1. 개요
2. 상세
삼각함수는 원과 관련있는 함수이다. 즉,
[math(begin{cases}x=cos t \ y=sin tend{cases})]
로 매개변수화를 하면
[math(x^2+y^2=cos^2t+sin^2t=1)]
이 되므로 [math(xy)]평면 상 중심이 원점인 단위원이 나오게 된다.
이와 유사한 방법으로
[math(begin{cases}x=cosh t \ y=sinh tend{cases})]
로 매개변수화를 하면
[math(x^2-y^2=cosh^2t-sinh^2t=1)]
이 되므로 쌍곡선의 방정식이 나온다. 바로 이 점 때문에 이 함수들을 쌍곡선 함수라 부르는 것이다.
그래프 상에서 삼각함수와 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는 지 보고자 한다.
파일:나무_삼각함수_쌍곡선함수_비교.png
삼각함수는 위의 (a)와 같이 중심이 원점인 단위원 [math(x^2+y^2=1)]위의 한 점에 대하여 부채꼴 [math(mathrm{OAP})]의 넓이가 [math(theta/2)]가 되게하는 점 [math(mathrm{P})]에 대하여 해당 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(cos{theta})], [math(sin{theta})]로 정의한다. 한편, 쌍곡선 함수는 위의 (b)와 같이 쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 그 위의 한 점 [math(mathrm{P})]에 대하여 원점과 [math(mathrm{P})]를 지나는 직선과 [math(x)]축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 [math(a/2)]가 될 때, 점 [math(mathrm{P})]에 대하여 해당 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(cosh{a})], [math(sinh{a})]로 정의한다.
이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 쌍곡선 함수는 주기함수가 아니라는 차이점이 있다.
[math(begin{cases}x=cos t \ y=sin tend{cases})]
로 매개변수화를 하면
[math(x^2+y^2=cos^2t+sin^2t=1)]
이 되므로 [math(xy)]평면 상 중심이 원점인 단위원이 나오게 된다.
이와 유사한 방법으로
[math(begin{cases}x=cosh t \ y=sinh tend{cases})]
로 매개변수화를 하면
[math(x^2-y^2=cosh^2t-sinh^2t=1)]
이 되므로 쌍곡선의 방정식이 나온다. 바로 이 점 때문에 이 함수들을 쌍곡선 함수라 부르는 것이다.
그래프 상에서 삼각함수와 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는 지 보고자 한다.
파일:나무_삼각함수_쌍곡선함수_비교.png
삼각함수는 위의 (a)와 같이 중심이 원점인 단위원 [math(x^2+y^2=1)]위의 한 점에 대하여 부채꼴 [math(mathrm{OAP})]의 넓이가 [math(theta/2)]가 되게하는 점 [math(mathrm{P})]에 대하여 해당 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(cos{theta})], [math(sin{theta})]로 정의한다. 한편, 쌍곡선 함수는 위의 (b)와 같이 쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 그 위의 한 점 [math(mathrm{P})]에 대하여 원점과 [math(mathrm{P})]를 지나는 직선과 [math(x)]축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 [math(a/2)]가 될 때, 점 [math(mathrm{P})]에 대하여 해당 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(cosh{a})], [math(sinh{a})]로 정의한다.
이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 쌍곡선 함수는 주기함수가 아니라는 차이점이 있다.
3. 정의
3.1. 기본형
[math(begin{aligned}
sinh x &equiv dfrac{e^x-e^{-x}}2 \
cosh x &equiv dfrac{e^x+e^{-x}}2 \
tanh x &equiv dfrac{sinh x}{cosh x} = dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
end{aligned} )]
sinh x &equiv dfrac{e^x-e^{-x}}2 \
cosh x &equiv dfrac{e^x+e^{-x}}2 \
tanh x &equiv dfrac{sinh x}{cosh x} = dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
end{aligned} )]
[math(sinh)], [math(cosh)], [math(tanh)]의 정식 명칭은 '쌍곡선의(hyperbolic)'라는 단어를 각 삼각함수의 명칭 앞에 붙인 표현, 즉 'Hyperbolic sine', 'Hyperbolic cosine', 'Hyperbolic tangent'이다.[1]가 뒤쪽에 붙어있기 때문에 한국에서는 '싸인 하이퍼볼릭' 혹은 그냥 '싸인 에이치'라고 하기도 한다.] 영어권에서는 발음이 길어지는 문제가 있어 다음과 같은 명칭이 통용되기도 한다.
