1. 개요
Euler's triangle theorem
1765년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)가 발견한 삼각형의 외심과 내심 혹은 외심과 방심 사이의 거리에 관한 공식이다.
한 삼각형의 외접원, 내접원, 방접원의 반지름을 각각 [math(R)], [math(r)], [math(r')]이라 하면, 다음이 성립한다.
1765년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)가 발견한 삼각형의 외심과 내심 혹은 외심과 방심 사이의 거리에 관한 공식이다.
한 삼각형의 외접원, 내접원, 방접원의 반지름을 각각 [math(R)], [math(r)], [math(r')]이라 하면, 다음이 성립한다.
- 외심과 내심 사이의 거리: [math(sqrt{R^{2}-2Rr})]
- 외심과 방심 사이의 거리: [math(sqrt{R^{2}+2Rr'})]
이 정리 자체가 직접적으로 쓰이는 경우는 생각보다 많지 않으나, 증명 과정의 다양한 이론들이 삼각형과 원이 나오는 기하 문제에서 제법 많이 다루어지는 것들이라 보통 한번쯤 배우고 넘어간다.
2. 보조 정리: 맨션 정리
파일:namu_맨션정리_1_NEW_NEW.svg
그림과 같이 삼각형 [math(rm ABC)]의 외심 [math(rm O)], 내심 [math(rm I)]이고, 직선 [math(rm BI)]가 외접원과 만나는 점을 [math(rm R)]이라고 하자.
내심의 성질에 의하여 [math(angle {rm ABI}=angle {rm CBI}=x)], [math(angle {rm BAI}=angle {rm CAI}=y)], [math(angle {rm BCI}=angle {rm ACI}=z)]라 놓을 수 있다. [math(angle{rm CIR})]은 [math(angle{rm BIC})]의 외각이므로 [math(x+z)], [math(angle{rm ABR}=angle{rm ACR}=x)](호 [math(rm AR)]에 대한 원주각) 따라서 삼각형 [math(rm RIC)]에서 [math(angle{rm RIC}=angle{rm RCI}=x+z)] 즉, 삼각형 [math(rm RIC)]은 [math(overline{rm IR}=overline{rm RC})]인 이등변삼각형이다. 동일한 방법으로 삼각형 [math(rm RAI)]는 [math(overline{rm IR}=overline{rm AR})]인 이등변삼각형임을 증명할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} therefore overline{rm RC}=overline{rm IR}=overline{rm AR} end{aligned})]
이 결과는 내심과 삼각형의 두 꼭짓점을 연결한 삼각형의 외심이 두 꼭짓점을 제외한 한 꼭짓점과 내심을 연결하는 직선이 외접원과 만나는 점에 있음을 알려준다.
2.1. 방심과의 관계
파일:namu_맨션정리_2_NEW.svg
방심과 내심의 성질에 의하여 두 점은 [math(angle rm B)]의 이등분선 위에 있으므로 그림과 같이 위 과정에서 선분 [math(rm BI)]을 연장하여 [math(rm B)]에 대한 방심 [math(rm O')]와 만나도록 하자. 위에서 다뤘던 맨션 정리에서
[math(displaystyle begin{aligned} overline{rm RC}=overline{rm IR}=overline{rm AR} end{aligned})]
이고, 내심과 방심의 성질에 의하여 [math(angle {rm BCI}=angle {rm ACI})], [math(angle {rm ACO'}=angle {rm HCO'})]이므로 [math(angle {rm ICO'}=90^{circ})]이다. 따라서 삼각형 [math(rm ICO')]은 직각삼각형이고, [math(displaystyle overline{rm RC}=overline{rm IR} )]이므로 점 [math(rm R)]은 해당 삼각형의 외심이며, 결과적으로 [math(displaystyle overline{rm RC}=overline{rm IR}=overline{rm O'R} )]이다.
