end{cases} end{aligned} )]
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-infty}^{infty} e^{-ax^2},{rm d}x&=sqrt{frac{pi}{a}} \ int_{-infty}^{infty}e^{-ax^2+bx},{rm d}x&=e^{b^2/4a}sqrt{frac{pi}{a}} \ int_{0}^{infty} x^{n}e^{-ax^2},{rm d}x &=begin{cases}
dfrac{(n-1)!!}{2^{(n+2)/2}a^{n/2}} sqrt{dfrac{pi}{a}} & text{ for } n text{ even.} \ \
dfrac{[(n-1)/2]!}{2a^{(n+1)/2}} & text{ for } n text{ odd.}
end{cases} end{aligned} )]