문서:오심과 관련된 정리

역사 raw
대문 랜덤 문서 최근 토론
분류



1. 개요2. 기본적인 정리3. 보통 정리4. 심화 정리


1. 개요

오심과 관련된 여러 정리들과 더불어 올림피아드에 나오는 정리들을 기재하는 문서이다.

모든 정리의 기호는 삼각형 [math(triangle ABC)]의 외심 [math(O)], 내심 [math(I)], 무게중심 [math(G)], 수심 [math(H)], 방심 [math(I_{A})]를 따른다.
[math(a=overline{BC})], [math(b=overline{CA})], [math(c=overline{AB})]으로 두고, [math(S)], [math(r)], [math(R)], [math(r_{A})], [math(s)]를 각각 도형의 면적, 내접원의 반지름, 외접원의 반지름, 방접원 [math(I_{A})]의 반지름, 삼각형의 둘레의 반([math(={1 over 2}(a+b+c))])이라 하자.

2. 기본적인 정리

  1. 세르보어 정리
    [math(O)]에서 변 [math(overline{BC})]에 내린 수선의 발을 [math(M)]라 할 때, [math(overline{AH}=2overline{OM})]이다. 증명은 외심 참고.
  2. 등각켤레
    [math(angle BAO=angle CAH)]
  3. 수선의 발과 공원점
    [math(A)], [math(B)]에서 변 [math(overline{BC})], [math(overline{CA})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)]라 할 때, [math(left(A,B,D,Eright))]와 [math(left(C,E,H,Dright))]는 공원점이다.
  4. 각각 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]를 지나고, 한 점에서 만나는 세 직선을 그리자. 이 직선들의 교점을 [math(X)]라 하자. [math(X)]에서 각 변에 내린 수선의 발을 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 할 때, [math(overline{XD}+overline{XE}+overline{XF})]가 최소인 점 [math(X)]는 [math(H)]다.
  5. [math(triangle ABC)]의 수족 삼각형의 내심은 [math(H)]다.
  6. [math(A)], [math(I)], [math(I_{A})]는 한 직선 위에 있다.
  7. [math(triangle ABC)]의 방심들이 이루는 삼각형의 수심은 [math(I)]다. (삼각형의 내심과 방심은 수심조이다.)
  8. ([math(A)], [math(B)], [math(I_{A})], [math(I_{B})])는 한 원 위에 있다.
  9. 맨션 정리
    삼각형 [math(triangle ABC)]의 외접원 [math(K)]와 반직선 [math(overline{AI})]의 교점을 [math(D)]라 하자. 이 때 [math(overline{DB}=overline{DC}=overline{DI}=overline{D{I_{A}}})]다.
  10. 반직선 [math(overrightarrow{AI})]와 변 [math(overline{BC})]의 교점을 [math(K)]라 하면, [math(overline{AI}/overline{KI}=left(b+cright)/a)]이다.
  11. 삼각형 내부의 점 [math(P)]에서 [math(overline{BC})], [math(overline{CA})], [math(overline{AB})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 하면 [math(overline{BC}/overline{PD} + overline{CA}/overline{PE}+overline{AB}/overline{PF})]의 값이 최소인 점 [math(P)]는 [math(I)]이다.
  12. [math(S=displaystyle {abc over 4R}=2R^2 sin A sin B sin C={a^2 sin B sin C over 2 sin A})] (사인법칙의 활용)
  13. [math(S=displaystyle {1 over 2} (a+b+c)r =sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})]
  14. 삼각형 내부의 점 [math(P)]에서 [math(overline{BC})], [math(overline{CA})], [math(overline{AB})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 하면, [math(overline{PD}cdotoverline{PE}cdotoverline{PF})]가 최댓값인 점 [math(P)]는 [math(G)]이다.
  15. 이 때 [math(Sleft(triangle ABCright)=r_{A}left(b+c-aright)/2)]
  16. [math(overline{OI}^2=R^2-2Rr)](오일러 삼각형 정리)