[math(displaystyle begin{aligned} therefore overline{rm RC}=overline{rm IR}=overline{rm AR}=overline{rm O'R} end{aligned})]
3. 증명
3.1. 외심과 내심 사이의 거리
파일:namu_오일러_삼각형_정리_1.svg
그림과 같이 삼각형 [math(rm ABC)]의 외심과 내심을 각각 [math(rm O)], [math(rm I)]라하고, 외접원과 내접원의 반지름은 각각 [math(R)], [math(r)], 직선 [math(rm IO)]가 외접원과 만나는 두 점을 [math(rm P)], [math(rm Q)], 직선 [math(rm BI)]가 외접원과 만나는 점을 [math(rm R)], [math(overline{rm OI}=d)]라 하자. 방멱 정리에 의하여
[math(displaystyle begin{aligned} overline{rm BI} cdot overline{rm IR}&=overline{rm PI} cdot overline{rm IQ} \&=(R+d)(R-d) \&=R^{2}-d^{2} end{aligned})]
한편, 맨션 정리에 의하여 [math(overline{rm IR}=overline{rm AR})], 내심의 성질에 따라 [math(angle{rm IBC}=angle{rm ABI})], [math(angle{rm ABI}=angle{rm ASR})](호 [math(rm AR)]에 대한 원주각)이다. 점 [math(rm I)]에서 변 [math(rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하면 [math(angle{rm RAS}=90^{circ})](지름에 대한 원주각), [math(angle{rm IHB}=90^{circ})], [math(angle{rm ABI}=angle{rm ASR})]이므로 [math(triangle{rm RSA} sim triangle{rm IBH} )]([math(rm AA)]닮음)이다.
그림과 같이 삼각형 [math(rm ABC)]의 외심과 내심을 각각 [math(rm O)], [math(rm I)]라하고, 외접원과 내접원의 반지름은 각각 [math(R)], [math(r)], 직선 [math(rm IO)]가 외접원과 만나는 두 점을 [math(rm P)], [math(rm Q)], 직선 [math(rm BI)]가 외접원과 만나는 점을 [math(rm R)], [math(overline{rm OI}=d)]라 하자. 방멱 정리에 의하여
[math(displaystyle begin{aligned} overline{rm BI} cdot overline{rm IR}&=overline{rm PI} cdot overline{rm IQ} \&=(R+d)(R-d) \&=R^{2}-d^{2} end{aligned})]
한편, 맨션 정리에 의하여 [math(overline{rm IR}=overline{rm AR})], 내심의 성질에 따라 [math(angle{rm IBC}=angle{rm ABI})], [math(angle{rm ABI}=angle{rm ASR})](호 [math(rm AR)]에 대한 원주각)이다. 점 [math(rm I)]에서 변 [math(rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하면 [math(angle{rm RAS}=90^{circ})](지름에 대한 원주각), [math(angle{rm IHB}=90^{circ})], [math(angle{rm ABI}=angle{rm ASR})]이므로 [math(triangle{rm RSA} sim triangle{rm IBH} )]([math(rm AA)]닮음)이다.
[math(displaystyle begin{aligned} overline{rm AR} : overline{rm SR} =overline{rm IR} : overline{rm SR} =overline{rm IH} : overline{rm BI} ; Leftrightarrow ; overline{rm BI} cdot overline{rm IR}=overline{rm SR} cdot overline{rm IH} end{aligned})]
|
[math(overline{rm SR}=2R)], [math(overline{rm IH}=r)]임을 이용하면, [math(overline{rm SR} cdot overline{rm IH}=2Rr)]
[math(displaystyle therefore R^{2}-d^{2}=2Rr ; Rightarrow ; d=sqrt{R^2-2Rr} )]
결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
[math(displaystyle frac{1}{R-d}+frac{1}{R+d}=frac{1}{r} )]
두 점 간의 거리는 음일 수 없으므로,
[math(displaystyle d=sqrt{R^2-2Rr}=sqrt{R(R-2r)} )]
에 의하여 모든 삼각형에서 [math(R geq 2r)]이 성립한다. 단, 등호는 정삼각형일 때에 성립한다.[1]
이상의 결과에서 음수에 대한 방멱을 허용한다면, 외접원에 대한 내심의 방멱은 [math( -2Rr )]이라고 표현할 수 있다.
[math(displaystyle therefore R^{2}-d^{2}=2Rr ; Rightarrow ; d=sqrt{R^2-2Rr} )]
결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
[math(displaystyle frac{1}{R-d}+frac{1}{R+d}=frac{1}{r} )]
두 점 간의 거리는 음일 수 없으므로,
[math(displaystyle d=sqrt{R^2-2Rr}=sqrt{R(R-2r)} )]
에 의하여 모든 삼각형에서 [math(R geq 2r)]이 성립한다. 단, 등호는 정삼각형일 때에 성립한다.[1]
이상의 결과에서 음수에 대한 방멱을 허용한다면, 외접원에 대한 내심의 방멱은 [math( -2Rr )]이라고 표현할 수 있다.