- [math(sinh)]: 샤인(/ʃaɪn/), 신치(/sɪntʃ/)
- [math(cosh)]: 코샤인(/koʃaɪn/), 코시(/koʊʃ/)
- [math(tanh)]: 쌘(/θæn/), 탠치(/tæntʃ/)
각 함수의 그래프는 아래와 같다.
[math(y=sinh x)]
| [math(y=cosh x)]
| [math(y=tanh x)]
|
위에서 볼 수 있듯, [math(sinh x)], [math(tanh x)]는 기함수, [math(cosh x)]는 우함수임을 알 수 있다. 또한, [math(cosh x)]는 점 [math((0,,1))]을 지남을 알 수 있고, [math(tanh x)]는 점근선으로 [math(y = pm 1)]을 가짐을 알 수 있다.
[math(tanh x)]는 [math(mathrm{erf}(x))]와 개형이 비슷하다.[비교] 아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다!
[math(cosh x)]는 현수선(Catenary)의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이 [math(displaystyle begin{aligned} acosh{left( frac{x}{a} right)}=frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a}) end{aligned} )]이다. [math(a=1)]일 때 [math(cosh x)]가 나온다.
3.2. 역수형
이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다.
[math(begin{aligned}
coth x &equiv dfrac1{tanh x} \
mathrm{sech},x &equiv dfrac1{cosh x} \
mathrm{csch},x &equiv dfrac1{sinh x}
end{aligned} )]
[math(coth)], [math(mathrm{sech})], [math(mathrm{csch})]는 각각 'Hyperbolic cotangent', 'Hyperbolic secant', 'Hyperbolic cosecant'라 읽는다. 기본형의 함수들과 마찬가지로, 영어권에서는 발음의 편의상 다음 명칭이 통용되기도 한다.
[math(begin{aligned}
coth x &equiv dfrac1{tanh x} \
mathrm{sech},x &equiv dfrac1{cosh x} \
mathrm{csch},x &equiv dfrac1{sinh x}
end{aligned} )]
[math(coth)], [math(mathrm{sech})], [math(mathrm{csch})]는 각각 'Hyperbolic cotangent', 'Hyperbolic secant', 'Hyperbolic cosecant'라 읽는다. 기본형의 함수들과 마찬가지로, 영어권에서는 발음의 편의상 다음 명칭이 통용되기도 한다.
- [math(coth)]: 코쓰(/koʊθ/)
- [math(mathrm{sech})]: 셰크(/ʃɛk/), 세치(/sɛtʃ/)
- [math(mathrm{csch})]: 코셰크(/koʊʃɛk/), 코세치(/koʊsɛtʃ/)
3.3. 역함수
이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 직선 [math(y=(tanh a)x)], [math(x)]축으로 둘러싸인 도형[3], [math(sinh a)]인 직각삼각형의 넓이에서 [math(displaystyleint_1^{cosh a}sqrt{x^2-1},mathrm dx)]를 뺀 값의 2배]의 넓이(area)가 [math(a)]라는 특징으로부터, 이들 역함수에는 접두사 [math(rm ar)]-을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'Area Hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 [math(rm arc)]-를 붙인 틀린 표현[4]-가 붙은 유래를 잘 생각해보면 당연한 건데, 단위원에서 각의 크기(역삼각함수의 값)는 곧 호(arc)의 길이와 같다. 즉, [math(rm arc)]-라는 접두사는 단위원과 관련이 있음을 나타내는 용어인 셈이다.]도 자주 볼 수 있다.
한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 편각(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 [math(rm arg)]-로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[5], [math(rm arcoth)], [math(rm arcsch)]만 봐도 접두사를 [math(rm arc)]-로 잘못 읽을 여지가 있으며 특히 [math(rm h)]가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.]