3. 보통 정리

  1. 라이프니츠 정리
    [math(P)]가 삼각형 [math(ABC)]와 같은 평면 위의 임의의 한 점일 때, 다음 정리가 성립한다.
    1. [math(overline{AP}^2 + overline{BP}^2 + overline{CP}^2 = overline{AG}^2 + overline{BG}^2 + overline{CG}^2 + 3overline{PG}^2)]
    2. [math(overline{GA}^2 + overline{GB}^2 + overline{GC}^2 = left(overline{AB}^2 + overline{BC}^2 + overline{CA}^2right)/3)]
  2. 오일러 직선
    [math(O)], [math(G)], 구점원의 중심 [math(V)], [math(H)]가 공선점(일직선)이다.
    [math(overline{OG} : overline{GV} : overline{VH} = 2 : 1 : 3)]이다.
  3. 삼각형의 면적은 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형 면적의 등비중항이다.
  4. 삼각형의 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형의 오일러 직선이 일치한다.
  5. 삼각형 [math(triangle ABC)]의 임의의 점 [math(P)]에서 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 할 때, [math(Sleft(triangle DEFright)/Sleft(triangle ABCright) =frac{left|R^2 - OI^2right|}{4R^{2}})]이다.

- 그밖에도 나겔 정리, 제르곤 정리, 페르마 포인트 관련 문제 등이 있다.

4. 심화 정리

  1. 포이어바흐 정리
    구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다. (증명은 반전기하(inversion)을 사용한다.)
  2. Mixtilinear Circle
    1. 삼각형 [math(triangle ABC)]의 외접원과 두 변 [math(overline{AB})], [math(overline{AC})]와 접하는 원 [math(Q)]를 잡자. [math(Q)]와 [math(overline{AB})], [math(overline{AC})]의 교점을 각각 [math(M)], [math(N)]이라 하면, [math(overline{MN})]의 중점은 [math(I)]이다.
  3. 오심을 지나는 직선이 두 선분을 자르는 비율과 관련된 정리
    주어진 <math>triangle ABC</math>와 오심 중 하나인 점 <math>P</math>가 있다. 이 때, 임의의 <math>P</math>를 지나고, 반직선 <math>AB</math>, 반직선 <math>AC</math>와 둘 다 만나는 직선이 반직선 <math>AB</math>, <math>AC</math>와 만나는 점을 각각 <math>M</math>, <math>N</math>이라 할 때, <math>overline{AM}</math>의 길이와 <math>overline{AN}</math>의 길이의 관계식은 다음과 같다.
    1. <math>P</math>가 내심일 때: <math>dfrac{overline{AB}}{overline{AM}} cdot sin B + dfrac{overline{AC}}{overline{AN}} cdot sin C = sin A + sin B + sin C</math>.
    2. <math>P</math>가 외심일 때: <math>dfrac{overline{AB}}{overline{AM}} cdot sin 2B + dfrac{overline{AC}}{overline{AN}} cdot sin 2C = sin 2A + sin 2B + sin 2C</math>.
    3. <math>P</math>가 수심일 때: <math>dfrac{overline{AB}}{overline{AM}} cdot tan B + dfrac{overline{AC}}{overline{AN}} cdot tan C = tan A + tan B + tan C</math>.
    4. <math>P</math>가 직선 <math>BC</math>에 대하여 점 <math>A</math>와 다른 방향에 있는 방심일 때: <math>dfrac{overline{AB}}{overline{AM}} cdot sin B + dfrac{overline{AC}}{overline{AN}} cdot sin C = -sin A + sin B + sin C</math>.
    5. <math>P</math>가 무게중심일 때: <math>dfrac{overline{AB}}{overline{AM}} + dfrac{overline{AC}}{overline{AN}} = 3</math>.

- 그 밖에 올림피아드에 쓰이는 정리들에는 미쿠엘 포인트[4], Pole & Polar (극, 극선), 근축 & 근심[5], isogonal line - conjugate & Symmedian(대칭중선), 메넬라우스 & 체바 응용, 파푸스 정리[6], 파스칼 정리, 브리앙숀 정리, 데자르그 정리, Monge's Theorem 등이 있다. 특히 비조화비에 관련된 것으로는 조화점열(Harmonic point), 조화사각형, 아폴로니우스의 원이 있다.


[1] 칠점공선. 9점까지 확장이 가능하다.[2] 육점공선 포함.[3] 파푸스의 중선 정리와 다름에 주의.[4] 칠점공선. 9점까지 확장이 가능하다.[5] 육점공선 포함.[6] 파푸스의 중선 정리와 다름에 주의.