3.2. 외심과 방심 사이의 거리
파일:namu_오일러_삼각형_정리_2.svg
그림과 같이 삼각형 [math(rm ABC)]의 외심과 방심을 각각 [math(rm O)], [math(rm O')]라하고, 외접원과 방접원의 반지름은 각각 [math(R)], [math(r')], 직선 [math(rm OO')]가 외접원과 만나는 두 점을 [math(rm P)], [math(rm Q)], 직선 [math(rm BO')]이 외접원과 만나는 점을 [math(rm R)], [math(overline{rm OO'}=d)]라 하자. 방멱 정리에 의하여
[math(displaystyle begin{aligned} overline{rm O'R} cdot overline{rm O'B}&=overline{rm O'Q} cdot overline{rm O'P} \&=(d-R)(d+R) \&=d^{2}-R^{2} end{aligned})]
위에서 다뤘던 맨션 정리에 의하여 [math(overline{rm O'R}=overline{rm RC})], 점 [math(rm O')]에서 변 [math(rm BC)]의 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하면 [math(angle{rm O'HB}=90^{circ})], [math(angle{rm SRC}=90^{circ})](지름에 대한 원주각), [math(angle{rm O'BC}=angle{rm RSC})](호 [math(rm RC)]에 대한 원주각)이므로 [math(triangle{rm O'BH} sim triangle{rm CSR} )]([math(rm AA)]닮음)이다.
그림과 같이 삼각형 [math(rm ABC)]의 외심과 방심을 각각 [math(rm O)], [math(rm O')]라하고, 외접원과 방접원의 반지름은 각각 [math(R)], [math(r')], 직선 [math(rm OO')]가 외접원과 만나는 두 점을 [math(rm P)], [math(rm Q)], 직선 [math(rm BO')]이 외접원과 만나는 점을 [math(rm R)], [math(overline{rm OO'}=d)]라 하자. 방멱 정리에 의하여
[math(displaystyle begin{aligned} overline{rm O'R} cdot overline{rm O'B}&=overline{rm O'Q} cdot overline{rm O'P} \&=(d-R)(d+R) \&=d^{2}-R^{2} end{aligned})]
위에서 다뤘던 맨션 정리에 의하여 [math(overline{rm O'R}=overline{rm RC})], 점 [math(rm O')]에서 변 [math(rm BC)]의 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하면 [math(angle{rm O'HB}=90^{circ})], [math(angle{rm SRC}=90^{circ})](지름에 대한 원주각), [math(angle{rm O'BC}=angle{rm RSC})](호 [math(rm RC)]에 대한 원주각)이므로 [math(triangle{rm O'BH} sim triangle{rm CSR} )]([math(rm AA)]닮음)이다.
[math(displaystyle begin{aligned} overline{rm O'H} : overline{rm O'B} =overline{rm RC} : overline{rm SC} =overline{rm O'R} : overline{rm SC} ; Leftrightarrow ; overline{rm O'R} cdot overline{rm O'B}=overline{rm O'H} cdot overline{rm SC} end{aligned})]
|
[math(overline{rm SC}=2R)], [math(overline{rm O'H}=r')]임을 이용하면, [math(overline{rm SR} cdot overline{rm IH}=2Rr)]
[math(displaystyle therefore d^{2}-R^{2}=2Rr' ; Rightarrow ; d=sqrt{R^2+2Rr'} )]
결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
[math(displaystyle frac{1}{d-R}-frac{1}{d+R}=frac{1}{r'} )]
이상의 결과에서 외접원에 대한 방심의 방멱은 [math( 2Rr' )]이라고 표현할 수 있다.
[math(displaystyle therefore d^{2}-R^{2}=2Rr' ; Rightarrow ; d=sqrt{R^2+2Rr'} )]
결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
[math(displaystyle frac{1}{d-R}-frac{1}{d+R}=frac{1}{r'} )]
이상의 결과에서 외접원에 대한 방심의 방멱은 [math( 2Rr' )]이라고 표현할 수 있다.
4. 관련 문서
[1] 정삼각형은 외심, 내심, 수심, 무게중심이 동일하다.