편의상 정의역은 실수라고 가정했다.
[math(begin{aligned}
mathrm{arsinh},x &= ln{(x+sqrt{x^2+1})} \
mathrm{arcosh},x &= ln{(x+sqrt{x^2-1})} &&qquad (xge1) \
mathrm{artanh},x &= dfrac12ln{dfrac{1+x}{1-x}} &&qquad (|x|<1) \
mathrm{arcoth},x &= dfrac12ln{dfrac{x+1}{x-1}} &&qquad (|x|>1) \
mathrm{arsech},x &= lnbiggl( dfrac1x+sqrt{dfrac1{x^2}-1} biggr) &&qquad (0<x le 1) \
mathrm{arcsch},x &= lnbiggl( dfrac1x+sqrt{dfrac1{x^2}+1} biggr) &&qquad (x ne 0)
end{aligned} )]
표기에 관련하여, [math(rm arsinh)], [math(rm arcosh)], [math(rm artanh)], [math(rm arsech)], [math(rm arcsch)], [math(rm arcoth)]는 각각 [math(rm sinh^{-1})], [math(rm cosh^{-1})], [math(rm tanh^{-1})], [math(rm sech^{-1})], [math(rm csch^{-1})], [math(rm coth^{-1})]로 나타내기도 하나, 역삼각함수와 같이 수학계가 권장하는 표현은 아니다.
한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 편각(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 [math(rm arg)]-로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[5], [math(rm arcoth)], [math(rm arcsch)]만 봐도 접두사를 [math(rm arc)]-로 잘못 읽을 여지가 있으며 특히 [math(rm h)]가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.]
편의상 정의역은 실수라고 가정했다.
[math(begin{aligned}
mathrm{arsinh},x &= ln{(x+sqrt{x^2+1})} \
mathrm{arcosh},x &= ln{(x+sqrt{x^2-1})} &&qquad (xge1) \
mathrm{artanh},x &= dfrac12ln{dfrac{1+x}{1-x}} &&qquad (|x|<1) \
mathrm{arcoth},x &= dfrac12ln{dfrac{x+1}{x-1}} &&qquad (|x|>1) \
mathrm{arsech},x &= lnbiggl( dfrac1x+sqrt{dfrac1{x^2}-1} biggr) &&qquad (0<x le 1) \
mathrm{arcsch},x &= lnbiggl( dfrac1x+sqrt{dfrac1{x^2}+1} biggr) &&qquad (x ne 0)
end{aligned} )]
표기에 관련하여, [math(rm arsinh)], [math(rm arcosh)], [math(rm artanh)], [math(rm arsech)], [math(rm arcsch)], [math(rm arcoth)]는 각각 [math(rm sinh^{-1})], [math(rm cosh^{-1})], [math(rm tanh^{-1})], [math(rm sech^{-1})], [math(rm csch^{-1})], [math(rm coth^{-1})]로 나타내기도 하나, 역삼각함수와 같이 수학계가 권장하는 표현은 아니다.
4. 관련 공식
4.1. 항등식
[math(begin{aligned}
cosh^2x-sinh^2x&=1 \
1-tanh^2x&=mathrm{sech}^2,x \
coth^2x-1&=mathrm{csch}^2,x \ \
sinh,(-x) &= -sinh x \
cosh,(-x) &= cosh x \
tanh,(-x) &= -tanh x \
coth,(-x) &= -coth x \
mathrm{sech},(-x) &= mathrm{sech},x \
mathrm{csch},(-x) &= -mathrm{csch},x
end{aligned})]
cosh^2x-sinh^2x&=1 \
1-tanh^2x&=mathrm{sech}^2,x \
coth^2x-1&=mathrm{csch}^2,x \ \
sinh,(-x) &= -sinh x \
cosh,(-x) &= cosh x \
tanh,(-x) &= -tanh x \
coth,(-x) &= -coth x \
mathrm{sech},(-x) &= mathrm{sech},x \
mathrm{csch},(-x) &= -mathrm{csch},x
end{aligned})]
4.2. 덧셈 정리
[math(begin{aligned}
sinh,(xpm y) &= sinh xcosh y pm cosh xsinh y \
cosh,(xpm y) &= cosh xcosh y pm sinh xsinh y \
tanh,(xpm y) &= dfrac{tanh x pm tanh y}{1pmtanh xtanh y}
end{aligned})]
sinh,(xpm y) &= sinh xcosh y pm cosh xsinh y \
cosh,(xpm y) &= cosh xcosh y pm sinh xsinh y \
tanh,(xpm y) &= dfrac{tanh x pm tanh y}{1pmtanh xtanh y}
end{aligned})]
이상은 모두 복부호동순이다. 덕분에 삼각함수의 덧셈정리 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다.
4.3. 배각 공식
[math(begin{aligned}
sinh 2x &= 2sinh xcosh x \
cosh 2x &= cosh^2x + sinh^2x \
&= 2sinh^2x+1 \
&= 2cosh^2x-1 \
tanh 2x &= dfrac{2tanh x}{1+tanh^2x}
end{aligned})]
sinh 2x &= 2sinh xcosh x \
cosh 2x &= cosh^2x + sinh^2x \
&= 2sinh^2x+1 \
&= 2cosh^2x-1 \
tanh 2x &= dfrac{2tanh x}{1+tanh^2x}
end{aligned})]
4.4. 반각 공식
[math(begin{aligned}
sinh^2{dfrac x2} &= dfrac{cosh x-1}2 \
cosh^2{dfrac x2} &= dfrac{cosh x+1}2 \
tanh^2{dfrac x2} &= dfrac{cosh x-1}{cosh x+1}
end{aligned})]
sinh^2{dfrac x2} &= dfrac{cosh x-1}2 \
cosh^2{dfrac x2} &= dfrac{cosh x+1}2 \
tanh^2{dfrac x2} &= dfrac{cosh x-1}{cosh x+1}
end{aligned})]
4.5. 합을 곱으로 고치는 공식
[math(begin{aligned}
sinh x pm sinh y &= 2 sinhdfrac{x pm y}2 coshdfrac{x mp y}2 \
cosh x+cosh y &= 2 coshdfrac{x+y}2 coshdfrac{x-y}2 \
cosh x-cosh y &= 2 sinhdfrac{x+y}2 sinhdfrac{x-y}2
end{aligned})]
sinh x pm sinh y &= 2 sinhdfrac{x pm y}2 coshdfrac{x mp y}2 \
cosh x+cosh y &= 2 coshdfrac{x+y}2 coshdfrac{x-y}2 \
cosh x-cosh y &= 2 sinhdfrac{x+y}2 sinhdfrac{x-y}2
end{aligned})]
이상은 모두 복부호동순이다.
4.6. 곱을 합으로 고치는 공식
[math(begin{aligned}
sinh xcosh y &= dfrac12 {sinh,(x+y)+sinh,(x-y)} \
cosh xsinh y &= dfrac12 {sinh,(x+y)-sinh,(x-y)} \
cosh xcosh y &= dfrac12 {cosh,(x+y)+cosh,(x-y)} \
sinh xsinh y &= dfrac12 {cosh(x+y)-cosh(x-y)} \
end{aligned})]
sinh xcosh y &= dfrac12 {sinh,(x+y)+sinh,(x-y)} \
cosh xsinh y &= dfrac12 {sinh,(x+y)-sinh,(x-y)} \
cosh xcosh y &= dfrac12 {cosh,(x+y)+cosh,(x-y)} \
sinh xsinh y &= dfrac12 {cosh(x+y)-cosh(x-y)} \
end{aligned})]
4.7. 도함수
4.7.1. 쌍곡선 함수
[math(displaystylebegin{aligned}
frac{mathrm d}{mathrm dx} sinh x &= cosh x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} cosh x &= sinh x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} tanh x &= mathrm{sech}^2,x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} coth x &= -mathrm{csch}^2,x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{sech},x &= -mathrm{sech},xtanh x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{csch},x &= -mathrm{csch},xcoth x \
end{aligned})]
frac{mathrm d}{mathrm dx} sinh x &= cosh x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} cosh x &= sinh x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} tanh x &= mathrm{sech}^2,x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} coth x &= -mathrm{csch}^2,x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{sech},x &= -mathrm{sech},xtanh x \
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{csch},x &= -mathrm{csch},xcoth x \
end{aligned})]
4.7.2. 역쌍곡선 함수
[math(displaystylebegin{aligned}
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arsinh},x &= frac1{sqrt{x^2+1}} \
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arcosh},x &= frac1{sqrt{x^2-1}} &&qquad (x>1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{artanh},x &= frac1{1-x^2} &&qquad (|x|<1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arcoth},x &= frac1{1-x^2} &&qquad (|x|>1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arsech},x &= -frac1{xsqrt{1-x^2}} &&qquad (0<x<1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arcsch},x &= -frac1{|x|sqrt{1+x^2}} &&qquad (xne0)
end{aligned})]
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arsinh},x &= frac1{sqrt{x^2+1}} \
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arcosh},x &= frac1{sqrt{x^2-1}} &&qquad (x>1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{artanh},x &= frac1{1-x^2} &&qquad (|x|<1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arcoth},x &= frac1{1-x^2} &&qquad (|x|>1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arsech},x &= -frac1{xsqrt{1-x^2}} &&qquad (0<x<1)\
frac{mathrm d}{mathrm dx} mathrm{arcsch},x &= -frac1{|x|sqrt{1+x^2}} &&qquad (xne0)
end{aligned})]
[math(mathrm{artanh},x)]와 [math(mathrm{arcoth},x)]의 도함수는 형태는 같지만 [math(x)]의 범위가 다르다는 것에 주의하자.
4.8. 역도함수
4.8.1. 쌍곡선 함수
[math(displaystyle begin{aligned}
int sinh x ,mathrm dx &= cosh x + C \
int cosh x ,mathrm dx &= sinh x + C \
int tanh x ,mathrm dx &= ln,(cosh x) + C \
int coth x ,mathrm dx &= ln|sinh x| + C \
int mathrm{sech},x ,mathrm dx &= 2arctan,(e^x) + C \ &= arctan,(sinh x) + C \ &= arcsin,(tanh x) + C \ &= 2arctanleft(tanhfrac x2right) + C \ &= mathrm{gd},x + C \
int mathrm{csch},x ,mathrm dx &= lnleft(tanhdfrac x2right) + C \ &= ln|coth x-mathrm{csch},x| + C \
end{aligned})]
int sinh x ,mathrm dx &= cosh x + C \
int cosh x ,mathrm dx &= sinh x + C \
int tanh x ,mathrm dx &= ln,(cosh x) + C \
int coth x ,mathrm dx &= ln|sinh x| + C \
int mathrm{sech},x ,mathrm dx &= 2arctan,(e^x) + C \ &= arctan,(sinh x) + C \ &= arcsin,(tanh x) + C \ &= 2arctanleft(tanhfrac x2right) + C \ &= mathrm{gd},x + C \
int mathrm{csch},x ,mathrm dx &= lnleft(tanhdfrac x2right) + C \ &= ln|coth x-mathrm{csch},x| + C \
end{aligned})]
위 식에서 [math({rm gd},x)]은 구데르만 함수(Gudermannian function)이고, [math(C)]는 적분 상수이다.
4.8.2. 역쌍곡선 함수
[math(displaystyle begin{aligned}
int mathrm{arsinh},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arsinh},x - sqrt{x^2+1} + C \
int mathrm{arcosh},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arcosh},x - sqrt{x^2-1} + C &&qquad (xge1) \
int mathrm{artanh},x ,mathrm dx &= x,mathrm{artanh},x + frac12ln (1 - x^2) + C &&qquad (|x|<1) \
int mathrm{arcoth},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arcoth},x + frac12ln (x^2-1 ) + C &&qquad (|x|>1) \
int mathrm{arsech},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arsech},x + arcsin x + C &&qquad (0<xle1) \
int mathrm{arcsch},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arcsch},x + mathrm{arsinh},x + C &&qquad (xne0)
end{aligned})]
int mathrm{arsinh},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arsinh},x - sqrt{x^2+1} + C \
int mathrm{arcosh},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arcosh},x - sqrt{x^2-1} + C &&qquad (xge1) \
int mathrm{artanh},x ,mathrm dx &= x,mathrm{artanh},x + frac12ln (1 - x^2) + C &&qquad (|x|<1) \
int mathrm{arcoth},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arcoth},x + frac12ln (x^2-1 ) + C &&qquad (|x|>1) \
int mathrm{arsech},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arsech},x + arcsin x + C &&qquad (0<xle1) \
int mathrm{arcsch},x ,mathrm dx &= x,mathrm{arcsch},x + mathrm{arsinh},x + C &&qquad (xne0)
end{aligned})]
단, [math(C)]는 적분 상수이다.
4.8.3. 특수 적분
[math(displaystyle begin{aligned}
int sinh{|x|} ,mathrm{d}x &= mathrm{sgn}(x) ,(cosh x-1) - 1 + C \
int cosh{|x|} ,mathrm{d}x &= sinh{x} + C \
int tanh{|x|} ,mathrm{d}x &= mathrm{sgn}(x) ,(lncirccosh)(x) + C \
int mathrm{coth},{|x|} ,mathrm{d}x &= mathrm{sgn}(x) ,(lncircsinh)(x) + C \
int mathrm{sech},{|x|} ,mathrm{d}x &= 2,(arctancirctanh)biggl(frac{x}{2}biggr) + C \
int mathrm{csch},{|x|} ,mathrm{d}x &= mathrm{sgn}(x) ,(lncirctanh)biggl(frac{x}{2}biggr) + C \
int left|sinh{x}right| ,mathrm{d}x &= (mathrm{sgn}circsinh)(x) cosh x + C \
int left|cosh{x}right| ,mathrm{d}x &= (mathrm{sgn}circcosh)(x) sinh x + C \
int left|tanh{x}right| ,mathrm{d}x &= (mathrm{sgn}circtanh)(x) ,(lncirccosh)(x) + C \
int left|mathrm{coth},{x}right| ,mathrm{d}x &= (mathrm{sgn}circmathrm{coth})(x) ,(lncircsinh)(x) + C \
int left|mathrm{sech},{x}right| ,mathrm{d}x &= 2,(mathrm{sgn}circmathrm{sech})(x) ,(arctancirctanh)biggl(frac{x}{2}biggr) + C \
int left|mathrm{csch},{x}right| ,mathrm{d}x &= (mathrm{sgn}circmathrm{csch})(x) ,(lncirctanh)biggl(frac{x}{2}biggr) + C \
int xtanh{x},mathrm{d}x &= -frac{1}{2} ,mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + frac{x^2}{2} + xln{(e^{-2x}+1)} + C \
int x,mathrm{coth},{x},mathrm{d}x &= -frac{1}{2} ,mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + frac{x^2}{2} + xln{(-e^{-2x}+1)} + C \
int x,mathrm{sech},{x},mathrm{d}x &= i,mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i,mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x,mathrm{arccot}{(e^x)} + C \
int x,mathrm{csch},{x},mathrm{d}x &= mathrm{Li}_2(sinh{x}-cosh{x}) - mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x,mathrm{arcoth}{(e^x)}+C \
int frac{sinh{x}}{x} ,mathrm{d}x &= mathrm{Shi}(x) + C \
int frac{cosh{x}}{x} ,mathrm{d}x &= mathrm{Chi}(x) + C \
int sinh{e^x},mathrm{d}x &= mathrm{Shi}(e^x) + C \
int cosh{e^x},mathrm{d}x &= mathrm{Chi}(e^x) + C \
int sinh(x^{-1}) ,mathrm{d}x &= x sinh(x^{-1}) - mathrm{Chi}(x^{-1}) + C \
int cosh(x^{-1}) ,mathrm{d}x &= x cosh(x^{-1}) - mathrm{Shi}(x^{-1}) + C \
int sinh x^2,mathrm{d}x &= frac{sqrt{pi}}{4}{mathrm{erfi}(x) - mathrm{erf}(x)} + C \
int cosh x^2 , mathrm{d}x &= frac{sqrt{pi}}{4}{mathrm{erfi}(x) + mathrm{erf}(x)} + C
end{aligned} )]
위 식에서 [math(mathrm{sgn}(x))]는 부호 함수, [math(mathrm{Shi}(x))], [math(mathrm{Chi}(x))]는 각각 쌍곡선 사인 적분, 쌍곡선 코사인 적분, [math(mathrm{Li}_2(x))]는 폴리로그함수, [math(mathrm{erf}(x))]는 오차함수, [math(mathrm{erfi}(x))]는 복소오차함수, [math(C)]는 적분 상수이다.
5. 복소수와 쌍곡선 함수
이 문단서부터는 이제부터 정의역을 복소수 영역까지 확장할 것이다.
우리는 다음을 안다.
[math(displaystyle sin{x}=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} qquad qquad cos{x}=frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} )]
또한, 오일러 공식에 의해
[math(displaystyle e^{ix}=cos{x}+isin{x} )]
임을 안다.
위를 이용하면 아래를 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned}
sinh{(ix)}&=isin{x} \
cosh{(ix)}&=cos{x} \
tanh{(ix)}&=itan{x}
end{aligned} )]
마찬가지로,
[math(displaystyle begin{aligned}
-i sin{(ix)}&=sinh{x} \
cos{(ix)}&=cosh{x} \
-itan{(ix)}&=tanh{x}
end{aligned} )]
임을 얻는다.
우리는 다음을 안다.
[math(displaystyle sin{x}=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} qquad qquad cos{x}=frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} )]
또한, 오일러 공식에 의해
[math(displaystyle e^{ix}=cos{x}+isin{x} )]
임을 안다.
위를 이용하면 아래를 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned}
sinh{(ix)}&=isin{x} \
cosh{(ix)}&=cos{x} \
tanh{(ix)}&=itan{x}
end{aligned} )]
마찬가지로,
[math(displaystyle begin{aligned}
-i sin{(ix)}&=sinh{x} \
cos{(ix)}&=cosh{x} \
-itan{(ix)}&=tanh{x}
end{aligned} )]
임을 얻는다.
6. 테일러 급수
아래는 [math(x=0)] 주위에서 전개한 것이다.
[math(displaystyle begin{aligned}
sinh{x}&=x+frac{x^{3}}{6}+frac{x^{5}}{120}+cdots \
&=sum_{k=0}^{infty} frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \
cosh{x}&=1+frac{x^2}{2}+frac{x^{4}}{24}+cdots \
&=sum_{k=0}^{infty} frac{x^{2k}}{(2k)!}
end{aligned} )]
[math(displaystyle begin{aligned}
sinh{x}&=x+frac{x^{3}}{6}+frac{x^{5}}{120}+cdots \
&=sum_{k=0}^{infty} frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \
cosh{x}&=1+frac{x^2}{2}+frac{x^{4}}{24}+cdots \
&=sum_{k=0}^{infty} frac{x^{2k}}{(2k)!}
end{aligned} )]
7. 기타
- 쌍곡선 함수 중 [math(cosh{x})] 곡선을 현수선이라 한다.
- 물리학적으로 균일한 밀도의 줄이나 선이 이 형태를 띄면 총 퍼텐셜 에너지가 최소화 되기 때문에 두 점 사이에 균일한 밀도의 줄이나 선을 연결하면 현수선 모양을 띄게 된다.
- 특수 상대성 이론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡선 함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.
- 본격적인 용어와 성질 등은 대학 미적분학을 배우면서 습득하게 되나, 고등학교 미적분 문제에서도 간간히 나오는 함수이다. 다만, 용어를 직접적으로 쓰진 못하고, 정의식을 그대로 주어 문제로 낸다.
